三角函数1.doc..doc

1.角的概念与推广 任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形旋转开始时的射线叫做角的始边；旋转终止时的射线叫做角的终边；射线的端点叫做角的顶点(2)角的分类：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角(3)象限角和轴线角：在直角坐标系中研究和讨论角，要使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合此时，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角；如果角的终边与坐标轴重合，就说这个角不属于任何象限，称之为轴线角或象限界角第一象限角：2k2k+,kZ；第二象限角：2k+2k+,kZ第三象限角：2k+2k+,kZ；第四象限角：2k+ 2k+2,kZ (4)终边相同的角的集合：所有与角终边相同的角，连同角在内，可以构成一个集合S|k360，kZ，即任何一个与角终边相同的角，都可以表示为角与整数个周角的和 注： 相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.你还记得什么叫终边相同的角？若角与的终边相同，则 若角与的终边共线，则： 若角与的终边关于轴对称，则： 若角与的终边关于轴对称，则： 若角与的终边关于原点对称，则： 若角与的终边关于直线对称，则：若角终边与终边关于角的终边对称.与的终边关系由“两等分各象限、一二三四”确定.特殊角的集合：终边在坐标轴上的角的集合，kZ终边在一、三象限角平分线上角的集合k+，kZ终边在二、四象限角平分线上角的集合k-，kZ终边在四个象限角平分线上角的集合k-，kZ终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表示为：；终边在坐标轴上的角可表示为：.2.角的单位制(1)角度制：规定圆周的为1度的角，这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制角度制的单位是“”(写在数值的右上角)，读作度(2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制弧度的单位符号是“rad”，读作弧度(用弧度制表示角时单位rad常常省略不写)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-，-2等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。(3)角度与弧度的互化公式：角度化成弧度：3602_rad,180_rad, 弧度0.017_45_rad；弧度化成角度：2 rad360，弧度，弧度（rad） .(4)扇形的弧长与面积公式：扇形的弧长公式：=；扇形的面积公式：=.注：一个式子中不能角度,弧度混用.3.常见的角度制与弧度制互换3任意角的三角函数的定义：(1)利用单位圆定义：如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:叫做的正弦(sine),记做,即；叫做的余弦(cossine),记做,即；叫做的正切(tangent),记做,即.注意:当是锐角时，此定义与初中定义相同。可以看出，当k(kZ)时，的终边在y轴上，这时点P的横坐标x等于0，所以tan 无意义除此之外，对于确定的角，上述三个值都是唯一确定的所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数（2）当角终边上一点P不是终边与单位圆的交点时：由于三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关，故，（）（3）图形角度：； 六个三角函数值在每个象限的符号： 三角函数符号规律是：一全正、二正弦、三是切、四余弦；（简记为“全s t c”），也可结合定义理解记忆。5.三角函数线设角的终边与单位圆交于点P(如图)，则图中的有向线段MP，OM，AT的数量分别等于角的正弦、余弦、正切的值，这些有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线第一象限第二象限第三象限第四象限注：借助于三角函数线解三角不等式或不等式组的步骤还清楚吗？三角函数线的特征是：正弦线“站在轴上(起点在轴上)”、余弦线“躺在轴上(起点是原点)”、正切线“站在点处(起点是)”.务必重视“三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系，正弦纵坐标、余弦横坐标、正切纵坐标除以横坐标之商”；务必记住：单位圆中角终边的变化与值的大小变化的关系.为锐角.我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以为始点、为终点，规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有同理,当角的终边不在轴上时,以为始点、为终点，规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标。这样,无论那种情况都有。主要应用：比较三角函数值的大小和解三角不等式。如：； 由三角函数线，我们很容易得到函数，和的单调区间； 6.特殊角的三角函数值： 0sin0100cos1001tg01不存在0不存在0ctg不存在10不存在0不存在须理解并记住0、30、45、60和90的、相应的三角函数值，其它特殊角的三角函数值可通过诱导公式转化而得，可以不要硬记。7.等分象限法：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为 (nN*)的终边所在的区域。如：已知“是第三象限角，则是第几象限角?解法一：因为是第三象限角，所以，当k=3m（mZ）时，为第一象限角；当k= 3m1（mZ）时，为第三象限角，当k= 3m2（mZ）时，为第四象限角，故为第一、三、四象限角。解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依次将各区域标上I、，并依次循环一周，则原来是第象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域。由图可知，是第一、三、四象限角8.同角三角函数的基本关系及诱导公式同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2_cos2_1.(2)商数关系：tan .