（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十一章 圆锥曲线与方程 第64课 直线与圆锥曲线的综合问题 文.doc

第64课 直线与圆锥曲线的综合问题(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修2-1p27习题4改编)曲线-x=0上一点p到直线y=x+3的最短距离为.【答案】【解析】设p(x，y)，由点到直线的距离公式得d=，所以dmin=.2.(选修2-1p44习题6改编)若椭圆+=1中过点 p(1，1)的弦恰好被点p平分，则此弦所在直线的方程是.【答案】x+2y-3=0【解析】 设弦的两个端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0.又x1+x2=2，y1+y2=2，代入得=-.故所求直线的方程为y-1=-(x-1)，即x+2y-3=0.3.(选修2-1p63习题4改编)已知抛物线y2=2px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在坐标原点，斜边长是5，一条直角边所在的直线方程是y=2x，那么抛物线的方程为.【答案】y2=x【解析】由于一条直角边所在直线方程是y=2x，那么另一条直角边所在直线方程是y=-x，它们与抛物线的交点(非原点)坐标为，(8p，-4p)，由题意知=5，解得p=，所以抛物线方程为y2=x.4.(选修2-1p66复习题15改编)若斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于a，b两点，则ab的最大值为.【答案】【解析】设直线l的方程为y=x+t，代入+y2=1，消去y，得x2+2tx+t2-1=0，由题意得=(2t)2-5(t2-1)0，即t2b0)右焦点的直线x+y-=0交椭圆m于a，b两点，p为ab的中点，且op的斜率为，求椭圆m的方程.【解答】设a(x1，y1)，b(x2，y2)，p(x0，y0)，则+=1，+=1，=-1，由此可得=-=1.因为x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，=，所以a2=2b2.又由题意知，m的右焦点为(，0)，故a2-b2=3，因此a2=6，b2=3.所以椭圆m的方程为+=1.定值问题例2(2015陕西卷改编)如图，椭圆e：+=1(ab0)经过点a(0，-1)，且离心率为.(例2)(1)求椭圆e的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆e交于不同两点p，q(均异于点a)，求证：直线ap与aq的斜率之和为2.【思维引导】问题(1)构造关于a，b 的方程组求解即可；对于问题(2)，构造关于x的方程，结合两直线的斜率式子与方程的韦达关系进行代换化简.【解答】(1)由题意知=，b=1，又a2=b2+c2，解得a=，所以椭圆的方程为+y2=1.(2)由题设知，直线pq的方程为y=k(x-1)+1(k2)，代入+y2=1，得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0，由已知0，设p(x1，y1)，q(x2，y2)，x1x20，则x1+x2=，x1x2=，从而直线ap与aq的斜率之和kap+kaq=+=+=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-(2k-2)=2.【精要点评】定值问题常见于直线、圆及圆锥曲线的相关问题中.解决此类问题主要利用换元与化归的思想方法，有时还需要结合繁杂的运算进行必要的化简.变式(2015全国卷)已知椭圆c：+=1(ab0)的离心率为，点(2，)在椭圆c上.(1)求椭圆c的标准方程；(2)若直线l不经过原点o，且不平行于坐标轴，直线l与椭圆c有两个交点a，b，线段ab的中点为m，求证：直线om的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.【解答】(1)由题意有=+=1，解得a2=8，b2=4，所以椭圆c的方程为+=1.