（应用数学专业论文）系统的稳定性判据及鲁棒h∞控制.pdf

系统的稳定性判据及鲁棒比控制 田辉 摘要稳定是实际系统麓否正常工作的翦提条件 对系统稳定性的分析和 综合是控制瑷论的重要课题 本文利用特殊的严格系统等价变换和适当的新型广 义l y a p u n o v 方程给出了离散鸯异系统稳定 脉磅自由的刿定条体及若干翔关推 论 不确定系统具有鲁棒稳定性是指该系统在菜一类特定的不确定性条件下具 有使稳定性 渐进调节和动态特性保持不变的特馁 鼯逡一系统其有扰动掷籁的 能力 控制方法焐鲁棒控制理论发展最为突出的标志之一 基于线性矩阵不 等式 l m i 本文研究了一类零确定鸯异线性系统的p d 状态反馈鲁棒稳定纯 p d 状态反馈鲁棒正k 控制 带时变延滞的不确定非线性系统的时滞依赖的鲁棒 甄 性毙分柝 状态反馈鲁棒点k 控割 并给出了摆应受控系统五k 控裁器的有 效计算方法 使得反馈后得蓟的闭环系统满足以下性质 i 闭环系统一致渐进稳定 即闭环系统状态矩阵的所有特征值均在农半开 复平面中 f i 从扰动输入到被调输出的闭环传递函数的上k 范数小于1 即 如 7 对上述缭果 本论文分四章谤论 第一章 绪论 给出了本论文研究对象的数学模型及背景 系统鲁棒控制研 究的目的和意义 介缨了系统镪棒王k 控制研究概况 第二章 离散奇异线性系统稳定 脉冲自由新的充要条件 嗣用特殊的严格 系统等价变换和适当的新型广义l y a p u n o v 方程 给出了离散奇异系统稳定和广 义l y a p u n o v 方程有特殊对称解豹一个新的充要条件 遴一步 结合脉冲匿壶羯 定条件 证明了离散奇异线性系统稳定 脉冲自由和对应的广义l y a p u n o v 方程 有糁定解的一个充分必要条件 第三章 一类不确定奇异线性系统的p d 状态反馈鲁棒稳定化及h o 控制 在能规范的假设条件下 首先对系统矩阵 4 带有有界范数的不确定奇异线性系统 提出鲁棒二次可稳的概念 证明了该类不确定奇异线性系统p d 状态反馈鲁捧 二次稳定化的一个充要条件并以线性矩阵不等式的形式给出了其镑棒控制器的有 效算法 其次 结合著名的有界实弓i 理 对系统矩薄a 微分矩阵雾 及输入矩 阵b 均带有有界范数的不确定奇异线性系统证明了鲁棒风 控制器存在条件 最后 基于这一条件 给出了该类不确定奇异线性系统最优鲁棒王k 控制器的设 计方案 第四章 带时变延滞的不确定非线性系统的时滞依赖的鲁棒风 控制 研 究了带外干扰 时变延滞及时变范数有界的非线性不确定系统的鲁棒巩 控制问 题 利用线性矩阵不等式 给出该问题解的一个充分条件并对该系统提出了无记 忆次优鲁棒h o 控制器的有效算法 关键词 广义l y a p u n o v 方程 脉冲自由 鲁棒二次稳定 线性矩阵不等式 鲁棒日o 控制 带时变延滞的不确定非线性系统 s t a b i l i t yc r i t e r i aa n dr o b u s th c o n t r o lf o rs y s t e m s t i a n h l l i a b s t r a c t s t a b i l i t yi st h ep r e m i s eo fn o r m a lw o r kf o rp r a c t i c a ls y s t e m s s t a b i l l t ya n a l y s i sa n ds y n t h e s i so fs y s t e m si sa ni m p o r t a n ts u b j u c ti nc o n t r o lt h e o r y a n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no i ls t a b i l i t yf o rd i s c r e t e t i m es i n g u l a rs y s t e m si s g i v e nm a i n l yb ya p p l y i n gs p e c i a lr e s t r i c t e ds y s t e m se q u i v a l e n tt r a n s f o r m a t i o n sa n d a na p p r o p r i a t eg e n e r a l i z e dl y a p u n o ve q u a t i o n r o b u s t n e s so fu n c e r t a i ns y s t e m sm e a n st h a t u n d e rt h ec o n d i t i o no fs o m e u n c e r t a i n t i e s t h es t a b i l i t y a s y m p t o t i c a lr e g u l a t i o na n dd y n a m i cf e a t u r e sc a l 2b e r e t a i n e d i e t h e s es y s t e m sc 勰r e s i s tu n c e r t a i n t i e s t h e 瓦c o n t r o lt h e o r yf o r s y