培训班数学教学讲义——实数.docx

晨光教育初中数学钟老师第一讲 实数1、 知识清单知识点1、实数的概念及其分类 和 统称有理数，有理数和 统称实数。知识点2、正负数、数轴、相反数、绝对值、倒数定义性质正负数大于0的数就是正式，在正数前面加“”叫做负数0既不是正数，也不是负数。实数不一定是负数；正负数可用来表示相反意义的量。数轴规定了 、 、单位长度的直线。数轴上的点与 一一对应。相反数只有 不同的两个数，即实数的相反数是。若、b互为相反数，则+b=0在数轴上，表示相反数的两个数的点位于原点 ，且到原点距离相等。绝对值在数轴上表示数的点和原点的距离，记作|倒数 为1的两个数互为倒数，非零实数的倒数为 。b=1 。0没有倒数。倒数等于本身的数是 。知识点3、科学记数法、近似数1、 科学记数法：一般形式为 （ 10，n为整数）2、 有效数字： ；知识点4、实数的大小比较1、 数轴比较法：数轴上的两个数， 边的数总比 边的数大。2、 性质比较法：正数0复数。3、 绝对值比较法：0，b0，若|b|，则 b。4、 差值比较法：若b0，则（1）1 ；（2）1 ；（3）=1 。 知识点5、实数的运算1、常见的运算类型及法则运算法则0次幂 。（0）负整数指数幂（0，p为整数）的奇偶次幂的奇数次幂为 ，偶数次幂为 。乘方正数的任何次幂都为正数，负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数。算术平方根若，则 立方根若，则 去绝对值符号2、 初中所涉及的三个非负数：|， ，若几个非负数的和为0，则这几个非负数应同时为0.知识点6、数的开方1、 若=（ 0），则x叫做的 ，记做 ，其中正数的 平方根叫做的算术平方根，记做 ，正数有 平方根，它们互为 ，0的平方根是 ，负数 。2、 若，则x叫做的 ，记做 ，正数有一个 的立方根，0的立方根是 ，负数 。2、 巩固复习：例1、（1）（2016安徽）的绝对值是（ ） A、2 B、2 C、2 D、（2）如果与3互为倒数，那么是 。例2、实数、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）A、 -2 B、-3 C、b D、b3、 新知新学：（1） 平方根1、一般地，如果一个数x的 等于，那么这个数x叫做的平方根或二次方根。这就是说 。 表示：的算术平方根记为 ，读作“根号”，其中叫做被开方数。 性质：（1）任何一个正数的平方根有 个，它们 ； （2）零的平方根是 ； （3）负数 。2、算术平方根：一般地，如果一个 的平方等于，即，那么这个正数x叫做算术平方根。 表示：的算术平方根记为 ，读作“根号”，其中叫做被开方数。 性质：（1）算术平方根具有 ；即 ， ； （2）0的算术平方根是 。3、 开平方：求一个非负数的 的运算，叫做开平方。4、 两个重要公式：平方根和算术平凡根与被开方数之间的关系： ； （二）立方根：一般地，如果一个数x的 等于，那么这个数x叫做的立方根或三次方根。这就是说，如果 ，那么x叫做的立方根或三次方根。 表示：一个数的立方根用符号表示为 。1、开立方：求一个数的 的运算，叫做开立方。、2、立方根性质：（1）任何一个正数的立方根是 ；负数的立方根为 ，0的立方根为 。 （2） ； 。平方根算术平方根立方根表示方法被开方数的取值性质正数0负数（3） 实数：1、无理数： 。2、实数： 和 统称实数。4、 课堂精讲例1、（1）3的平方根是（ ） A、 B、 C、 D、9 （2）下列各数中没有平方根的是（ ） A、0 B、 C、 D、（3）下列说法正确的是（ ）A、-0.02是0.4的平方根 B、任何一个非负数的平方根都不大于这个数C、若，则的平方根是x D、平方根等于本身的数为零（4）已知：一个正数的两个；平方根分别是2-2和-4，求的值。练一练：（1）6的平方根为 ；（2）下列各数中没有平方根的是（ ）A、（-1） B、1 C、-|-1| D、|-7|（3）下列说法正确的是（ ） A、4的平方根是2 B、任何一个非负数的平方根都不小于这个数C、若x是的平方根，则 D、平方根等于本身的数是0和1 （4）已知一个非负数的两个平方根分别为+3和2-9，则的值为 例2、（1）求下列各数的算术平方根： 49； ； 0.01 15 （2）的算术平方根是 。