(2)设直线l：y=kx+b(k0，b0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(xm，ym)，把y=kx+b代入+=1，得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xm=，ym=kxm+b=，于是直线om的斜率kom=-，即komk=-，所以直线om的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.定点问题例3已知椭圆 +y2=1的左顶点为a，过a作两条互相垂直的弦am，an交椭圆于m，n两点.(1)当直线am的斜率为1时，求点m的坐标.(2)当直线am的斜率变化时，直线mn是否过x轴上的一定点?若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由.【思维引导】直线过定点问题，可以求出直线方程，运用直线方程求解；也可以用三点共线来转化.【解答】(1)直线am的斜率为1时，直线am：y=x+2，代入椭圆方程并化简得5x2+16x+12=0，解得x1=-2，x2=-，所以m.(2)设直线am的斜率为k，则am：y=k(x+2)，则化简得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.因为此方程有一根为-2，所以xm=.同理可得xn=.由(1)知若存在定点，则此点必为p.因为kmp=，同理可得kpn=，所以直线mn过x轴上的一定点p(-，0).【精要点评】本题在论证直线过定点时，利用了第(1)问的特征，从而得到了定点的坐标，再利用k1=k2进行论证.本题也可以根据两点坐标求出直线的方程，再根据所得直线方程求出定点坐标.变式(2015泰州期末)如图，在平面直角坐标系xoy中，离心率为的椭圆c：+=1(ab0)的左顶点为a，过原点o的直线(与坐标轴不重合)与椭圆c交于p，q两点，直线pa，qa分别与y轴交于m，n两点.若直线pq的斜率为时，pq=2.(变式)(1)求椭圆c的标准方程；(2)试问以mn为直径的圆是否经过定点(与直线pq的斜率无关)?请证明你的结论.【解答】(1)设p.因为直线pq的斜率为时，pq=2，所以+=3，即=2，所以+=1.因为e=，所以a2=4，b2=2.所以椭圆c的标准方程为+=1.(2)方法一：以mn为直径的圆过定点(，0).理由如下：设p(x0，y0)，则q(-x0，-y0)，且+=1，即+2=4.因为a(-2，0)，所以直线pa的方程为y=(x+2)，所以m，直线qa的方程为y=(x+2)，所以n.以mn为直径的圆为(x-0)(x-0)+=0，即x2+y2-y+=0.因为-4=-2，所以x2+y2+y-2=0.令y=0，解得x=，所以以mn为直径的圆过定点(，0).方法二：设p(x，y)，q(-x，-y)，a(-2，0)，则kapkaq=-.设直线ap的斜率为k，则直线aq的斜率为-，则直线ap的方程为y=k(x+2).令x=0，y=2k，所以m(0，2k).同理可得n.则以mn为直径的圆为x2+(y-2k)=0，即x2+y2+y-2=0.令y=0，解得x=，所以以mn为直径的圆过定点(，0).圆锥曲线的综合问题例4(2015江苏卷)如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆+=1(ab0)的离心率为，且右焦点f到左准线l的距离为3.(例4)(1)求椭圆的标准方程；(2)过f的直线与椭圆交于a，b两点，线段ab的垂直平分线分别交直线l和ab于点p，c，若pc=2ab，求直线ab的方程.【思维引导】(1)求椭圆的标准方程，只需知两个独立条件即可，一是离心率为，二是右焦点f到左准线l的距离为3，解方程组即得.(2)因为直线ab过点f，所以求直线ab的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据pc=2ab列出关于斜率的等量关系.【解答】(1)由题意得=且c+=3，解得a=，c=1，则b=1，所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)当abx轴时，ab=，又cp=3，不合题意.当ab与x轴不垂直时，设直线ab的方程为y=k(x-1)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，将ab的方程代入椭圆方程，得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0，则x1，2=，点c的坐标为，且ab=.