（课标通用）高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.3 函数的奇偶性与周期性学案 理.doc

2.3函数的奇偶性与周期性考纲展示1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性考点1函数奇偶性的判断函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做偶函数关于_对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做奇函数关于_对称答案：f(x)f(x)y轴f(x)f(x)原点教材习题改编 函数f(x)x3, f(x)x4，f(x)x2，f(x)|x|中，偶函数的个数是_答案：2解析：f(x)x4和f(x)x2为偶函数判断函数奇偶性的易错点：忽略定义域；变形错误(1)函数f(x)(x1)在定义域上是_函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)答案：非奇非偶解析：要使函数有意义，必须使0，即0，解得11时，x1，所以f(x)(x)22(x22)f(x)；当x1，所以f(x)(x)22(x22)f(x)；当|x|1时，f(x)0f(x)综上可知f(x)是奇函数典题1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)xlg(x)；(2)f(x)(1x)；(3)f(x) (4)f(x).解(1)|x|0，函数f(x)的定义域为r，关于原点对称，又f(x)(x)lgxxlg(x)xlg(x)f(x)即f(x)f(x)，f(x)是偶函数(2)当且仅当0时函数有意义，1x1，由于定义域关于原点不对称，函数f(x)是非奇非偶函数(3)函数的定义域为x|x0，关于原点对称，当x0时，x0，f(x)x22x1f(x)，当x0时，x0，f(x)x22x1f(x)f(x)f(x)，即函数是奇函数(4)2x2且x0，函数的定义域关于原点对称f(x)，又f(x)，f(x)f(x)，即函数是奇函数点石成金判定函数奇偶性的三种常用方法(1)定义法：(2)图象法：(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是 d1，d2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”提醒(1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性考点2函数的周期性函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的任何值时，都有_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称t为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_的正数，那么这个_就叫做f(x)的最小正周期答案：(1)f(xt)f(x)(2)最小最小正数(1)教材习题改编已知函数f(x)满足f(x2)f(x)，当x(0,1时，f(x)log4(x23)，则f(2 017)_.答案：1解析：因为f(x2)f(x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，所以f(2 017)f(1 00821)f(1)log4(123)1.(2)教材习题改编设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f_.答案：周期性三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x，最小正周期为t.(1)若f(xa)f(x)，则t_；(2)若f(xa)，则t_；(3)若f(xa)f(xb)，则t_.答案：(1)2|a|(2)2|a|(3)|ab|解析：(1)因为f(x2a)f(xaa)f(xa)f(x)，所以其最小正周期t2|a|.(2)因为f(x2a)f(xaa)f(x)，所以其最小正周期t2|a|.(3)f(xab)f(xb)af(xb)bf(x)，所以其最小正周期t|ab|.典题2(1)2017山西晋中模拟已知f(x)是r上的奇函数，f(1)2，且对任意xr都有f(x6)f(x)f(3)成立，则f(2 017)_.答案2解析f(x)是r上的奇函数，f(0)0，又对任意xr都有f(x6)f(x)f(3)，当x3时，有f(3)f(3)f(3)0，f(3)0，f(3)0，f(x6)f(x)，周期为6.故f(2 017)f(1)2.(2)设f(x)是定义在r上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.求函数的最小正周期；计算f(0)f(1)f(2)f(2 015)解f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)的最小正周期为4.f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)0，f(0)f(1)f(2)f(2 015)0.题点发散1若本例(2)中条件变为“f(x2)”，求函数f(x)的最小正周期解：对任意xr，都有f(x2)，f(x4)f(x22)f(x)，f(x)的最小正周期为4.题点发散2若本例(2)中条件改为：定义在r上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.求f(1)f(2)f(3)f(2 015)的值解：f(x6)f(x)，t6.当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(6)f(7)f(8)f(12)f(2 005)f(2 006)f(2 010)1，f(1)f(2)f(2 010)1335.而f(2 011)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)121011.f(1)f(2)f(2 015)3351336.题点发散3在本例(2)条件下，求f(x)(x2,4)的解析式解：当x2,0时，x0,2，由已知得f(x)2(x)(x)22xx2，又f(x)是奇函数，f(x)f(x)2xx2.f(x)x22x.又当x2,4时，x42,0，f(x4)(x4)22(x4)又f(x)是周期为4的周期函数，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x26x8.故x2,4时，f(x)x26x8.点石成金1.判断函数周期性的两种方法(1)定义法(2)图象法2判断函数周期性的三个常用结论若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：(1)f(xa)f(x)(a0)，则函数f(x)必为周期函数，2a是它的一个周期(2)f(xa)(a0)，则函数f(x)必为周期函数，2a是它的一个周期(3)f(xa)(a0)，则函数f(x)必为周期函数，2a是它的一个周期3函数周期性的重要应用利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.1.已知f(x)是r上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为()a6b7 c8d9答案：b解析：f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0x2时，f(x)x3xx(x1)(x1)，当0x2时，f(x)0有两个根，即x10，x21.