（3）估计的值在整数 和整数 之间。（4）若，求的值。练一练：（1）36的算术平方根是 ；（2） 的算术平方根是 ；（3） 估计的值在（ ）之间。 A、1和2之间 B、2和3之间 C、3和4之间 D、4和5之间（4） 若，则的值为（ ）A、 B、- C、 D、例3、（1）64的立方根是 ；0的立方根是 ；-27的立方根是 。 （2）立方根等于2的数是 ； 例3、计算：， ， 练一练：（1）125的立方根是 ；（2）立方根等于6的数是 ； （3）下列运算正确的是（ ） A、 B、 C、 D、例4、（1）已知的算术平方根是4，的立方根是3，c是立方根等于本身的数，求的值。（2）若，求b的值。练一练：（1）已知的算术平方根等于它本身，n+11的立方根是2，则m+n的立方根是 。（2）已知，则y的值为 。例5、（1）下列各数中无理数有（ ） 3.141，0.1010010001 A、2个 B、3个 C、4个 D、5个（2） 的相反数是 ，2的相反数是 ，的倒数是 ，的绝对值是 。（3） 比较大小： 21， 0.5练一练：（1）下列选项中是无理数的是（ ） A、3.1415926 B、 C、3.14 D、 （2）的相反数是 。第二讲 实数运用非负性、保号性1、 性质： 1、平方根性质： （1） 当被开方数扩大（或缩小）倍，它的算术平方根相应地扩大（或缩小） 倍（n0）（2） 算术平方根具有双重非负性：（3） 若一个非负数介于另外两个非负数之间，则它的算术平方根介于、之间。即当0时，有0。2、 立方根的性质： （1）当被开方数扩大（或缩小）倍，它的立方根相应地扩大（或缩小) 倍。 （2）= ，= 。（3）若一个数介于另外两个非负数之间，则它的立方根介于之间。即当时，有。例1、（1）用“”，“”，“”，“”填空： 0 0 0（2）当= 时，3的最小值为 ；当x= 时，的最大值为 ；当= ，y= 时，有最 值（填“大”或“小”）。例2、（1）若，则x= ，y= ； （2）若，则= ； （3）若和互为相反数，则= ; （4）若，则x= ，y= ，Z= ； （5）若整数x、y满足，则x+y= 。3、 估算及比大小： （1）平方法：若0，则有0；立方法：若，则有；（2） 非负性 例4、估算下列实数在哪两个整数之间：例5、（1）下列无理数，不介于3与2之间的是（ ） A、 B、 C、 D、（2）若整数k满足：kk+1，则k=（ ） A、6 B、7 C、8 D、9例6、（3）已知的平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分，求的平方根。 附加题：先阅读理解，再回答下列问题：因为，且12，所以的整数部分为1；因为，且23，所以的整数部分为2；因为，且34，所以的整数部分为3；以此类推，我们会发现（n为正整数）的整数部分为 ，并说明理由。第三讲 二次根式1、二次根式： 。特别的，类似于这样的也是二次根式。 注：叫做被开方数； 二次根式表示的算术平方根； 可以是数，也可以是式子； 既可以表示开方运算，也可以表示运算的结果； 像这类代数式只能称为含有二次根式的代数式，不是二次根式。2、 基本性质： 性质一、 ； 性质二、 ； 性质三、 ； 性质四、 ； 性质五、 。例1、（1）下列各式中、中，一定是二次根式的是 。 （2）x是怎样的实数时，下列式子有意义？ （3）已知，求的平方根。 已知，求的值。3、 最简二次根式：（1）被开方式的因式是 ； （2）被开方式中不含有 的因式，也不能含有分母例2、（1）下列是最简二次根式的是 。 （2）化简下列各式：； ； ； ；（3）已知x0，使有意义，则y满足的条件为 ，= ；4、二次根式乘除法： 乘法法则： 除法法则：例3、（1）计算：； ； ； （2）化简：； （x0，y0）（x0，y0） （x0，y0）例4、计算：（1） （2） （3）（）5、 二次根式的加减 同类二次根式：几个二次根式化成 后，如果 ，这几个二次根式叫做同类二次根式。 加减法则： 。例5、计算：； ； 例6、计算：（1） ； （2）；（3）； （4）. 第四讲 整式1、 知识清单梳理：知识点1、代数式、代数式的值1.代数式：代数式是用 （加、减、乘、除、乘方、开方）把 或表示 的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式。