若k=0，则线段ab的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意.从而k0，故直线pc的方程为y+=-，则点p的坐标为，从而pc=.因为pc=2ab，所以=，解得k=1.此时直线ab的方程为y=x-1或y=-x+1.【精要点评】这是一道看似简单，实则充分体现出解析几何运算量较大的特点的题目.第(1)小题实属简单，第(2)小题中由参数k贯穿整个解答过程.在解题过程中，需要时刻注意斜率的存在性与参数k是否为0的细节，否则问题的解答可能不全面.变式(2015常州期末)在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆c：+=1(ab0)的离心率e=，直线l：x-my-1=0(mr)过椭圆c的右焦点f，且交椭圆c于a，b两点.(1)求椭圆c的标准方程.(2)已知点d，连接bd，过点a作垂直于y轴的直线l1，设直线l1与直线bd交于点p，试探索当m变化时，是否存在一条定直线l2，使得点p恒在直线l2上?若存在，请求出直线l2的方程；若不存在，请说明理由.【解答】(1)在x-my-1=0中，令y=0，得x=1，所以f(1，0).由题设得解得从而b2=a2-c2=3，所以椭圆c的标准方程为+=1.(2)令m=0，则a，b或a，b.当a，b时，p；当a，b时，p，所以若满足题意的直线存在，则定直线l2只能是x=4.下面证明点p恒在直线x=4上.设a(x1，y1)，b(x2，y2).由于pa垂直于y轴，所以点p的纵坐标为y1，从而只要证明p(4，y1)在直线bd上即可.由消去x，得(4+3m2)y2+6my-9=0.因为=144(1+m2)0，所以y1+y2=，y1y2=.因为kdb-kdp=-=-=.将式代入上式，得kdb-kdp=0，所以 kdb=kdp.所以点p(4，y1)恒在直线bd上，从而直线l1，直线bd与直线l2：x=4三线恒过同一点p，所以存在一条定直线l2：x=4，使得点p恒在直线l2上.1.(2015南京、盐城一模)若双曲线x2-y2=a2(a0)的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则实数a=.【答案】【解析】已知抛物线y2=4x，所以2p=4，则焦点为(1，0)，其为双曲线右焦点，所以c2=a2+a2=1，所以a2=，即a=.2.若双曲线-=1与椭圆+=1有公共焦点，且过点(3，2)，则双曲线的离心率为.【答案】【解析】方法一：设双曲线的半焦距为c，则c2=20，所以b2=c2-a2=20-a2，又点(3，2)在双曲线上，故-=1，即18b2-4a2=a2b2.联立解得a2=12，b2=8，故a=2，c=2，离心率e=.方法二：同方法一易得c2=20.又点(3，2)在双曲线上得且双曲线的焦点为(-2，0)，(2，0)，由双曲线定义得2a=|-|=-，则4a2=(-)2=48，化简得a2=12，所以a=2，c=2，离心率e=.3.(2015苏锡常镇二模)已知a为椭圆+=1上的动点，mn为圆c：(x-1)2+y2=1的一条直径，则的最大值为.【答案】15【解析】因为=(-)(-)=+|2=-1，设a(x，y)，所以=(x-1)2+y2-1=x2-2x+y2，又+=1，即=x2-2x+5(-3x3)，又该二次函数为开口向上，对称轴为x=，故x=-3时，有最大值为15.4.(2015北京卷)已知椭圆c：x2+3y2=3，过点d(1，0)且不过点e(2，1)的直线与椭圆c交于，两点，直线与直线x=3交于点.(1)求椭圆c的离心率；(2)若垂直于x轴，求直线的斜率；(3)试判断直线与直线d的位置关系，并说明理由.【解答】(1)椭圆c的标准方程为+y2=1，所以a=，b=1，c=.所以椭圆c的离心率e=.(2)因为ab过点d(1，0)且垂直于x轴，所以可设a(1，y1)，b(1，-y1).直线ae的方程为y-1=(1-y1)(x-2).令x=3，得m(3，2-y1).所以直线bm的斜率kbm=1.(3)直线bm与直线de平行.证明如下：当直线ab的斜率不存在时，由(2)可知kbm=1.又因为直线de的斜率kde=1，所以bmde.当直线ab的斜率存在时，设其方程为y=k(x-1)(k1).