（江苏专用）高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 理.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 理1四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面；推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点o作直线aa，bb，我们把直线a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角范围：.3直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点a，就说，相交于过a点的任意一条直线()(3)两个平面，有一个公共点a，就说，相交于a点，并记作a.()(4)两个平面abc与dbc相交于线段bc.()(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面()(6)没有公共点的两条直线是异面直线()1下列命题正确的个数为_梯形可以确定一个平面；若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合答案2解析中两直线可以平行、相交或异面，中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，正确2已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b_.一定是异面直线 一定是相交直线不可能是平行直线 不可能是相交直线答案解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab，与已知a、b为异面直线相矛盾3两两平行的三条直线可确定_个平面答案1或3解析三直线共面确定1个，三直线不共面，每两条确定1个，可确定3个4.如图所示，已知在长方体abcdefgh中，ab2，ad2，ae2，则bc和eg所成角的大小是_，ae和bg所成角的大小是_答案4560解析bc与eg所成的角等于eg与fg所成的角即egf，tanegf1，egf45，ae与bg所成的角等于bf与bg所成的角即gbf，tangbf，gbf60.5已知空间四边形abcd中，m、n分别为ab、cd的中点，则下列判断：mn(acbd)；mn(acbd)；mn(acbd)；mn(acbd)其中正确的是_答案解析如图，取bc的中点o，连结mo，no，mn，则omac，onbd，在mon中，mnomon(acbd)，正确题型一平面基本性质的应用例1如图所示，正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是ab和aa1的中点求证：(1)e、c、d1、f四点共面；(2)ce、d1f、da三线共点证明(1)如图，连结ef，cd1，a1b.e、f分别是ab、aa1的中点，efba1.又a1bd1c，efcd1，e、c、d1、f四点共面(2)efcd1，efcd1，ce与d1f必相交，设交点为p，如图所示则由pce，ce平面abcd，得p平面abcd.同理p平面add1a1.又平面abcd平面add1a1da，p直线da.ce、d1f、da三线共点思维升华公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理3及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理2是证明三线共点或三点共线的依据 如图，平面abef平面abcd，四边形abef与四边形abcd都是直角梯形，badfab90，bcad且bcad，beaf且beaf，g、h分别为fa、fd的中点(1)证明：四边形bchg是平行四边形；(2)c、d、f、e四点是否共面？为什么？(1)证明由已知fgga，fhhd，可得gh綊ad.又bc綊ad，gh綊bc.四边形bchg为平行四边形(2)解be綊af，g是fa的中点，be綊fg，四边形befg为平行四边形，efbg.由(1)知bg綊ch，efch，ef与ch共面又dfh，c、d、f、e四点共面题型二判断空间两直线的位置关系例2(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是_l与l1，l2都不相交；l与l1，l2都相交；l至多与l1，l2中的一条相交；l至少与l1，l2中的一条相交(2)如图，在正方体abcda1b1c1d1中，m，n分别是bc1，cd1的中点，则下列判断错误的是_mn与cc1垂直；mn与ac垂直；mn与bd平行；mn与a1b1平行(3)在图中，g、n、m、h分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线gh、mn是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)答案(1)(2)(3)解析(1)若l与l1，l2都不相交，则ll1，ll2，l1l2，这与l1和l2异面矛盾，l至少与l1，l2中的一条相交(2)如图，连结b1c，b1d1，则点m是b1c的中点，mn是b1cd1的中位线，mnb1d1，cc1b1d1，acb1d1，bdb1d1，mncc1，mnac，mnbd.又a1b1与b1d1相交，mn与a1b1不平行(3)图中，直线ghmn；图中，g、h、n三点共面，但m面ghn，因此直线gh与mn异面；图中，连结mg，gmhn，因此gh与mn共面；图中，g、m、n共面，但h面gmn，因此gh与mn异面所以图中gh与mn异面思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，g、h、m、n分别为de、be、ef、ec的中点，在这个正四面体中，gh与ef平行；bd与mn为异面直线；gh与mn成60角；de与mn垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_答案解析把正四面体的平面展开还原，如图所示，gh与ef为异面直线，bd与mn为异面直线，gh与mn成60角，demn.题型三求两条异面直线所成的角例3(1)如图所示，在正三棱柱abca1b1c1中，d是ac的中点，aa1ab1，则异面直线ab1与bd所成的角为_答案60解析取a1c1的中点e，连结b1e，ed，ae，在rtab1e中，ab1e即为所求，设ab1，则a1a，ab1，b1e，故ab1e60.所以异面直线ab1与bd所成的角为60.(2)空间四边形abcd中，abcd且ab与cd所成的角为30，e、f分别为bc、ad的中点，求ef与ab所成角的大小解如图，取ac的中点g，连结eg、fg，则eg綊ab，fg綊cd，由abcd知egfg，gef(或它的补角)为ef与ab所成的角，egf(或它的补角)为ab与cd所成的角ab与cd所成的角为30，egf30或150.由egfg知efg为等腰三角形，当egf30时，gef75；当egf150时，gef15.故ef与ab所成的角为15或75.思维升华(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解(1)已知正四面体abcd中，e是ab的中点，则异面直线ce与bd所成角的余弦值为_(2)直三棱柱abca1b1c1中，若bac90，abacaa1，则异面直线ba1与ac1所成的角等于_答案(1)(2)60解析(1)画出正四面体abcd的直观图，如图所示设其棱长为2，取ad的中点f，连结ef，设ef的中点为o，连结co，则efbd，则fec就是异面直线ce与bd所成的角abc为等边三角形，则ceab，易得ce，同理可得cf，故cecf.