（江苏专用）高考数学大一轮复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第8课 函数的图象和周期性 文.doc

第8课 函数的图象和周期性(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修1p35练习4改编)设集合m=x|0x2，n=y|0y2，则在下面四个图形中，能表示集合m到集合n的函数关系的有.(填序号)(第1题)【答案】【解析】由函数的定义易知成立.2.(必修1p31练习2改编)已知f(x)的图象如图所示，则f(x)=.(第2题)【答案】【解析】分段考虑，由于都是一次函数，所以从端点确定，分别过(-1，0)，(0，1)，(0，0)，(2，-1)，从而求出解析式.3.(必修1p45习题9改编)已知函数f(x)是奇函数且周期为3，若f(1)=-1，则f(2 015)=.【答案】1【解析】由条件，f(2 015)=f(6713+2)=f(2)=f(-1)=-f(1)=1.4.(必修1p29练习6改编)方程|x-1|=的正实数根的个数是.(第4题)【答案】1【解析】在同一平面直角坐标系中分别画出函数y=|x-1|和y=的图象如图所示，由图象可知两者只有1个交点，所以方程只有1个正根.5.(必修1p87习题14改编)任取x1，x2(a，b)，且x1x2，若ff(x1)+f(x2)，则称f(x)是(a，b)上的凸函数.在下列图象中，是凸函数图象的是.(填序号)(第5题)【答案】1.作函数图象有两种方法：(1)描点法：列表；描点；连点成线.运用描点法作图前，必须对图象的特征(包括图象的存在范围、大致形状、变化趋势等)做到心中有数，这样可减少列表的盲目性和连点成线的随意性，从而确保表列在关键处，线连在恰当处.(2)图象变换法：包括平移变换、伸缩变换、对称变换.2.周期函数：对于函数y=f(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+t)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，称t为这个函数的周期.3.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.【要点导学】要点导学各个击破作函数的图象例1分别画出下列函数的图象.(1)y=；(2)y=；(3)y=|log2x-1|.【思维引导】(1)形如f(x)=的函数的图象是由反比例函数的图象经过平移变换得到的.(2)要得到y=f(|x|)的图象，可将y=f(x)，x0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x0部分关于y轴的对称部分，即得y=的图象，如图(2)实线部分所示.(3)先作出y=log2x的图象，再将其图象向下平移一个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y=|log2x-1|的图象，如图(3)所示.图(1)图(2)图(3)(例1)【精要点评】为了正确地作出函数的图象，必须做到以下两点：(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y=x+的函数；(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程.变式分别画出下列函数的图象.(1)y=|lg x|；(2)y=x2-2|x|-1.【解答】(1)y=图象如图(1)所示.(2)y=图象如图(2)所示.图(1)图(2)(变式)【精要点评】画函数图象的一般方法：(1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出.(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称等变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.利用函数图象解题例2(2014中华中学)已知函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点，那么实数k的取值范围是.【思维引导】根据绝对值的意义作出函数y=的图象，然后由于函数y=kx-2的图象是过定点(0，2)的一条直线，结合交点个数，确定参数k的范围.【答案】 (0，1)(1，4)(例2)【解析】y=在同一平面直角坐标系内画出函数y=kx-2与y=的图象如图所示，结合图象知，当0k1时，y=kx-2与y=在x轴下方的图象有两个公共点；当k(1，4)时，y=kx-2与y=的图象在x轴的上、下方各有一个公共点.【精要点评】作函数图象的基本方法：列表、描点、连线，但更多的是通过已知的初等函数的图象经过平移、伸缩、对称变换得到.作图一般有两种方法：直接作图法、图象变换法.其中图象变换法，包括平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律.注意对于左、右平移变换，可熟记口诀：左加右减.但要注意加、减指的是自变量，否则不成立.变式(2014湖北卷)设函数f(x)是定义在r上的奇函数，当x0时，f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若对任意的xr，f(x-1)f(x)，则实数a的取值范围为.【答案】 【解析】因为当x0时，f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2)，所以当0xa2时，f(x)=(a2-x+2a2-x-3a2)=-x；当a2x2a2时，f(x)=(x-a2+2a2-x-3a2)=-a2；当x2a2时，f(x)=(x-a2+x-2a2-3a2)=x-3a2.