s t e m sh a sb e e ni n v e s t i g a t e dw e l li nr o b u s tc o n t r o lt h e o r y b a s i n go nl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e sa ne q u i v a l e n tc o n d i t i o no np r o p o r t i o n a la n d d e r i v a t i v es t a t ef e e d b a c ks t a b i l i z a t i o nf o rac l a s so fu n c e r t a i ns i n g u l a rs y s t e m s p r o p o r t i o n a la n dd e r i v a t i v es t a t eh c o n t r o l h p e r f o r m e n c ea n a l y s i so fu n c e r t a i n n o n l i n e a rs y s t e m sw i t ht i m e v a r y i n gd e l a y s t a t ef e e d b a c k 如c o n t r o la n dp r o v i d e s s o m ea l g o r i t h m sf o rc o r r e s p o n d i n gc o n t r o l l e ds y s t e m s s u c ht h a tt h ec l o s e d l o o p s y s t e m ss a t i s f y i t h ec l o s e d l o o ps y s t e mi su n i f o r m l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l e i i t h e 如n o r mo ft h et r a n s f e rf u n c t i o nf r o md i s t u r b a n c e s 叫t ot h ec o n t r o l l e d o u t p u tzs a t i s f i e s 1 t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r st od i s c u s st h ea b o v er e s u l t s c h a p t e r1 s o m em a t h e m a t i cm o d e l sa n db a c k g r o u n do fs y s t e m su n d e rc o n s i d e r a t i o na n dt h et a r g e ta n ds i g n i f i c a n c eo fr e s e r c ho nr o b u s tc o n t r o la r ei n t r o d u c e d a sf o rt h e 如c o n t r o lf o ru n c e r t a i ns y s t e m s w eg e n e r a l i z et h ee x i s t i n gr e s u l t si n o u t l i n e c h a p t e r2 an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no ns t a b i l i t yf o rd i s c r e t e t i m e s i n g u l a rs y s t e m si sg i v e nm a i n l yb ya p p l y i n gs p e c i a lr e s t r i c t e ds y s t e m se q u i v a l e n t t r a n s f o r m a t i o n sa n da na p p r o p r i a t eg e n e r a l i z e dl y a p u n o ve q u a t i o n f u r t h e r m o r e b yc o m b i n i n g ac r i t e r i af o ri m p u l s ef r e e d o m an e wn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n o ns t a b i l i t va n di m p u l s ef r e e d o mw i l lb ed e r i v e df o rd i s c r e t e t i m es i n g u l a rs y s t e m s i i i c h a p t e r3 u n d e rt h ea s s u m p t i o no fn o r m a i i z a b i l i t y t h er o b u s