记忆方法：“六边形法” 同角三角函数的关系与诱导公式的运用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。求任意角的三角函数值。步骤：任意负角的三角函数任意正教的三角函数0o360o角的三角函数求值公式三、一公式一0o90o角的三角函数公式二、四、五、六、七、八、九已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个步骤：确定角所在的象限；如函数值为正，先求出对应的锐角；如函数值为负，先求出与其绝对值对应的锐角；根据角所在的象限，得出间的角如果适合已知条件的角在第二限；则它是；如果在第三或第四象限，则它是或；如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合。诱导公式(1)sin(2k)sin_，cos(2k)cos_，tan(2k)tan_，kZ.(2)sin()sin_，cos()cos_，tan()tan_.(3)sin()sin_，cos()cos_，tan()tan_.(4)sin()sin_，cos()cos_，tan()tan_.(5)sin()cos_，cos()sin_.sincostgctg-+-+-+-+2-+-2k+(6)sin()cos_，cos()sin_.+-+-+-注：2k，kZ，的三角函数值等于的同名三角函数值前面加上一个把看成锐角时原函数的符号.的正弦(余弦)函数值等于的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数的符号也可以用口诀记忆：“奇变偶不变，符号看象限” 奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）.正弦、余弦的诱导公式还可理解为(n为偶数)(n为奇数)(n为偶数)(n为奇数)诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：负角变正角，再写成2k+,；转化为锐角三角函数。(“去负脱周化锐”)9.三角函数的图象与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图像三角函数的定义域这两种表示法都需要掌握即角x不能取终边在y轴上的角函数y=cotx的定义域是x或(k，k+)(kZ)，这两种表示法都需要掌握即角x不能取终边在x轴上的角(2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同三角函数的值域(1)由|sinx|1、|cosx|1得函数y=cscx、y=secx的值域是|cscx|1、|secx|1(2)复合三角函数的值域问题较复杂，除了代数求值域的方法都可以适用外，还要注意三角函数本身的特点，特别是经常需要先进行三角变换再求值域常用的一些函数的值域要熟记y=tanx+cotx(-，-22，+)三角函数的周期性对于函数yf(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(xT)f(x)都成立，那么f(x)是周期函数，T是它的周期，对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小的正数叫最小正周期 (1)对周期函数的定义，要抓住两个要点：周期性是函数的整体性质，因此f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个x成立时，非零常数T才是f(x)的周期周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值因为sin(2k+x)=sinx对定义域中任一个x成立，所以2k(kZ，k0)是y=sinx的周期，最小正周期是2同理2k(kZ，k0)是y=cosx的周期，最小正周期是2因为tan(k+x)=tanx对定义域中任一个x成立，所以k(kZ，k0)是y=tanx的周期，最小正周期是同理k(kZ，k0)是y=cotx的周期，最小正周期是三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，三角函数的奇偶性“函数y = sin (x) （R）不可能是偶函数”是否正确分析：当时，这个函数显然是偶函数因此，这个判断是错误的我们容易得到如下结论： 函数y = sin (x)是奇函数 函数y = sin (x)是偶函数 函数y =cos (x)是奇函数 函数y = cos (x)是偶函数三角函数图像与性质总结常用的1周期图像“五点法”关键点定义域值域RR最值及相应x值周期性单调性()增: 减:增: 减:增: 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数对称性()中心：中心：中心：轴：轴：轴：无对称轴注：研究三角函数的问题注意角的范围；研究三角函数的单调性和最值，一般化成y=sin(x+)+的形式，尽量使；注意不要掉了；注意答案是还是。不是周期函数，为周期函数（）； 是周期函数，为周期函数（）；的周期不变，的周期为2（）；正切函数的周期是，它与直线的两个相邻交点之间的距离是一个周期；正切型函数的对称中心有两类：一类是图象与轴的交点，另一类是渐近线与轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。正切函数在单调区间内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。作函数的图象时，首先要确定函数的定义域它们的单调区间、对称中心、对称轴及其取得最值时的值的集合别忘了 图象的对称中心是点，而不是点你可不能搞错了！对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象。求定义域时，若需先把式子化简，一定要注意变形时x的取值范围不能发生变化。求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数，且三角函数的次数为1的形式，否则很容易出现错误。函数的单调性是在定义域或定义域的某个子区间上考虑的，要比较两三角函数值的大小一般先将它们化归为同一单调区间的同名函数再由该函数的单调性来比较大小。10.函数yAsin(x)的图象变换与应用认识图像“五点法”作函数yAsin(x)的图象根据三角函数的图象在一个周期内的最高点、最低点及与x轴的三个交点来作图，即先确定这五个点来作这个函数的图象其一般步骤是：令依次为 求出x与y，依点作图，即求出对应的五点；在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接，得函数yAsin(x)在一个周期内的函数图象；将所得图象向两方扩展，得yAsin