（新课标）高三数学一轮复习 第11篇 复数的概念与运算学案 理.doc

第六十九课时 复数的概念与运算（课前预习案）考纲要求1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义。2.掌握复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则。3.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想。基础知识梳理1复数：形如 的数叫做复数，其中a , b分别叫它的 和 2分类：设复数：(1) 当 0时，z为实数；(2) 当 0时，z为虚数；(3) 当 0, 且 0时，z为纯虚数.3复数相等：如果两个复数 相等且 相等就说这两个复数相等.4共轭复数：当两个复数实部 ，虚部 时这两个复数互为共轭复数(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)5若zabi, (a, br), 则 | z | ； z .6复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x轴叫做 ， 叫虚轴7复数zabi(a, br)与复平面上的点 建立了一一对应的关系8两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就 比较它们的大小.9. 复数的运算：（1）(a+bi) (c+di)= ；（2）(a+bi)(c+di)= ； （3）(a+bi)(c+di)= ；（4）i具有周期性:4n+1= ；4n+2= ； 4n+3= ； 4n= ；n+n+1+n+2+n+3 = （nn）(1+i)2 ; (1-i)2 ; ； . 预习自测1 i是虚数单位，则i_.2 若复数(1i)(1ai)是纯虚数，则实数a_.3 复数(34i)i(其中i为虚数单位)在复平面上对应的点位于()a第一象限 b第二象限c第三象限 d第四象限4 (2011浙江)把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位若z1i，则(1z)等于()a3i b3ic13i d35 (2012北京)设a，br.“a0”是“复数abi是纯虚数”的()a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件第六十九课时 复数的概念与运算（课堂探究案）典型例题考点1.复数的概念【典例1】 (1)已知ar，复数z12ai，z212i，若为纯虚数，则复数的虚部为()a1 bi c. d0(2)若z1(m2m1)(m2m4)i(mr)，z232i，则“m1”是“z1z2”的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分又不必要条件【变式1】（1）（2013年高考上海卷（理）设,是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=_（2）（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）已知a, br, i是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则a + bi = _.考点2.复数的运算【典例2】（1）（2013年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）设复数满足,则（）abcd（2）（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）复数的模为（）abcd（3）（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）已知是虚数单位,则（）abcd【变式2】 (1)已知复数z，是z的共轭复数，则z_.(2)复数的值是_(3)已知复数z满足2i，则z_.考点3.复数的几何意义【典例3】（1）（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）若复数满足,则在复平面内,对应的点的坐标是（）abcd（2）（2013年高考湖南卷（理）复数在复平面上对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限 （3）（2013年高考湖北卷（理）在复平面内,复数(为虚数单位)的共轭复数对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限（4）（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）已知复数的共轭复数(i为虚数单位),则在复平面内对应的点位于（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【变式3】已知z是复数，z2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围当堂检测1 (2012广东)设i为虚数单位，则复数等于()a65i b65ic65i d65i2 (2012山东)若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z为()a35i b35ic35i d35i3 (2012福建)若复数z满足zi1i，则z等于()a1i b1i c1i d1i4 若1bi，其中a，b都是实数，i是虚数单位，则|abi|等于()a. b. c. d15 (2012上海)计算：_(i为虚数单位)第六十九课时 复数的概念与运算(课后巩固案) a组全员必做题1 (2012湖北)方程x26x130的一个根是()a32i b32ic23i d23i2 设f(n)nn(nn*)，则集合f(n)中元素的个数为()a1 b2 c3 d无数个3 对任意复数zxyi(x，yr)，i为虚数单位，则下列结论正确的是()a|z|2y bz2x2y2c|z|2x d|z|x|y|4 (2012湖南)已知复数z(3i)2(i为虚数单位)，则|z|_.5设复数z满足i(z1)32i(i为虚数单位)，则z的实部是_6 (2012江苏)设a，br，abi(i为虚数单位)，则ab的值为_b组提高选做题1 已知复数z满足12i，则复数z_.2已知复数zxyi，且|z2|，则的最大值为_3.已知复数z1满足(z12)(1i)1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2.4复数z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是实数，求实数a的值5.已知复数z，且|z|2，求|zi|的最大值，以及取得最大值时的z.第六十九课时复数的概念与运算参考答案预习自测1 答案i解析iii.2 答案1解析由(1i)(1ai)(1a)(a1)i是纯虚数得，由此解得a1.3答案b解析由于(34i)i43i，因此该复数在复平面上对应的点的坐标是(4,3)，相对应的点位于第二象限，选b.4答案a解析(1z)(2i)(1i)3i.5答案b解析当a0，且b0时，abi不是纯虚数；若abi是纯虚数，则a0.故“a0”是“复数abi是纯虚数”的必要而不充分条件.典型例题【典例1】【答案】(1)a(2)a解析(1)由i是纯虚数，得a1，此时i，其虚部为1.(2)由，解得m2或m1，所以“m1”是“z1z2”的充分不必要条件【变式1】（1）m=-2. （2） 【典例2】（1）a；（2）b ；（3）b 【变式2】答案(1)(2)16(3)i解析(1)方法一|z|，z|z|2.方法二z，z.(2)2416.(3)由2i，得ziiiii.【典例3】（1）c ；（2）b ；（3）d ；（4）d 【变式3】解设zxyi(x、yr)，z2ix(y2)i，由题意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i，由题意得x4.z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，根据条件，可知，解得2a6，实数a的取值范围是(2,6)当堂检测1答案d解析(5i6i2)(5i6)65i，故选d.2答案a解析z(2i)117i，z35i.3答案a解析方法一由zi1i得z11i.方法二设zabi(a，br)，由zi1i，得(abi)i1i，即bai1i.由复数相等的充要条件得即z1i.4答案a解析由1bi得a2，b1，所以abi2i，所以|abi|.所以选a.5答案12i解析12i. a组全员必做题1答案a解析方法一x32i，故应选a.方法二令xabi，a，br，(abi)26(abi)130，即a2b26a13(2ab6b)i0，解得即x32i，故应选a.2 答案c解析f(n)nnin(i)n，f(1)0，f(2)2，f(3)0，f(4)2，f(5)0，集合中共有3个元素3答案d解析xyi(x，yr)，|z|xyixyi|2yi|2y|，a不正确；对于b，z2x2y22xyi，故不正确；|z|2y|2x不一定成立，c不正确；对于d，|z|x|y|，故d正确4答案10解析方法一z(3i)2，|z|(3i)2|3i|210.方法二z(3i)296ii286i，|z|10.5答案1解析设zabi(a、br)，由i(z1)32i，得b(a1)i32i，a12，a1.6答案8解析(2515i)53i，a5，b3.ab8.b组提高选做题1 答案i解析zi.2答案解析|z2|，(x2)2y23.由图可知max.3.解(z12)(1i)1iz12i.设z2a2i，ar，则z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i.z1z2r，a4.z242i.4解1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是实数，a22a150，解得a5或a3.又(a5)(a1)0，a5且a1，故a3.5.解方法一设zxyi(x，yr)，|z|2，x2y24，|zi|xyii|x(y1)i|.y24x24，