tq u a d r a t i cs t a b i l i t yi sa d d r e s s e da n dt h ep r o b l e mo fr o b u s ts t a b i l i t yi ss t u d i e df o rac l a s so fd e s c r i p t o rs y s t e m sw i t ha m a t r i xh a v i n gu n c e r t a i n t i e s t h ee q u i v a l e n te x i s t e n c ec o n d i t i o n o fp r o p o r t i o n a la n dd e r i v a t i v e p d s t a t ef e e d b a c ki sg i v e nb yl m i w h i c hr e s u l t s i nt h eo p t i m i z a t i o np r o b l e m f u r t h e r m o r e f o rt h es y s t e mw i t hu n c e r t a i n t i e si nm a t r i c e se a an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rr o b u s tq u a d r a t i cs t a b i l i z a t i o n w i l lb eo b t a i n e db yi n t r o d u c i n gaf i c t i t i o u si n p u ta n daf a m o u sl e m m a f i n a l l y o n t h eb a s i so fe q u i v a l e n tc o n d i t i o n s t w oa l g o r i t h m sf o rr o b u s ts t a b i l i z i n gc o n t r o h e r a r ed e r i v e db ys o l v i n gt h ec o r r e s p o n d i n gl m i s c h a p t e r4 t h ep r o b l e mo fr o b u s t 风 c o n t r o la r ec o n s i d e r e df o rs y s t e m s w i t ht i m e v a r y i n gd e l a y sa n dt i m e v a r y i n gn o r m b o u n d e dp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s w h i c hm a yb en o n l i n e a r a n dt h es y s t e m su n d e rc o n s i d e r a t i o na r ea l s os u b j e c tt o e x o g e n o u sb o u n d e d e n e r g yl 2d i s t u r b a n c e s a t t e n t i o ni sf o c u s e do nt h ed e s i g no fa f u l l o r d e rl i n e a rm e m o r y l e s ss t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e rf o rt h es y s t e m sj u s tm e n t i o n e d a b o v e i nt e r m so fl m i as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h es o l v a b i l i t yo ft h i sp r o b l e mh a s b e e ng i v e n w h i c hi sd e p e n d e n to nt h es i z eo ft h ed e l a y k e y w o r d s g e n e r a l i z e dl y a p u n o ve q u a t i o n i m p u l s ef r e e d o m r o b u s t l yq u a d r a t i c a l l ys t a b l e l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y l m i r o b u s t 比c o n t r o l u n c e r t a i nn o n l i n e a rs y s t e m sw i t ht i m e v a r y i n gd e l a y 学位论文独创性声明 y9 0 0 5 7 3 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果 尽我所知 