（江苏专用）高考数学大一轮复习 第五章 第32课 正弦定理与余弦定理的综合应用要点导学.doc

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习 第五章 第32课 正弦定理与余弦定理的综合应用要点导学要点导学各个击破正、余弦定理的综合应用在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且bsin a=acos b.(1) 求角b的大小;(2) 若b=3,sin c=2sin a,求a,c的值.思维引导对于(1),可结合正弦定理将bsin a=acos b转化为角的关系,然后再求角b的大小;对于(2),可先结合余弦定理求边a,然后再求c.解答(1) 因为bsin a=acos b,由正弦定理可得sin bsin a=sin acos b,即tan b=,所以b=.(2) 因为sin c=2sin a,由正弦定理得c=2a,由余弦定理b2=a2+c2-2accos b,9=a2+4a2-2a2acos,解得a=,所以c=2a=2.【题组强化重点突破】1. 在abc中,角a,b,c的对边分别是a,b,c,若sina=sinc,b=30,b=2,则abc 的面积是.答案解析由正弦定理得a=c,由余弦定理得b2=a2+c2-2accosb,即4=3c2+c2-2cccos30,所以c=2,a=2,所以s=acsin30=.2. (2014景德镇质检)在abc中,内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且满足a=2sina,+=0.(1) 求c的值;(2) 求abc面积的最大值.解答(1) 因为+=0,所以ccosb+2acosc+bcosc=0,所以sinccosb+sinbcosc+2sinacosc=0,所以sina+2sinacosc=0.因为sina0,所以cosc=-,因为0c,所以c=,所以c=sinc=.(2) 因为cosc=-=,所以a2+b2+ab=3,所以3ab3,即ab1,当且仅当a=b=1时取等号,所以sabc=absinc,所以abc面积的最大值为.3. (2014苏州期末)在abc中,设角a,b,c的对边分别为a,b,c,且acosc+c=b.(1) 求角a的大小;(2) 若a=,b=4,求边c的大小.解答方法一:(1) 由正弦定理和acosc+c=b,得sinacosc+sinc=sinb.因为sinb=sin(a+c)=sinacosc+cosasinc,所以sinc=cosasinc.因为sinc0,所以cosa=.因为0a,所以a=.(2) 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosa,a=,b=4,得15=16+c2-24c,即c2-4c+1=0,解得c=2.方法二:(1) 由射影定理及acosc+ccosa=b,得cosa=,而0a,所以a=.(2) 由正弦定理=及sina=,a=,b=4,解得sinb=.由三角形大边对大角,小边对小角,知cosb=,所以sinc=sin(a+b)=sinacosb+sin bcosa=+=,再由正弦定理得=,求得c=2.解三角形的实际应用问题如图,在梯形abcd中,adbc,ab=5,ac=9,bca=30,adb=45,求bd的长.(例2)思维引导由于ab=5,adb=45,因此要求bd,可在abd中,由正弦定理求解,关键是确定bad的正弦值.在abc中,ab=5,ac=9,acb=30,因此可用正弦定理求出sinabc,再依据abc与bad互补确定sinbad即可.解答在abc中,ab=5,ac=9,bca=30.由正弦定理得=,则sinabc=.因为adbc,所以bad=180-abc,所以sinbad=sinabc=.同理,在abd中,ab=5,sinbad=,adb=45,由正弦定理得=,解得bd=.精要点评此题需将多边形分割成若干个三角形,在分割时,要注意有利于应用正、余弦定理.如图,位于a处的信息中心获悉:在其正东方向相距40nmile的b处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20nmile的c处的乙船,现乙船朝北偏东的方向即沿直线cb前往b处救援,求cos.(例3)思维引导先由正弦定理求得sinbac,注意到=acb+30,再利用两角和的余弦求解.解答在abc中,ab=40,ac=20,bac=120.由余弦定理,得bc2=ab2+ac2-2abaccos120=2 800,所以bc=20.由正弦定理得sinacb=sinbac=.由bac=120,知acb为锐角,故cosacb=.故cos=cos(acb+30)=cosacbcos30-sinacbsin30=-=.精要点评恰当选择三角形利用正、余弦定理解出所需要的边和角,再利用两角和与差的三角函数公式求解.(2014湖南卷)如图,在平面四边形abcd中,ad=1,cd=2,ac=.(1) 求coscad的值;(2) 若cosbad=-,sincba=,求bc的长.解答(1) 在adc中,由余弦定理得coscad=.(2) 设bac=,则=bad-cad.因为coscad=,cosbad=-,所以sincad=,sinbad=.于是sin=sin(bad-cad)=sinbadcoscad-cosbadsincad=-=.在abc中,由正弦定理得=,故bc=3.如图,在一条海防警戒线上的点a,b,c处各有一个水声监测点,b,c两点到点a的距离分别为20 km和50 km.某时刻,b收到发自静止目标p的一个声波信号,8s后a,c点同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(范题赏析)(1) 设点a到目标p的距离为x km,用x表示点b,c到目标p的距离,并求x的值;(2) 求目标p到海防警戒线ac的距离(结果精确到0.01 km).规范答题(1) 依题意,有pa=pc=x,pb=x-1.58=x-12.(2分)在pab中,ab=20,cospab=.(4分)同理,在pac中,ac=50,cospac=.(6分)因为cospab=cospac,所以=,解得x=31.(8分)(2) 作pdac于点d,则d为ac的中点,ad=25.在adp中,由cospad=,得sinpad=.(12分)所以pd=pasinapd=31=418.33 km.故静止目标p到海防警戒线ac的距离约为18.33 km.(14分)1. 如果某人朝正东方向走x km后,向右转150,然后朝新方向走3 km,结果他离出发点恰好为km,那么x=.答案2或解析由余弦定理可得x2+32-23xcos 30=()2,解得x=2或.2. 已知abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,若b+c=2a,3sina=5sinb,则角c=.答案3. 如图,设a,b两点在河的两岸,一测量者在a的同侧,在所在的河岸边选定一点c,测出ac的距离为50 m,acb=45,cab=105,则a,b两点的距离为m.(第3题)答案50解析由正弦定理得=,所以ab=50(m).4. 在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行.此时,风向是北偏东30,风速是20 km/h;水的流向是正东方向,流速是20 km/h.若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行