2.代数式的值：用数值代替代数式里的 ，计算后所得的结果。3.求代数式的值主要用 ，分为 、 和 。知识点2、整式的相关观念单项式概念由数与字母的 组成的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字母也是单项式）。系数单项式中的 因数叫做这个单项式的系数。次数单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数。多项式概念几个单项式的 叫做多项式项多项式中的每一个单项式叫做多项式的项次数一个多项式中， 的项的次数叫做这个多项式的次数整式 和 统称整式同类项所含字母 并且 的项叫做同类项，所有的常数项都是 项。知识点3、整式的运算整式的加减先去括号，再合并同类项幂的运算同底数幂的乘法注意：0，b0，且m、n都为整数幂的乘方积的乘方同底数幂的除法整式的乘法单项式单项式单项式多项式多项式多项式整式的除法单项式单项式多项式单项式乘法公式平方差公式完全平方公式变形：完全平方公式2、 课堂精讲例1、若单项式与是同类项，则、b的值分别为（ ） A、=4，b=1 B、=4，b=1 C、=4，b=1 D、=4，b=1例2、（1）若，则代数式的值为 。 （2）实数x满足，求代数式的值。例3、若A是五次多项式，B是三次多项式，则A+B一定是（ ）A、 五次整式 B、八次多项式 C、三次多项式 D次数不能确定例4、先化简，再求值：，其中x=【练一练】（1） 已知，求代数式的值例5、一列数满足条件：，（n2，且n为整数），则= 。限时训练：1、 的系数与次数分别是 。2、 若，则代数式的值为 。3、 已知与是同类项，则= 。4、 已知使一个完全平方式，则k的值是 。5、 已知一组按规律排列的式子：则第n个式子是 。6、 如果0m10，并且mx10，那么，请化简代数式。7、 先化简，再求值：，其中=2，b=2.第五讲 勾股定理 一、勾股定理：如果直角三角形中，两条直角边分别为和b，那么 。证明图形：例2、在ABC中，C=90。（1）若=6，b=8，则c= ； （2）若=24，c=25，则b= ； （3）若=1.2，b=1.6，则c= ； （4）若b:c=5:13,=2.4,则b= 。 （5）若+b=，：b=1：，则c= 。例3、如图，在RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，过点A作DAAB，且DA=12. 求DB的长；过A作AEBD于点E，请补全图形并求AE的长。（2） 若直角三角形的两边长为9、4，则第三边的长为 。例4、（1）如图，在ABC中，C=90，BC=5，AB的长比AC的长多1，求AB的长。 （2）如图，RtABC中，C=90，AD平分CAB，DEAB于点E，若AC=6，BC=8.求BE的长；求ABD的面积。 （3）如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长。2、 勾股定理逆定理：1、逆定理： 。2、推广：在ABC中，分别是A，B，C的对边 若，则C为 ； 若，则C为 ； 若，则C为 。3、 勾股数：凡是可以构成一个直角三角形边的一组 ，称之为勾股数。 常见勾股数有 。例5、（1）下列几组数能否作为直角三角形的三边？ 9,40,41； 150,200,250； ； ； （m1） （2）下列各组数中，以为边的三角形不是直角三角形的是（ ）A、 =1.5，b=2，c=3 B、=7，b=24，c=25 C、=6，b=8，c=10 D、=3，b=4，c=5例6、（2）如图，在ABC中，CD是AB边上的高，AD=4，BD=1，CD=2，试问ABC是直角三角形吗？为什么？（3） 如图，在四边形ABCD中，已知AB=BC=2，CD=3，DA=1,且ABC=90，则它的面积是多少？例7、在ABC中，BC=，AB=b，AB=c，设c为最长边，当时，ABC是直角三角形；当时，利用代数式与的大小关系，探究ABC的形状。 （1）当ABC三边分别为6,8,9时，ABC为 三角形，当ABC三边分别为6,8,11时，ABC为 三角形（填“锐角”、“直角”、“钝角”）。 （2）猜想，当 时，ABC为锐角三角形；当 时，ABC为钝角三角形。 （3）讨论当=2，b=4时，ABC的形状，并求出对应的c的取值范围。第六讲 勾股定理应用：一、勾股定理的应用：例1、（1）有两颗树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行 m。 （2）如图，一个圆柱的底面周长为16，高为6，BC是上底面的直径，已知蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，求蚂蚁爬行的最短路程。例2、（1）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米秒的速度手绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） （2）一架梯子AC长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米到A，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ （3）如图所示，一课8米高的笔直的杉树在台风中被挂断，树顶C落在离树根B点4米处，科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点1米处竖起一个梯子（点D、B、C在同一直线上），请问：这个梯子有多长？（结果保留根号）2、 勾股树 例3、（1）如图是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为3,2,1,2，则最大正方形E的面积为 。（2） 在直线上依次摆着7个正方形（如图），已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1,4,9，水平放置的4个正方形的面积分别是,则= 。例4、（1）如图，以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积是 。（2）如图，ABC为直角，BC长为3，AB长为4，AF的长为12，正方形的面积为169，求AFC的面积。例5、在ABC中，AD为BC边上的高，E是AD上任意一点，求证：第七讲 变量之间的关系1、 什么是变量：1、 变量： 常量：2、 因变量： 自变量：名师点金：判断一个量是变量还是常量的方法 关键是看在变化过程中，该量的值 ；，或者说该量 ；在变化过程中不变的量是常量，可以取不同数值的量是变量，注意：在变化过程中的常量与变量的个数是不确定的。3、函数：（1）在一个变化工程中，如果有两个互相关联的变量x与y，对于x的在某一个范围的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那么我们就说y是x的函数。其中x是自变量，y是因变量。 如果当x=时，函数y对应值为b时，此时b叫做自变量x的值为时的函数值。（2）函数常见的表示方法： 、 、 。例2、（1）下面每个选项中给出某个变化过程中的两个变量x、y的数值，其中y不是x的函数的是（ ）x1234y-1-2-3-4x1234y-1-2-3-4 BAx1234y-1-2-3-4x1234y-1-2-3-4DC （2）下列关系中，y是x的函数的是 。； ； ； ； ； ； 例3、一个圆柱的高h为10cm，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中， 是因变量， 是自变量。3、 变量之间的关系：1、 变量之间的关系2、 用表格表示变量之间的关系：例4、赵先生手中一张记录他从出生到24岁期间的身高情况表（如下表所示）对于赵先生从出生到24岁期间身高情况下列说法错误的是（ ）A、赵先生的身高增长速度总体上先快后慢 B、赵先生的身高在21岁以后基本不长了C、赵先生的身高从021岁平均每年约增高5.8cm D、赵先生的身高从024岁平均每年增高7.1cm3、 利用关系式表示的变量间关系：（1） 常见关系量的运用：例3、（2015广安）某油箱容量为60L的汽车，加满汽油后行驶了100km时，油箱中的汽油大约消耗了，如果加满汽油后汽车行驶的路程x km，油箱中剩余油量为y L，则y与x之间的关系式和自变量取值范围分别是（ ）A、 y=0.12x，x0 B、y=600.12x，x0 C、y=0.12x，0x500 D、y=600.12x，0x500例5、有一种粗细均匀的电线，为了确定其长度，从一捆上剪下1m，称得它的质量是0.06kg。 （1）写出这种电线长度与质量之间的关系式； （2）如果一捆电线剪下1m后的质量为b kg，请写出这捆电线的总长度。（2） 利用关系式，解决实际问题：例6、某市出租车车费标准如下：3 km以内（含3 km）收费8元；超过3 km的部分每千米收费1.6元。 （1）写出应收费y（元）与出租车行驶路程x（km）之间的关系式（其中x3）。 （2）小亮乘出租车行驶4 km，应付车费多少元？ （3）小波付出费16元，那么出租车行驶了多少千米？【针对训练】自行车每节链条的长度为2.5 cm，交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm， （1） 观察图形，填写下表：链条的节数/节234链条的长度/cm（2） 如果x节链条的长度为y（cm），那么y与x之间的关系式是什么？（3） 如果一辆某种型号自行车的链条（安装前）由60节这样的链条组成，那么这辆自行车上的链条（安装后）总长度是多少？例7、如图，长方形MNPQ中，MN=6，PN=4，动点R从点N出发，沿NPQM运动至点M出停止。设点R运动的路程为x，三角形MNR的面积为y。 （1）当x=3时，y= ；当x=12时，y= ；当y=6时，x= 。 （2）分别求当0x4,4x10,10x14时，y与x的关系式。4、 线性表示变量间关系（1） 曲线形：例8、用一水管向某容器内持续注水，设单位时间内注入的水量保持不变；在注水过程中，表示容器内水深h与注水时间t的关系有如图所示的A，B，C，D四个图像，它们分别于E，F，G，H四种容器中的其中一种相对应，请你把相对应容器的字母填写在下面的横线上。 A ； B ； C ； D 。（2） 折线型：例9、如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ） A、乙前4 s行驶的路程为48 m B、在08s内甲的速度每秒增加4m/s C、两车到第3 s时行驶的路程相等 D、在48 s内甲的速度都大于乙的速度第八讲 一次函数1、 概念：1、 正比例函数： 。 注：正比例函数中，x的指数为1，其中x是自变量，y是x的函数。2、 一次函数：一般地，形如（k、b都是常数且k0）的函数，叫做一次函数。 当b=0时，一次函数即变为。所以，正比例函数是特殊的一次函数。例1、（1）下列函数中，是正比例函数的是（ ） A、 B、 C、 D、 （2）如图函数是正比例函数，那么（ ） A、m=2或m=0 B、m=2 C、m=0 D、m=1 （3）判断：若与x成正比例，则y是x的正比例函数。（ ） （4）若y与x成正比例，x与z成正比例，试证：y与z也成正比例。 例2、（1）下列函数：；其中，y是x的一次函数的是 （填序号）。 （2）已知函数，当m满足什么条件时，y是x的一次函数？当m满足什么条件时，y是x的正比例函数？ （3）若，y是x的一次函数，求m的值。例3、（1）电信公司推出无线市话服务，收费标准为基础费用25元，通话费另收，本地网通话费为每分钟0.1分，如果用y（元）表示每月应缴纳费用，用x（min）表示通话时间，则y与x的函数表达式为 ； （2）学霸（zha）小明做数学题，已知最开始的时候，小明有1000个脑细胞，每做一道题，小明要损失50个脑细胞，那么小明脑细胞个数y与他做题数量x之间的函数关系为 。 （3）已知一次函数。 自变量x取什么数值时，函数y的对应值分别为-1,0,1？ 自变量x的值与相应的函数值可能相等吗？若可能，请求出此时x的值。3、正比例函数的图象与性质： 比较图象，我们会发现正比例函数图象： 正比例函数（k是常数，k0）的图象是一条经过 点与点（1， ）的 。 （1）当k0时，图象经过 象限，从左向右 ，因此当k0时，y随x的增大而 。 （2）当k0时，图像经过 象限，从左向右 ，因此当k0时，y随x的增大而 。例4、（1）画出以下函数的图象：， （3） 正比例函数的图象必经过 和 象限。4、 一次函数的图象与性质 比较图象，我们发现一次函数图象： 一次函数（k、b为常