除文中已经注明引用的内容外 论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果 也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体 均已在文中 作了明确说明并表示谢意 作者签名 蛸 吼丝垒 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学 本人保证毕业离校后 发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学 学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆 院系资料室被查阅 有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版 作者签名 里魄妇 r日期 第一章绪论 1 1 研究对象的数学模型和背景 为了建立实际控制对象的数学模型 通常选择能充分刻画系统的速度 重 量 温度 加速度等作为状态变量 建立状态空间模型 一般地 根据系统机理 建立的状态空间模型可由以下形式描述 圣 z 0 u 0 t 0 g z t u t t t 0 其中z t 是由状态变量组成的系统状态 t 是控制输入 y t 是度量输出 和g 是圣 z f u t y t 及t 适当维数的向量函数 上述系统模型的一种特殊形式是 e t a x t b u t 1 1 1 y t c z t 其中4 t 碾 让 琏 雪 t r e p ha 腿n n b 妒 m 和c r l x n 均是实常数矩阵 当e 奇异时 称系统 1 1 1 为奇异线性系统 当e 非奇异甚至e i 时 系统 1 1 1 可化为以下形式的常规数学模型 t a x t b u t 1 1 2 y t c x t 我们知道 现代控制理论的许多结果都是基于对象的一个数学模型 根据系 统的性能要求 通过对被控对象的数学模型进行分析来设计系统的控制律 进而 将所得到的控制律应用于被控对象来保证闭环系统具有所期望的性能 显然 当 对象模型不能精确地描述被控对象或在运行过程中模型和实际对象产生偏离时 基于这样的模型设计的控制系统很难保证具有所期望的性能要求 实际上 对于复杂物理系统的模型 存在以下两个问题 1 描述物理系统的解析模型很难 甚至不可能精确地刻画 因此为了便于 处理 不得不简化模型 2 一个模型 无论多么详细 都不可能是物理系统的一个精确表示 因此 模型存在本质的不精确性 建模中的以上两个方面称为模型的不确定性 考虑由以下非线性微分方程描述的复杂动态系统 e 2 t z t 札 t t 1 1 3 t h z t u t t 其中x o z o z t u t 和u t 是向量值函数 和h 是光滑的向量函数 在特殊的运行点附近 可以将系统 1 1 3 分解成一个线性部分和一个非线性部分 的组合 特别地 在原点处 置u 0 0 系统 1 1 3 可分解为 e 2 t a x t b u t g z t t t 1 1 4 g t c z t d u t r 卫 t u t t 其中a 日 e 和d 是系统 1 1 3 的一个线性近似 g 2 一是满足f o t 0 和9 0 t 0 的未知时变有界非线性函数 表示模型中的参数扰动或不确定性 当前 许多学者比较热衷研究系统 1 1 4 的一种特殊形式 e 2 t a a a x t b a b u t 4 0 x o 其中茁 t 豫 是系统的状态向量 札 f 研 是控制输入 a 和b 是具有适当 维数的已知常数矩阵 a 和a b 是适当维数的不确定矩阵函数 表示了系统模 型中的参数不确定性 假定所考虑的参数不确定性范数有界且具有以下形式 a aa b d f t e l 岛 其中d 日和易是适当维数的已知常数矩阵 反映了不确定性的结构信息 f t 础 是一个未知矩阵且满足 f t f 再者 各类工业系统中 时滞现象极其普遍 如长管道进料或皮带传输 极缓慢的过程或复杂的在线分析仪等均存在时滞现象 此外 许多大时间常数的 系统 也常用适当的小时间常数加纯滞后环节来近似 这都可以归结为时滞系统 t i m e d e l u ys y s t e m s 模型 通常 一个系统中原料或信息的传输也往往导致时滞 2 现象的产生 因此 通信系统 传送系统 化工过程系统 冶金过程系统 环境系 统 电力系统等都是典型的时滞系统 时滞的存在使得系统的分析和综合变得更加复杂和困难 同时 时滞的存在 也往往是系统不稳定和系统性能变差的根源 因此 对它们的研究无论在理论上 还是在工程实践中都有其重要意义 考虑更为一般的情况 若系统 1 1 4 带有时变延滞和外部扰动输入且e 即 f t a o 十a d x t d t 0 t t 9 扛 一d t t b u t b t w t x t 妒 t t f r 0 iz t c z t 十d 甜 1 1 5 其中x t 时为系统状态 u t 黜为控制输入 加 t r 一是扰动输入 而且w t l 2 o o z t 是受控输出 a a d b b t c d 是已知的适当维数 实常数矩阵 t 是已知的连续向量值初始函数 d t 是一个滞后时间函数且 满足 0 d t 7 d t 卢 0 系统是渐 