福建省泉州市南安一中高二数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）：1双曲线2x2y2=8的实轴长是（）a4b4c2d22已知p：2+2=5，q：32，则下列判断中，错误的是（）ap或q为真，非q为假bp或q为真，非p为真cp且q为假，非p为假dp且q为假，p或q为真3抛物线的焦点坐标是（）a（2，0）b（2，0）cd4根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）a25b30c31d615若椭圆+=1的两个焦点f1，f2，m是椭圆上一点，且|mf1|mf2|=1，则mf1f2是（）a钝角三角形b直角三角形c锐角三角形d等边三角形6对于常数m、n，“mn0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件7若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）abcd8有下列四个命题：“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题；“若x+y3，则x1或y2”，其中真命题有（）abcd9若向量=（1，2），=（2，1，2），且与的夹角余弦值为，则等于（）a2b2c2或d2或10双曲线c的中心在原点，焦点在x轴，离心率e=，c与抛物线y2=16x的准线交于a，b点，|ab|=4，则c的实轴长为（）ab2c4d811过抛物线y2=4x的焦点f的直线交抛物线于a，b两点，点o是原点，若|af|=3，则aof的面积为（）abcd212执行如图的程序框图，如果输入的d=0.01，则输出的n=（）a5b6c7d8二填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请把答案写在答题卡上）：13命题“对任意的xr，x2x+10”的否定是14已知向量=（2，1，3），=（4，2，x），若，则x=15已知双曲线的渐近线方程为y=x，且过点m（1，3），则该双曲线的标准方程为16若二进制数100y011和八进制数x03相等，则x+y=三解答题（本大题共6小题，共74分）：17已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，求该双曲线的焦点到其渐近线的距离18命题p：“方程+=1表示双曲线”（kr）；命题q：y=log2（kx2+kx+1）定义域为r，若命题pq为真命题，pq为假命题，求实数k的取值范围19如图，棱锥pabcd的底面abcd是矩形，pa平面abcd，pa=ad=2，bd=（1）求证：bd平面pac；（2）求二面角pcdb余弦值的大小；（3）求点c到平面pbd的距离20椭圆c： +y2=1，直线l交椭圆c于a，b两点（1）若l过点p（1，）且弦ab恰好被点p平分，求直线l方程（2）若l过点q（0，2），求aob（o为原点）面积的最大值21如图，在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，e，f，m，n分别是棱ab，ad，a1b1，a1d1的中点，点p，q分别在棱dd1，bb1上移动，且dp=bq=（02）（）当=1时，证明：直线bc1平面efpq；（）是否存在，使面efpq与面pqmn所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由22如图，椭圆e：的左焦点为f1，右焦点为f2，离心率e=过f1的直线交椭圆于a、b两点，且abf2的周长为8（）求椭圆e的方程（）设动直线l：y=kx+m与椭圆e有且只有一个公共点p，且与直线x=4相交于点q试探究：在坐标平面内是否存在定点m，使得以pq为直径的圆恒过点m？若存在，求出点m的坐标；若不存在，说明理由2015-2016学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）：1双曲线2x2y2=8的实轴长是（）a4b4c2d2【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】双曲线方程化为标准方程，即可确定实轴长【解答】解：双曲线2x2y2=8，可化为a=2，双曲线2x2y2=8的实轴长是4故选b【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题2已知p：2+2=5，q：32，则下列判断中，错误的是（）ap或q为真，非q为假bp或q为真，非p为真cp且q为假，非p为假dp且q为假，p或q为真【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】对于命题p：2+2=5，是假命题；对于q：32，是真命题利用复合命题的真假判定方法即可判断出【解答】解：对于命题p：2+2=5，是假命题；对于q：32，是真命题pq为真命题，pq是假命题，p为真命题，q为假命题c是假命题故选：c【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3抛物线的焦点坐标是（）a（2，0）b（2，0）cd【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】将方程化为标准方程，再求焦点坐标【解答】解：抛物线的标准方程为y2=8x，则2p=8，抛物线的焦点坐标是（2，0）故选a【点评】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题4根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（）a25b30c31d61【考点】伪代码【专题】算法和程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数 