设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则直线ae的方程为y-1=(x-2).令x=3，得点m.由得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0.所以x1+x2=，x1x2=.直线bm的斜率kbm=.因为kbm-1=0，所以kbm=1=kde，所以bmde.综上可知，直线bm与直线de平行.【融会贯通】融会贯通能力提升(2015南京、盐城、徐州二模)如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆e：+=1(ab0)的离心率为，直线l：y=x与椭圆e相交于a，b两点，ab=2，c，d是椭圆e上异于a，b的任意两点，且直线ac，bd相交于点m，直线ad，bc相交于点n，连接mn.(1)求a，b的值；(2)求证：直线mn的斜率为定值.【思维引导】(1)(2)方法一：方法二：【规范解答】(1)因为e=，所以c2=a2，即a2-b2=a2，所以a2=2b22分所以椭圆的方程为+=1.由题意，不妨设点a在第一象限，点b在第三象限.由解得a.又ab=2，所以oa=，即b2+b2=5，解得b2=3.故a=，b=5分(2)方法一：由(1)知椭圆e的方程为 +=1，从而a(2，1)，b(-2，-1).当ac，bc，ad，bd斜率都存在时，设直线ac，ad的斜率分别为k1，k2，c(x0，y0)，显然k1k2.从而k1kbc=-.所以kbc=-.同理kbd=-8分于是直线ad的方程为y-1=k2(x-2)，直线bc的方程为y+1=-(x+2).由解得从而点n的坐标为10分同理，得点m的坐标为12分所以kmn=-1.即直线mn的斜率为定值-114分当ac，bc，ad，bd中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在.故不妨设直线ac的斜率不存在，从而c(2，-1).仍然设ad的斜率为k2，由知kbd=-.此时ac：x=2，bd：y+1=-(x+2)，它们的交点m.bc：y=-1，ad：y-1=k2(x-2)，它们的交点n，从而kmn=-1也成立.由可知直线mn的斜率为定值-116分方法二：由(1)知a(2，1)，b(-2，-1)，椭圆e：+=1，即x2+2y2=6.当直线ac，bd，ad，bc的斜率均存在时，设c(x1，y1)，则+2=6，变形得-4=-2(-1)，即=-.即kackbc=-，从而kmaknb=-8分设m(xm，ym)，n(xn，yn)，则=-，即ymyn+ym-yn-1=-xmxn-xm+xn+210分同理，由kmbkna=-，得ymyn-ym+yn-1=-xmxn+xm-xn+2.两式相减，得2(ym-yn)=-2(xm-xn)，所以kmn=-114分当直线ac，bd，ad，bc中有斜率不存在时，不妨设d(-2，1)，c(x1，y1)，x12.设m(-2，ym)，n(xn，1)，仍然有kmaknb=-，得=-，即kmn=-1.综上所述，直线mn的斜率为定值-116分【精要点评】(1)处理圆锥曲线的问题有两种常见的方法：其一，直接法，即直接求解相关量，一般运算量较大；其二，努力探求解决问题的技巧，比如题中的设而不求等，使得一定程度上降低运算量.(2)本题的本质是下列圆中的问题在圆锥曲线中的推广.如图，已知ab是圆o的直径，c，d是圆上异于a，b的两点，且ac，bd相交于点m，bc，ad相交于点n，所以abmn.由三角形的三条高交于一点立即可得.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第127128页.【检测与评估】第64课直线与圆锥曲线的综合问题一、 填空题1.(2015苏州调查)已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.2.(2015南通、扬州、泰州、淮安三调)在平面直角坐标系xoy中，点f为抛物线x2=8y的焦点，则f到双曲线x2-=1的渐近线的距离为.3.(2015盐城三模)若抛物线y2=8x的焦点f与双曲线-=1的一个焦点重合，则实数n的值为.4.(2015全国卷)若一个圆经过椭圆+=1的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为.5.