因为oeof，所以coef.又eoefbd，所以cosfec.(2)如图，可补成一个正方体，ac1bd1.ba1与ac1所成角的大小为a1bd1.又易知a1bd1为正三角形，a1bd160.即ba1与ac1成60的角15构造模型判断空间线面位置关系典例已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，则mn.其中所有正确的命题是_思维点拨构造一个长方体模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判断它们的位置关系解析借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面，互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面、可能垂直，如图(2)所示，故不正确；对于，平面、可能垂直，如图(3)所示，故不正确；对于，由m，可得m，因为n，所以过n作平面，且g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为mg，所以mn，故正确答案温馨提醒(1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误；(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断方法与技巧1主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理2可知这些点在交线上，因此共线2判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点a与平面内一点b的连线和平面内不经过点b的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面3求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解失误与防范1正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”2不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件3两条异面直线所成角的范围是(0，90a组专项基础训练(时间：40分钟)1在下列命题中，不是公理的是_平行于同一个平面的两个平面相互平行；过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内；如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案解析是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的2若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是_l1l4；l1l4；l1与l4既不垂直也不平行；l1与l4的位置关系不确定答案解析在如图所示的长方体中，不妨设l2为直线aa1，l3为直线cc1，则直线l1，l4可以是ab，bc；也可以是ab，cd；也可以是ab，b1c1；这三组直线相交，平行，垂直，异面3设p表示一个点，a、b表示两条直线，、表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是_pa，pa；abp，ba；ab，a，pb，pb；b，p，ppb.答案解析当ap时，pa，p，但a，错；ap时，错；如图，ab，pb，pa，由直线a与点p确定唯一平面，又ab，由a与b确定唯一平面，但经过直线a与点p，与重合，b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确4设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是_答案(0，)解析此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于.5四棱锥pabcd的所有侧棱长都为，底面abcd是边长为2的正方形，则cd与pa所成角的余弦值为_答案解析因为四边形abcd为正方形，故cdab，则cd与pa所成的角即为ab与pa所成的角，即为pab.在pab内，pbpa，ab2，利用余弦定理可知cospab.6如图所示，平面，两两相交，a，b，c为三条交线，且ab，则a与c，b与c的位置关系是_答案abc解析ab，a，b，b.又b，c，bc.abc.7如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且abcd，则直线ef与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_答案4解析ef与正方体左、右两侧面均平行所以与ef相交的侧面有4个8(2015浙江)如图，三棱锥abcd中，abacbdcd3，adbc2，点m，n分别是ad，bc的中点，则异面直线an，cm所成的角的余弦值是_答案解析如图所示，连结dn，取线段dn的中点k，连结mk，ck.m为ad的中点，mkan，kmc为异面直线an，cm所成的角abacbdcd3，adbc2，n为bc的中点，由勾股定理求得andncm2，mk.在rtckn中，ck.在ckm中，由余弦定理，得coskmc.9在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别为棱aa1，cc1的中点，则在空间中与三条直线a1d1，ef，cd都相交的直线有_条答案无数解析方法一在ef上任意取一点m，直线a1d1与m确定一个平面，这个平面与cd有且仅有1个交点n，m取不同的位置就确定不同的平面，从而与cd有不同的交点n，而直线mn与这3条异面直线都有交点如图所示方法二在a1d1上任取一点p，过点p与直线ef作一个平面，因cd与平面不平行，所以它们相交，设它们交于点q，连结pq，则pq与ef必然相交，即pq为所求直线由点p的任意性，知有无数条直线与三条直线a1d1，ef，cd都相交10.如图，空间四边形abcd中，e、f、g分别在ab、bc、cd上，且满足aeebcffb21，cggd31，过e、f、g的平面交ad于点h.(1)求ahhd；(2)求证：eh、fg、bd三线共点(1)解2，efac，ef平面acd，而ef平面efgh，平面efgh平面acdgh，efgh，acgh.3.ahhd31.(2)证明efgh，且，efgh，四边形efgh为梯形令ehfgp，则peh，而eh平面abd，又pfg，fg平面bcd，平面abd平面bcdbd，pbd.eh、fg、bd三线共点b组专项能力提升(时间：30分钟)11以下四个命题中，不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点a、b、c、d共面，点a、b、c、e共面，则点a、b、c、d、e共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是_答案1解析中显然是正确的；中若a、b、c三点共线，则a、b、c、d、e五点不一定共面；构造长方体或正方体，如图显然b、c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面，故只有正确12如图，矩形abcd中，ab2ad，e为边ab的中点，将ade沿直线de翻折成a1de.若m为线段a1c的中点，则在ade翻折过程中，下面四个命题中不正确的是_|bm|是定值点m在某个球面上运动存在某个位置，使dea1c存在某个位置，使mb平面a1de 答案解析取dc中点f，连结mf，bf，mfa1d且