y=的函数值当x=60时，则y=25+0.6（6050）=31，故选：c【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误5若椭圆+=1的两个焦点f1，f2，m是椭圆上一点，且|mf1|mf2|=1，则mf1f2是（）a钝角三角形b直角三角形c锐角三角形d等边三角形【考点】椭圆的简单性质；三角形的形状判断【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由椭圆的定义知，|f1f2|=2，|mf1|+|mf2|=4，又由|mf1|mf2|=1可知，|mf2|2+|f1f2|2=|mf1|2【解答】解：由题意，|f1f2|=2，|mf1|+|mf2|=4，|mf1|mf2|=1，|mf1|=，|mf2|=，|mf2|2+|f1f2|2=|mf1|2，故选b【点评】本题考查了椭圆的定义应用，属于基础题6对于常数m、n，“mn0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】常规题型【分析】先根据mn0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆；这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn0，即可得到结论【解答】解：当mn0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆；或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆；故前者不是后者的充分条件；当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn0；由上可得：“mn0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件故选b【点评】本题主要考查充分必要条件，考查椭圆的方程，注意对于椭圆的方程中，系数要满足大于0且不相等，本题是一个基础题7若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）abcd【考点】椭圆的应用；数列的应用【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=22b，即a+c=2b（a+c）2=4b2=4（a2c2），所以3a25c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e3=0，或e=1（舍去），故选b【点评】本题考查等差数列和椭圆的离心率，难度不大，只需细心运算就行8有下列四个命题：“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题；“若x+y3，则x1或y2”，其中真命题有（）abcd【考点】命题的真假判断与应用【专题】转化思想；简易逻辑；推理和证明【分析】根据原命题，结合四种命题的定义，分析给出原命题的逆命题，否命题和逆否命题，判断真假后综合讨论结果，可得答案【解答】解：“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x+y=0”为真命题；“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等三角形的面积不相等”为假命题；“若q1，则x2+2x+q=0有实根”的逆命题为“若x2+2x+q=0有实根，则q1”，由=44q0得q1，即为真命题；“若x+y3，则x1或y2”的逆否命题为：“若x=1且y=2，则x+y=3”为真命题，故原命题也为真，故真命题有：，故选：d【点评】本题以命题的真假判断和应用为载体，考查四种命题，正确理解四种命题的相互关系及真假性关系，是解答的关键9若向量=（1，2），=（2，1，2），且与的夹角余弦值为，则等于（）a2b2c2或d2或【考点】数量积表示两个向量的夹角【专题】计算题【分析】用向量的内积公式建立方程，本题中知道了夹角的余弦值为，故应用内积公式的变形来建立关于参数的方程求【解答】解：由题意向量=（1，2），=（2，1，2），且与的夹角余弦值为，故有cos，=，解得：=2或故应选c【点评】本题考查向量的数量积公式，属于基本知识应用题，难度一般较低10双曲线c的中心在原点，焦点在x轴，离心率e=，c与抛物线y2=16x的准线交于a，b点，|ab|=4，则c的实轴长为（）ab2c4d8【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【专题】计算题；函数思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|ab|=4，即可求得结论【解答】解：双曲线c的中心在原点，焦点在x轴，离心率e=，设等轴双曲线c的方程为x2y2=（1）抛物线y2=16x，2p=16，p=8， =4抛物线的准线方程为x=4c与抛物线y2=16x的准线交于a，b点，|ab|=4，设等轴双曲线与抛物线的准线x=4的两个交点a（4，2），b（4，2），代入（1），得（4）2（2）2=，=4等轴双曲线c的方程为x2y2=4，即，c的实轴长为4故选：c【点评】本题考查抛物线、双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题11过抛物线y2=4x的焦点f的直线交抛物线于a，b两点，点o是原点，若|af|=3，则aof的面积为（）abcd2【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线的定义，求出a的坐标，再计算aof的面积【解答】解：抛物线y2=4x的准线l：x=1|af|=3，点a到准线l：x=1的距离为31+xa=3xa=2，ya=2，aof的面积为=故选：b【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定a的坐标是解题的关键12执行如图的程序框图，如果输入的d=0.01，则输出的n=（）a5b6c7d8【考点】程序框图【专题】计算题；图表型；分类讨论；试验法；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的m，n，a，b的值，当b=，a=时满足条件：|ab|0.001，退出循环，输出n的值为7【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，b=2，n=0，m=，n=1满足条件：f（1）f（）0，b=，不满足条件：|ab|0.001，m=，n=2，不满足条件：f（1）f（）0，a=，不满足条件：|ab|0.001，m=，n=3，不满足条件：f（）f（）0，a=，不满足条件：|ab|0.001，m=，n=4，不满足条件：f（）f（）0，a=，不满足条件：|ab|0.001，m=，n=5，不满足条件：f（）f（）0，a=，不满足条件：|ab|0.001，m=，n=6，不满足条件：f（）f（）0，a=，不满足条件：|ab|0.001，m=，n=7，不满足条件：f（）f（）0，a=，满足条件：|ab|0.001，退出循环，输出n的值为7故选：c【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题二填空题（共4小题，每小题4分，共16分，请把答案写在答题卡上）：13命题“对任意的xr，x2x+10”的否定是存在xr，使x2x+10【考点】命题的否定；全称命题【专题】阅读型【分析】命题“对任意的xr，x2x+10”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化【解答】解：命题“对任意的xr，x2x+10”是全称命题，否定时将量词对任意的xr变为存在xr，再将不等号变为即可命题“对任意的xr，x2x+10”的否定是 