(2015湖南卷)设f是双曲线c：-=1的一个焦点，若双曲线c上存在点p，使线段pf的中点恰为其虚轴的一个端点，则双曲线c的离心率为.6.(2015福建卷改编)已知椭圆e：+=1(ab0)的右焦点为f，短轴的一个端点为m，直线l：3x-4y=0交椭圆e于a，b两点，若af+bf=4，点m到直线l的距离不小于，则椭圆e的离心率的取值范围是.7.已知mr，在平面直角坐标系xoy中，向量a=(mx，y+1)，且向量b=(x，y-1)，ab.若m0，则动点m(x，y)的轨迹为.8.(2015山东卷)在平面直角坐标系xoy中，双曲线c1：-=1(a0，b0)的渐近线与抛物线c2：x2=2py(p0)交于点o，a，b，若oab的垂心为c2的焦点，则双曲线c1的离心率为.二、 解答题 9.(2015安徽卷)设椭圆e的方程为+=1(ab0)，点o为坐标原点，点a的坐标为(a，0)，点b的坐标为(0，b)，点m在线段ab上，且满足bm=2ma，直线om的斜率为.(1)求椭圆e的离心率e；(2)设点c的坐标为(0，-b)，n为线段ac的中点，求证：mnab.10.(2015泰州二模)如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆e：+=1(ab0)的左顶点为a，与x轴平行的直线与椭圆e交于b，c两点，过b，c两点且分别与直线ab，ac垂直的直线相交于点d.已知椭圆e的离心率为，右焦点到右准线的距离为.(1)求椭圆e的标准方程；(2)求证：点d在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；(3)求bcd面积的最大值.(第10题)11.(2015南京三模)如图，在平面直角坐标系xoy中，设中心在坐标原点的椭圆c的左、右焦点分别为f1，f2，右准线l：x=m+1与x轴的交点为b，bf2=m.(1)已知点在椭圆c上，求实数m的值；(2)已知定点a(-2，0).若椭圆c上存在点t，使得=，求椭圆c的离心率的取值范围；当m=1时，记m为椭圆c上的动点，直线am，bm分别与椭圆c交于另一点p，q，若=，求证：+为定值.(第11题)三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知双曲线-=1(a0，b0)的离心率为2，f(2，0)是右焦点.若a，b为双曲线上关于原点对称的两点，且=0，则直线ab的斜率是.13.已知椭圆+=1(ab0)的离心率是，过椭圆上一点m作直线ma，mb分别交椭圆于点a，b，且斜率分别为k1，k2.若点a，b关于原点对称，则k1k2=.【检测与评估答案】第64课直线与圆锥曲线的综合问题1.y=x【解析】由题意得=3，所以m=4.而双曲线的渐近线方程为y=x，即y=x.2.【解析】由题可知，点f(0，2)，双曲线的渐近线方程为y=3x，所以点f到双曲线的渐近线的距离d=.3.1【解析】因为抛物线y2=8x的焦点为f(2，0)，又在-=1中，c=，根据它们有相同的焦点，得=2，解得n=1.4.+y2=【解析】设圆心为(a，0)，则半径为4-|a|，则(4-|a|)2=|a|2+22，解得a=，故圆的方程为+y2=.5.【解析】根据对称性，不妨设f(c，0)，虚轴端点为(0，b)，从而可知点(-c，2b)在双曲线上，所以-=1e=.6.【解析】设左焦点为f1，连接af1，bf1，则四边形bf1af是平行四边形，故af1=bf，所以af+af1=4=2a，所以a=2，设m(0，b)，则，故b1，从而a2-c21，0c23，00且m1时，方程表示的是椭圆；当m=1时，方程表示的是圆x2+y2=1.8.【解析】双曲线c1：-=1(a0，b0)的渐近线方程为y=x，则a，b，抛物线c2：x2=2py(p0)的焦点f，则kaf=，即=，所以=，e=.9.(1) 因为bm=2ma且a(a，0)，b(0，b)，所以m，又因为om的斜率为，所以=，所以=，所以e=.(2) 由题意可知点n的坐标为，所以kmn=，kab=，所以kmnkab=-=-1，所以mnab.10. (1) 由题意得=-c=，解得a=3，c=，所以b=2，所以椭圆e的标准方程为+=1.(2) 设b(x0，y0)，c(-x0，y0).显然直线ab，ac，bd，cd的斜率都存在，设为k1，k2，k3，k4，则k1=，k2=，k3=-，k4=，所以直线bd，cd的方程分别为y