综上，f(x)=因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在r上的大致图象如图所示，(变式)观察图象可知，要使对任意的xr，f(x-1)f(x)，则需满足2a2-(-4a2)1，解得-a.函数的周期性例3(2014泸州模拟)设f(x)是定义在(-，+)上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当0x1时，f(x)=x.(1)求f()的值；(2)当-4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积.【思维引导】(1)利用f(x+2)=-f(x)确定函数f(x)的周期为4，然后计算；(2)根据函数f(x)的奇偶性和周期性作出函数的图象.【解答】(1)由f(x+2)=-f(x)，得f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，从而得f()=f(-14+)=f(-4)=-f(4-)=-(4-)=-4.(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x)，得f(x-1)+2=-f(x-1)=f-(x-1)，即f(1+x)=f(1-x).所以函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.又0x1时，f(x)=x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示.(例3)当-4x4时，设f(x)的图象与x轴围成的图形的面积为s，则s=4soab=4=4.【精要点评】周期性常用的结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x+a)=-f(x)，则t=2a；(2)若f(x+a)=，则t=2a；(3)若f(x+a)=-，则t=2a.变式已知函数f(x)是(-，+)上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x=1对称，当x0，1时，f(x)=2x-1.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x1，2时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+f(2 017)的值.【思维引导】(1)只需证明f(x+t)=f(x)，即可说明f(x)为周期函数；(2)由f(x)在0，1上的解析式及f(x)图象关于直线x=1对称求得f(x)在1，2上的解析式；(3)由周期性求和.【解答】(1)因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，函数f(x)的图象关于直线x=1对称，则f(2+x)=f(-x)=-f(x)，所以f(4+x)=f(2+x)+2=-f(2+x)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.(2)当x1，2时，2-x0，1，又f(x)的图象关于x=1对称，则f(x)=f(2-x)=22-x-1，x1，2.(3)因为f(0)=0，f(1)=1，f(2)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-1，又f(x)是以4为周期的周期函数，f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0， 所以f(0)+f(1)+f(2)+f(2 017)=504f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(0)+f(1)=1.1.(2015平潮中学)函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是.(填序号)(第1题)【答案】【解析】f(x)=ln(x2+1)，xr，当x=0时，f(0)=ln 1=0，即f(x)过点(0，0)，排除.又f(-x)=ln(-x)2+1=ln(x2+1)=f(x)，即f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除，所以选.2.(2015全国卷)已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1，4)，则实数a=.【答案】-2【解析】由f(x)=ax3-2x过点(-1，4)，知f(-1)=-a+2=4a=-2.3.已知f(x)是定义在r上以2为周期的偶函数，且当0x1时，f(x)=lo(1-x)，则f=.【答案】lo【解析】f=f=f=f=lo=lo.4.(2014天津卷)已知函数f(x)=|x2+3x|，xr.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为.(第4题)【答案】(0，1)(9，+)【解析】在同一坐标系内分别作出函数y=|x2+3x|与y=a|x-1|的图象如图所示.当y=a|x-1|与y=|x2+3x|的图象相切时，由整理得x2+(3-a)x+a=0，则=(3-a)2-4a=a2-10a+9=0，解得a=1或a=9.故根据图象知，当0a9时y=a|x-1|与y=f(x)的图象有4个交点.5.(2014泰州期末)设函数f(x)=(x-a)|x-a|+b(a，b都是实数)，则下列叙述中正确的是.