进稳定的 由于这样的条件无需知道系统滞后时间的信息 因此 适合于处理具 有不确定滞后时间和未知滞后时间的时滞系统稳定性分析问题 i i 时滞依赖的稳定性条件 即在该条件下 对滞后时间a t 的某些值 系 统是稳定的 而对滞后时间d t 的另外一些值 系统则是不稳定的 因此 系统 的稳定性依赖于滞后时间 一般来说 时滞独立的稳定性条件比较保守 因为 若系统满足时滞独立的 稳定性条件 则对任意大的滞后时间 系统都是稳定的 显然 这样的要求很强 3 特别对小时滞系统 这样的条件是很保守的 但是 时滞独立的稳定性条件也有 其优点 首先 这样的条件往往更为简单 其次 它可以允许系统的时滞是不确 定或未知的 从而无需知道系统时滞的精确信息 1 2 系统鲁棒控制研究的目的及意义 以l q c l i n e a rq u a d r a t i cg a u s s i a n 为代表的现代控制理论 克服了经典控 制理论的很多局限性 解决了某些非线性和时变系统的控制问题 适用于多输入 多输出反馈控制系统 可以实现最优控制 它不仅能够研究确定性的系统 而且 可以研究随机的过程 但是 现代控制理论完全依赖于描述被控对象动态特性的 精确数学模型 利用它设计的系统只对数学模型保证预期的性能指标 而这种设 计指标在实际的被控对象上是否能得到实现 则完全取决于用来设计的数学模型 的精确程度 然而 在客观的实际工程中 普遍存在着各种各样的不满足理想假 设条件的不确定因素 要想获得精确的数学模型几乎是不可能的 因此产生了基 于含不确定性的非精确模型来分析和设计的鲁棒控制理论 控制系统设计中需要考虑的不确定性可以归纳为两个方面 一是控制对象的 模型化误差 二是控制系统本身和外部的扰动信号 模型化误差不确定可分为非 结构不确定和结构不确定 非结构不确定仅考虑加法和乘法不确定 由加法不确 定所描述的系统为 g o s g s w 1 s g s w 乞 s a g s fj o o 1 由乘法不确定所描述的系统为 g o s i 眦 s g s s g s a g s 0 是任意的 容易验证下氟引理是正确的 引理2 2 2 系统 e a b c 与系统 秀 a 蜃 0 严格系统等价 即存在非 奇异矩阵q p 使得q e p 豆 q a p 五 q b c p d 则可以得襄以下 关系 v q t 矿q w p t 茆p 9 定义2 2 5 3 6 称矩阵m p 特征值实部必 小 予零的个数为正 负 惯 性指标 记为i n m i n 一 m 香l 理2 2 3 1 a 9 i 对称矩阵的愤性指标森会固交换下保持不变 定义2 2 7 1 3 8 j 若系统 2 2 1 的全部有限特征值在复平面的单僚圆内 则称 系统 2 2 1 关于单位圆稳定或渐近稳定 简称系统 2 2 1 稳定 2 3 离散奇异线性系统稳寇 脉冲裔由新的充要条件 首先注意这样一个事实 系统 2 2 1 关于单位圆稳定的充妥条件是慢予系 统 2 2 4 稳定 蚰l 这也可以从 2 2 8 2 2 9 两式及稳定性定义2 2 7 煮接推 出 定理2 3 1 系统 2 2 1 稳寇雏充要条件是任给对称芷怠矩阵彬 d i a g w 1 w 2 与其快 慢子系统 2 2 4 2 2 5 对应的广义l y a p u n o v 方程 d i a g a l a 2 t f f d i a g a 1 a 2 搬姆 琶 琶 t 矿d i a g e 1 e 2 一d i a g w l 2 3 1 有对称解矿 蘸满是王 u 霸 乳l i n 一 刃 r t 2 其中v 矿l 聚一 1 w 2 r 2 2 证明 必要性从 2 3 1 式可以知遂 群 a 1 一砰v 1 e 1 一啊 2 3 2 髯k a 2 一霹k 岛 0 2 3 3 a t v 3 a 2 一霹k e 2 一 2 3 4 其中矿 谗外 按稳定性定义 慢子系统 2 2 4 稳定 注意到 2 2 4 是规范予系统 所以 h 对称正定 而由条件e a 一 蕊得岛a 2 a 2 如或a i l e 2 局a i l 因此 1 0 2 3 5 一2 a 岛一2 a o o a 醪 一2 a h 铷 一 蟾 所以k 负定 至于 2 3 3 式 至少有零解 故i 扎 n l i n 一 k t t 2 对眦这里取非奇异矩阵户 i 一 饥卜 尹矿p d i a g y l k 一谬v z l k 根据引理2 2 2 i n 矿 i 几十 扎 i n 一 矿 i n 一 k 一曙h 一1 k n 2 充分性不失一般性 取v 2 o 由定理已知条件 式 2 3 1 有对称解 v d i a g y l k 其中i n 十 y i n k n i i n 一 y i n 一 k n 2 容易知道 为对称正定矩阵 所以慢子系统 2 2 4 稳定 因此原系统 2 2 1 稳定 证毕 注1 i 在定理2 3 1 中 可以看出矿是可逆的 正惯性指标i 礼 矿 n 和负 惯性指标胁一 矿 礼 分别对应子系统 2 2 4 和 2 2 5 2 这种广义l y a p u n o v 方程的解可以包含离散奇异系统的非因果律 为方便以下叙述起见 令 d i a g e t e 2 a d i a g a a 雪 瓮 c 1 岛 其对应的广义l y a p u n o v 方程为 a t 矿a 一雷t 