由周期函数的性质知，当2x0的x的取值范围是_答案：(1,0)(1，)考情聚焦高考常将函数的单调性、奇偶性及周期性相结合来命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题主要有以下几个命题角度：角度一奇偶性的应用典题3(1)2017河北武邑中学高三上期中已知f(x)满足对xr，f(x)f(x)0，且x0时，f(x)exm(m为常数)，则f(ln 5)的值为()a4b4c6d6答案b解析由题设函数f(x)是奇函数，故f(0)e0m1m0，即m1，所以f(ln 5)f(ln 5)eln 51514，故选b.(2)设函数f(x)为奇函数，则a_.答案1解析f(x)为奇函数，f(1)f(1)0，即0，a1.角度二函数的奇偶性与单调性相结合问题典题4(1)设偶函数f(x)的定义域为r，当x0，)时f(x)是增函数，则f(2)，f()，f(3)的大小关系是()af()f(3)f(2) bf()f(2)f(3)cf()f(3)f(2) df()f(2)f(3)答案a解析因为32，且当x0，)时f(x)是增函数，所以f()f(3)f(2)又函数f(x)为r上的偶函数，所以f(3)f(3)，f(2)f(2)，故f()f(3)f(2)(2)已知函数f(x)是定义域为r的偶函数，且在区间0，)上是增函数，若f(m)f(2)，则实数m的取值范围是_答案(，22，)解析函数f(x)是r上的偶函数，且在0，)上是增函数，所以f(x)在(，0上是减函数当m0时，由f(m)f(2)，知m2；当m0时，由f(m)f(2)，f(2)f(2)可得，f(m)f(2)，所以m2.故实数m的取值范围是(，22，)角度三函数的周期性与奇偶性相结合问题典题5(1)已知f(x)是定义在r上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围为()a(1,4)b(2,0)c(1,0)d(1,2)答案a解析f(x)是定义在r上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)，1，即0，解得1a4.(2)若函数f(x)(xr)是周期为4的奇函数，且在0,2上的解析式为f(x) 则ff_.答案解析由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以ffffffffsin .角度四函数的单调性、奇偶性与周期性相结合问题典题6(1)已知定义在r上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()af(25)f(11)f(80)bf(80)f(11)f(25)cf(11)f(80)f(25)df(25)f(80)f(11)答案d解析因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在r上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)因为f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在r上是奇函数，所以f(x)在区间2,2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)0)5对称性的三个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称(2)若对于r上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称易错防范1.f(0)0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件2分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性 真题演练集训 12015福建卷下列函数为奇函数的是()ayby|sin x|cycos xdyexex答案：d解析：对于d，f(x)exex的定义域为r，f(x)exexf(x)，故yexex为奇函数而y的定义域为x|x0，不具有对称性，故y为非奇非偶函数y|sin x|和ycos x为偶函数22014新课标全国卷设函数f(x)，g(x)的定义域都为r，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()af(x)g(x)是偶函数 b|f(x)|g(x)是奇函数cf(x)|g(x)|是奇函数 d|f(x)g(x)|是奇函数答案：c解析：a：令h(x)f(x)g(x)，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是奇函数，a错b：令h(x)|f(x)|g(x)，则h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函数，b错c：令h(x)f(x)|g(x)|，则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，h(x)是奇函数，c正确d：令h(x)|f(x)g(x)|，则h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)是偶函数，d错32016山东卷已知函数f(x)的定义域为r.当x0时，f(x)x31；当1x1时，f(x)f(x)；当x时，ff，则f(6)()a2b1c0d2答案：d解析：由题意可知，当1x1时，f(x)为奇函数，且当x时，f(x1)f(x)，所以f(6)f(511)f(1)而f(1)f(1)(1)312，所以f(6)2.故选d.42015新课标全国卷若函数f(x)xln(x)为偶函数，则a_.答案：1解析： f(x)为偶函数， f(x)f(x)0恒成立， xln(x)xln(x)0恒成立， xln a0恒成立， ln a0，即a1.52016四川卷已知函数f(x)是定义在r上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，则ff(1)_.答案：2解析：因为f(x)是定义在r上的奇函数，所以f(0)0.又f(x) f(x)，f(x2)f(x)，所以f(x1)f(1x)，令x0，得f(1)f(1)，所以f(1)0.ffff2，所以ff(1)2. 课外拓展阅读 四招突破抽象函数问题 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数抽象函数问题的解决，往往要从函数的奇偶性、单调性、周期性以及函数的图象入手，下面我们从4个不同的方面来探寻一些做题的规律1抽象函数的定义域抽象函数的定义域是根据已知函数的定义域，利用代换法得到不等式(组)进行求解的，另外，还要满足分式的分母不为0、被开方数非负、对数的真数大于0等一些常规的要求典例1已知函数yf(x)的定义域是0,8，则函数g(x)的定义域为_思路分析解析要使函数有意义，须使即解得1x0，f(x2)，对任意xr恒成立，则f(2 015)()a4b3c2d1思路分析解析因为f(x)0，f(x2)，所以f(x4)f(x2)2)f(x)，即函数f(x)的周期是4.所以f(2 015)f(50441)f(1)，因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 015)f(1)f(1)当x1时，f(12)，得f(1).即f(1)1，所以f(2 015)f(1)1.答案d方法探究对于抽象函数，常常利用恰当赋值解答问题，在