(填序号)对任意实数a，b，函数y=f(x)在r上是单调函数；存在实数a，b，函数y=f(x)在r上不是单调函数；对任意实数a，b，函数y=f(x)的图象都是中心对称图形；存在实数a，b，使得函数y=f(x)的图象不是中心对称图形.(第5题)【答案】【解析】函数f(x)的图象是由g(x)=x|x|的图象向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度得到的，而g(x)=其图象如图所示，可知g(x)关于原点对称，且在r上为增函数，所以f(x)关于点(a，b)对称，且在r上为增函数，故选.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第1516页.【检测与评估】第8课函数的图象和周期性一、 填空题1.已知定义在r上的函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13，则f(x)的一个周期为.2.(2014启东中学)已知定义在r上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，那么f(6)的值为.3.(2015烟台模块检测)若函数f(x)= 的图象如图所示，则a+b+c=.(第3题)4.已知f(x)是定义在r上的偶函数，对任意的xr都有f(x+4)=f(x)+2f(2)，且f(-1)=2，那么f(2 017)=.5.(2014浙江卷)已知函数f(x)=若f(f(a)2，则实数a的取值范围是.6.某同学从a地跑步到b地，随路程的增加速度减小.若以y表示该同学离b地的距离，x表示出发后的时间，则下列图象中较符合该同学走法的是.(填序号) (第6题)7.(2015安徽卷)在平面直角坐标系xoy中，若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点，则实数a的值为.8.(2015北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线acb，则不等式f(x)log2(x+1)的解集是.(第8题)二、 解答题 9.写出下列函数的作图过程，然后画出下列函数图象的草图.(1)y=；(2)y=(x+1)|x-2|；(3)y=2|x+1|.10.已知定理：“若a，b为常数，g(x)满足g(a+x)+g(a-x)=2b，则函数y=g(x)的图象关于点(a，b)成中心对称”.已知函数f(x)=-1+.(1)求证：函数f(x)的图象关于点(a，-1)成中心对称；(2)当xa-2，a-1时，求证：f(x)，0.11.已知函数f(x)是定义在r上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称.(1)求证：函数f(x)是以4为周期的周期函数；(2)若f(x)= (0x1)，求当x-5，-4时函数f(x)的解析式.三、 选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015上海徐汇区高三诊断)已知函数f(x)=|x|(a-x)，ar.(1)当a=4时，画出函数f(x)的大致图象，并写出其单调增区间；(2)若函数f(x)在x0，2上是减函数，求实数a的取值范围；(3)若不等式|x|(a-x)6对x0，2恒成立，求实数a的取值范围.(第12题)【检测与评估答案】第8课函数的图象和周期性1. 4【解析】由f(x)f(x+2)=13，得f(x+2)=，所以f(x+4)=f(x+2)+2=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数.2.0【解析】由题意得f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(6)=f(2).由f(x+2)=-f(x)得f(2)=-f(0).因为f(x)是r上的奇函数，所以f(0)=0，所以f(6)=0.3.【解析】由图象可求得直线的方程为y=2x+2.又函数y=logc的图象过点(0，2)，将其坐标代入可得c=，所以a+b+c=2+2+=.4. 2【解析】在f(x+4)=f(x)+2f(2)中，令x=-2，得f(2)=f(-2)+2f(2)，即f(2)=f(2)+2f(2)，故f(2)=0，所以f(x+4)=f(x)，即函数f(x)是以4为周期的周期函数.又2 017=4504+1，因此f(2 017)=f(1)=f(-1)=2.5.(-，【解析】函数f(x)的图象如图所示，令t=f(a)，则f(t)2，由图象知t-2，所以f(a)-2，则a.(第5题)6.【解析】由于y表示该同学离b地的距离，所以答案在中选，又随路程的增加速度减小，前一半的时间内所走的路程要大于总路程的一半，故选.7.-【解析】在同一平面直角坐标系内，作出y=2a与y=|x-a|-1的大致图象如图所示，由题意，可知2a=-1a=-.(第7题)8.(-1，1【解析】如图把函数y=log2x的图象向左平移一个单位长度得到y=log2(x+1)的图象，当x=1时，两图象相交，由图象知不等式的解集为x|-1x1.(第8题)9. (1) y=2+.先作出函数y=的图象，再把函数y=的图象向右平移1个单位长度得到函数y=的图象，最后把函数y=的图象向上平移2个单位长度得到函数y=2+的图象，如图(1)所示.(2) y=(x+1)|x-2|=函数的图象如图(2)所示.(3) 首先作出函数y=2x的图象，在y轴右边的保持不变，去掉y轴左边的图象，再把y轴右边的图象对称地翻折到y轴左边，即得函数y=2|x|的图象，最后把函数y=2|x|的图象向左平移1个单位长度，得到函数y=2|x+1|的图象，如图(3)所示.图(1)图(2)图(3)(第9题)10.(1) 因为f(a+x)+f(a-x)=+=-2，所以函