矿豆 一形 推论2 3 1 系统 2 2 1 稳定的充要条件是任给对称正定矩阵w d i a g u 1 w 2 w 1 呼 w 2 r 其对应的广义l y a p u n o v 方程 a t v a e r y e 一t t w t 一1 2 3 6 其中t 为 2 2 6 中所规定的非奇异矩阵 有对称解u 且满足i n v t t l i n 一 v n 2 证明 根据定理2 3 1 系统 2 2 1 稳定当且仅当任给对称正定矩阵彬 d i a g w 广义l y a p u n o v 方程 2 3 1 有对称解矿且满足i n 十 矿 n l i n 一 矿 礼2 同时注意到系统 e a b g 巨a 一 b 一 a 豆 a b 一 0 的严格系 统等价关系及引理2 2 2 有 v q t t t 矿t 一1 q w t r 形t 一1 1 1 其中q z o e 一 4 t 为 2 2 6 中所规定的非奇异矩阵 从而由引理2 2 3 容 易得到该推论 证毕 推论2 3 2 对系统 2 2 1 如果任给对称正定矩阵 广义l y a p u n o v 方 程 2 2 1 0 有对称解v 且满足i 钆 y n l i n 一 n 2 则系统 2 2 1 稳定 推论2 3 3 若系统 2 2 1 稳定 则必存在非奇异矩阵t 使得任给对称正 定矩阵w d i a g w 1 w 其中肌 豫 w j 郧 广义l y a p u n o v 方程 a t v a e r v e 一t t w t 一1 有对称解y 且满足i n y n l i n 一 y n 2 注1 一般情况下y 并非唯一解 但在某些条件增强的时候 它是唯一的 比如限定 a 可逆 就得到文献 3 6 中的定理2 1 2 在以上各命题中 若取k 0 时 则矿是唯一解 即矿 d i a g v 1 k 从而y 也是唯一的 约定 下面称y 或矿唯一 都是指在k 0 意义下唯一 c 引理2 3 1 1 3 7 1 系统 2 2 1 脉冲自由当且仅当d e g d e t s e a r a n k e s 引理2 3 2 马 0 当且仅当原系统 2 2 1 脉冲自由 证明 充分性由引理2 3 1 系统 2 2 1 脉冲自由则d e g d e t s e a r a n k e 或d e g d e t s e l 一a 1 d e g d e t s 岛一a 2 r a n k e l r a n k e 2 注意 毋可逆及 2 2 8 2 2 9 两式结构 容易推出d e g d e t s e l a 1 r a n k e l d e g d e t s e 2 一a 2 0 即r a n k 易 0 所以e 2 0 必要性由等式d e g d e t s e a d e g d e t s e l 一a 1 d e g d e t s e 2 一 a 2 d e g d e t s e l 一a i r a n k e l d e g d e t s e 2 一a 2 r a n k 如 0 r a n k e r a n k e l r a n k e 2 及引理2 3 1 易得必要性成立 证毕 观察定理2 3 1 的证明过程 2 3 4 式及引理2 3 2 接下来利用新型广义 1 2 l y a p u n o v 方程给出离散奇异线陛系统 2 3 1 稳定 脉冲自由的一个充要条件 引理2 3 3 若广义l y a p u n o v 方程 2 3 1 有唯一解且k 一a i t w j a i l 则系统 2 2 1 脉冲自由 证明 根据已知条件 容易得到霹a i t w j a i l e z 0 注意w 毛是正定的 所以a i t w 2 a i l 可逆 由此推出e 2 0 从而由引理2 3 2 可知原系统 2 3 1 脉 冲自由 即引理得到证明 证毕 结合定理2 3 1 和引理2 3 3 得到下面定理 定理2 3 2 系统 2 2 1 稳定 脉冲自由的充要条件是广义l y a p u n o v 方程 2 3 1 存在唯一解v d i a g v 1 k 且满足i n 矿 n 1 i n 一 矿 n 2 k 一a i t w 2 a i 1 2 3 6 存在唯一解y 且满足 0j t 1 q a t 01 t o j t t q r y q 1 t o t 1 q 胛 r i n y n l i n y 礼z 其中q z o e a t 为 证明 由系统 e a b g 豆五 百 0 亩 a 豆 0 的严格系统等价关系及 引理2 2 1 有关系式 v q t t t 1 p t 一1 印 2 3 7 t r 雨t 一1 2 3 8 其中q z o e a t 为式 2 2 6 中所规定的非奇异矩阵 根据 2 3 7 2 3 8 式及引理2 2 3 容易知道广义l y a p u n o v 方程 2 3 1 有唯一对称解y 且满足i n y n l i n 一 y n 2 当且仅当广义l y a p u n o v 方程 2 3 6 有唯一对称解矿且满足i n y l i n 一 y 咒2 由 2 3 7 式 或矿 t r q t v q 1 t 有 0 j t r q t y q t l0 l 其中q z o e a t 为 2 3 6 中所规定的非奇异矩阵 所以k 一a i 丁w j a i l 当且仅当w j 一a i t r q t y q 1 t a 同时注意到a 卅t 1 q a t 01 故综 合以上结果 由定理2 3 2 立即得到该推论 证毕 为说明本节所得结果确比文献 3 6 中的定理2 1 优越 接下来试举一例以示 说明 考虑下面离散奇异系统 6 z c 南十 三i j 1 z c 七 该例中系统矩阵奇异 因此 文献 3 6 1 中定理2 1 在这里无能为力 取形 d i a g w 1 w 2 则t 一1 彬t i 解其对应的l y a p u n o v 方程 3v三23 11砚v232 v三23口12 一 j 17233 v 1 2 2 2 3v 2 3 1 il 一iu u l l 一 地3 一 l uu 其中v 忱j 因此解得 y 一 吾三 一1 0 tr1 0 0 1 0i l0 10 1 01j 1 0 0 1 j 由推论1 该系统是稳定的 但是可以看到它是非因果的 事实上 该系统 只有唯一一个有限极点8 0 而r a n k e 2 5 2 4 小结 本章主要通过利用两次特殊的严格系统等价变换 给出了离散奇异线性系统 稳定与新型广义l y a p u n o v 方程有特殊对称解的一个充要条件 进一步 结合引 理2 3 2 证明了离散奇异线性系统 2 2 1 稳定 脉冲自由与新型广义l y a p u n o v 方程有特定解的一个新的充要条件 并通过实例说明了定理2 3 1 确实比文献 3 6 中的定理2 1 优越 1 4 o 孔 o o o 卜 r l y n o 0 1 i o 1 o 且睢 而 轨 以 所 第三章一类不确定奇异线性系统的p d 状态反馈鲁棒 稳定化及比控制 3 1 引言 2 0 世纪6 0 7 0 年代 控制理论中关于状态空间的结构性理论得到了突破性 的进展 人们建立了线性系统的髓控 能观性理论 并在此基础上提出了反馈镇 定的一整套严密的理论和方法 然而 这些理论和方法却依赖于受控对象的精确 的数学模型 实际的系统往往运行在不断变亿的环境中 各种因桊 如温度 原 料 负荷 设备等 都是随时间变化的 一般说来 这种变化是无法精确掌握的 同 时受理论和方法的限制 入们猩实际系统的建模过程中经常要傲一些简亿鲶理 如降阶 时变参数的定常化处理 非线性过程的线性化等 因此使得实际系统和 我 门赖以做分析和设计豹数学模毽之间存在一定豹差鄹 这种差掰豹存在使得现 代控制理论中的反馈控制理论等许多结果在实际正程中的应用不能令人满意 这 种现象激励释启发了入髋对于控刳系统豹鲁帮性的研究 有界实弓l 理懿提趣对于 鲁棒稳定性的深入研究起着了最基础性的构架作用 随后 1 9 9 0 年k h a r g o n e k a r p p p e t e r s e ni r 及z h o uk 2 0 0 3 匀三匈牙弱学者a k o s l d s z l 6 有效地推广了 有界实引理 国内也不乏许多如 谢湘嫩 刘永清 徐胜元 段广仁等优秀学者 对系统鲁棒控制进行了深入研究 2 0 0 3 年中国学者欧阳华江等人皋用线性矩阵 不等式 对常规的不确定线性系统考虑输出反馈鲁棒控制 本章从另一角度一 微分比键 p d 状态反馈 对一类不确定奇异线馕系统提趣鲁棒控制方法弗给出 了相应的控制器计算方法 3 2 问题的描述及预备知识 考虑线愀时不变连续时间系统 f 毒 t a x t b w t lz t c z t d w t 1 5 3 2 1 其中x t 础表示系统的状态向量 叫 t 耻是外部扰动输入 z t 是 感兴趣的系统被调输出 如果对某一类外部扰动信号叫 t 系统的被调输出 t 总能保持是 小 的 则认为具有这样性能的系统具有 好 的性能 事实上 这说明了外部扰动 对系统的影响很小 因此 反映了系统抑制外部扰动的能力 量化系统性能的一种标准方法就是考虑系统的增益1 1 r 一倘s u p 掣s z z e w 0 或等价的 r s u p s i z e z s i z e w 1 s i z e z 表示信号 大小的某种度量 r 度量了在零初始条件下 对应于最坏扰动 输入的系统输出信号z 的大小 因此 系统的增益越小 系统的性能也就越好 对于平方可积的信号 定义i l y l l 2 铲i i f t 1 1 2 出 1 其中i l y l l 7 亍可 丽 是向量的欧氏范数 这样定义的1 1 1 1 2 正好是信号 的能量 定义3 2 1 4 1 1 称r l i m s u pl i z l l 2 为系统 3 2 1 的e e 增益性能指标 1 1 h 1 1 2 1 对于系统 3 2 1 传递函数t s c s e a 1 b d 定义3 2 2 4 1 t s 的风 范数为i i t s l l l i ms u p 7 m 口0 叫 即系统频 率响应的最大值的峰值 系统 3 2 1 的增益f 恰好等于其传递函数矩阵t s 的日o 范数 即 f e l i t s l l 考虑下面不确定线性系统 主 t a 4 a a x t 2 1 2 其中x t 碾 是系统的状态 a a l f t e f t 印f 茎v 2 i a 三 e 是适当维 数的实常数矩阵 口是一个正实数 a 描述了系统的名义系统模型 即忽略了模 型不确定性后得到的系统模型 f t 是不确定参数矩阵 反映了系统模型中的参 1 6 数不确定性 三 e 反映了不确定参数是如何影响系统模型的 即反映了模型的 不确定性的结构 定义3 2 3 1 4 2 1 称系统 3 2 2 关予鲁棒控躺值移鲁棒二次稳定 如果存在对 称正定矩阵p 使得l y a p u n o v 函数y z x t p 茁满足 矿 z x t 尸 a a a 十a a p l x 0 其中 x t 酞4 魏 对于系统 e 2 t a a a x t b u t 3 2 3 其中x t 妒是系统状态 e 妒 可为奇异 假设r a n k e r 0 和矩阵y r 使褥下面不等式成立 o a q b y q 三w r r l t q 一k 1 0 l 0 3 3 1 3 3 2 证明 电假设条件可知 存在矩阵n l 使得d e t e 十鼠k 1 0 根据定理已知条件及定义3 2 3 和定义3 2 5 系统 3 2 3 鲁棒二次可稳当且仅 1 8 当存在对称正定矩阵p 使得其对应的l y a p u n o v 函数的导数满足 x t p q a q b k 2 q a a q a q b k 2 q a a t p x 0 v z 琏 r 3 3 3 或者 x t p q a q b k 2 q l f t r x x t p q a q b k 2 q l f t r r 0 3 3 4 v z t r r 其中q e b k i 设q t f t r x t 则 3 3 4 可另写 为 x t p q a q b k 2 q a q b k 2 t 尸 z b f p q l q t q t 0 l t q t p x l o 或者 p 州以驰 b t q p a 们 尸m 引引 o 3 3 5 其中 q t q x t 舻矿 t f t r x x t 矽 2 鼢 或者 p 引 r t v r 一引 利用s p r o c e d u r e 公式 得到 3 3 5 和 3 3 6 的等价形式 耳q a 十q b 鲍h 伊 q 矿a p q b 鲍尸p 舻眦p q l i i 伊矿p 一 l 其中s p r o c e d u r e 公式中的参数取作1 利用s c h u r 补公式 3 3 7 等价于 p q a q b k 2 q a q b k 2 t p 三t 矿p r 3 3 6 3 3 7 p q lr t 一j j 0 i o 3 3 8 0 一 1ij 设d 1 则d i a g w nw p 1 分别左乘 右乘不等式 3 3 8 得 f q a q b k 2 w w q a q b k 2 r l t o t 1 9 q lw 矽 一5 1 0 i 0 3 3 9 0 5 i j 记y 托w 则 3 3 9 可另写作 f q a w q b y 十 t q lw r r1 j l t q t 5 10 l 0 的l m i 3 3 1 如 果可解 则p d 状态反馈鲁棒控制律为u 9 2 x k l 圣 其中k 2 y w 3 4 一类不确定奇异线性系统的 控制 考虑下面不确定线性系统 e e 圣 t a 十a a x t 十 b b 扣 t 3 4 1 其中z t 辩是状态向量 铷 稳一是控嗣输入 a e w l a e t w 2 a a r l a a t r 2 a b s l a b t s 2 e a 和b 是适当维数的实常数矩阵 描述了 系统的名义模登 即忽略了搂銎不确定性后得翔的系统模型 a e t a a t a b t 是不确定参数矩阵 反映了系统模型的参数不确定性 h 1 w 2 r 岛 最 岛是适当维数的常数矩阵 反获了名义模型和不确定部分阕黪结构建 酃荧系 而且不确怒参数满足 a 豆 t l l 曼1 l i 彳 t 1 ls1 1 l 豆0 l 这差 范数卧l 取对应矩箨瓣最大奇异值 e 碾 霉麓奇异 假设r a n k e r 礼 在陈述问题前 先回忆一个非常著名的引理 考虑如下图的一个具有动态和参数不确定性的线性分式模型 图3 1 其中线性时不变系统p s 包禽了所蠢已黧翡线性对不变环节 控制器 系统豹名 义模型 传感器 执行器等 输入向避u 包含了作用予系统的所有外部信号 扰 动 曝声 参考输入信号等 y 表表由系统产生的瑟有羧出信号 是一个不 确定性的结构描述 具有以下形式 d i a g a 1 r 其中每一块 反映了一种特定的不辘定性 饲妇被忽略戆动态特性 非线性特 性 不确定参数等 图3 1 中线性分式模型巍缸三0 时 其数学表达式通常可搽述为 f 峦 t a z t 十b w t q t c z t d w t 3 4 2 l 钟 砖 a t q t 其中 系统的名义模型 即a 0 时 是线性时不变的 是模氆中的不确定参 数矩阵 它可以是时变的且满足i 刚 1 即 讣t a t i 模登 2 3 2 也 可以写成以下闭环形式 圣 t 一 a b a i d a 一1 g z t 记f 0 c s i a 一1 b d 引理3 4 1 如果l i t s 9 0 1 即存在对称正定矩阵p 使碍矩阵不等 ra t p p ap bc r l b t p i 矿i 0 fc d i i 2 1 成奠 当且仅当不确定系统 3 4 2 是二次稳定的 定义3 4 1 假设系统 3 4 1 的名义模型能规范化 称不确定线性系统