存在xr，使x2x+10，故答案为：存在xr，使x2x+10【点评】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查注意在写命题的否定时量词的变化14已知向量=（2，1，3），=（4，2，x），若，则x=6【考点】共线向量与共面向量【专题】空间向量及应用【分析】由于，可得存在实数使得利用向量相等即可得出【解答】解：，存在实数使得，解得x=6故答案为：6【点评】本题考查了向量共线定理、向量相等，属于基础题15已知双曲线的渐近线方程为y=x，且过点m（1，3），则该双曲线的标准方程为【考点】双曲线的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设双曲线方程为=，0，把点m（1，3）代入，能求出该双曲线的标准方程【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=x，设双曲线方程为=，0，把点m（1，3）代入，得13=2，x2=2，整理，得故答案为：【点评】本题考查双曲线的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用16若二进制数100y011和八进制数x03相等，则x+y=1【考点】进位制【专题】计算题；转化思想；分析法；算法和程序框图【分析】将二进制、八进制转化为十进制，利用两数相等及进制数的性质，即可解得x，y的值，从而得解【解答】解：100y011（2）=1+121+y23+126=67+8y，x03（8）=3+x82=3+64x，由3+64x=67+8y，解得：8+y=8x，y0，1，x0，1，2，3，4，5，6，7，解得：x=1，y=0x+y=1故答案为：1【点评】本题考查的知识点是不同进制数之间的转换，解答的关键是熟练掌握不同进制之间数的转化规则三解答题（本大题共6小题，共74分）：17已知双曲线=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，求该双曲线的焦点到其渐近线的距离【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求出抛物线y2=12x的焦点坐标，由此得到双曲线的右焦点，从而求出b的值，进而得到该双曲线的离心率与渐近线方程，从而可求该双曲线的焦点到其渐近线的距离【解答】解：抛物线y2=12x的p=6，开口方向向右，焦点是（3，0），双曲线=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，4+b2=9，b2=5双曲线的渐近线方程为y=，即双曲线的焦点到其渐近线的距离为=【点评】本题考查双曲线的性质和应用，考查了学生对基础知识的综合把握能力，属于中档题18命题p：“方程+=1表示双曲线”（kr）；命题q：y=log2（kx2+kx+1）定义域为r，若命题pq为真命题，pq为假命题，求实数k的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】计算题；简易逻辑【分析】先对命题p，q 化简，再由命题pq为真命题，pq为假命题知命题p，q一个为真，一个为假从而解出实数k的取值范围【解答】解：p：由（k3）（k+3）0得：3k3；q：令t=kx2+kx+1，由t0对xr恒成立（1）当k=0时，10，k=0符合题意（2）当k0时，由=k24k10得k（k4）0，解得：0k4；综上得：q：0k4因为pq为真命题，pq为假命题，所以命题p，q一个为真，一个为假或；3k0或3k4【点评】本题考查了命题的化简及复合命题真假性的判断，注意分类讨论的标准19如图，棱锥pabcd的底面abcd是矩形，pa平面abcd，pa=ad=2，bd=（1）求证：bd平面pac；（2）求二面角pcdb余弦值的大小；（3）求点c到平面pbd的距离【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算【专题】计算题【分析】（1）证明直线bd所在的向量与平面内两个不共线的向量垂直，即可得到直线与平面内的两条相交直线垂直，进而得到线面垂直（2）由题意求出两个平面的法向量，求出两个向量的夹角，进而转化为二面角pcdb的平面角即可（3）求出平面pbd的法向量，再求出平面的斜线pc所在的向量，然后求出在法向量上的射影即可得到点到平面的距离【解答】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则a（0，0，0）、d（0，2，0）、p（0，0，2）在rtbad中，ad=2，bd=，ab=2b（2，0，0）、c（2，2，0），即bdap，bdac，又因为apac=a，bd平面pac解：（2）由（1）得设平面pcd的法向量为，则，即，故平面pcd的法向量可取为pa平面abcd，为平面abcd的法向量设二面角pcdb的大小为，依题意可得（3）由（）得，设平面pbd的法向量为，则，即，x=y=z，故可取为，c到面pbd的距离为【点评】解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便建立空间直角坐标系利用向量的基本运算解决线面共线、空间角与空间距离等问题20椭圆c： +y2=1，直线l交椭圆c于a，b两点（1）若l过点p（1，）且弦ab恰好被点p平分，求直线l方程（2）若l过点q（0，2），求aob（o为原点）面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）设出a（x1，y1），b（x2，y2），代入椭圆方程，利用中点弦的坐标，求出直线的斜率，即得直线方程；（2）设出直线方程，直线方程与椭圆方程联立，消去y，得关于x的一元二次方程；由此求出aob的面积表达式，求出它的最大值即可【解答】解：（1）设a（x1，y1），b（x2，y2），代入椭圆方程得：+=1， +=1；两式作差得：（x1+x2）（x1x2）+（y1+y2）（y1y2）=0，又x1+x2=2，y1+y2=，代入得k=1，此弦所在的直线方程是y=（x1），即x+y=0；（2）易知直线ab的斜率存在，设其方程为y=kx+2，将直线ab的方程与椭圆c的方程联立，消去y得（1+3k2）x2+12kx+9=0；令=144k236（1+3k2）0，得k21；设a（x1，y1），b（x2，y2），x1+x2=，x1x2=；saob=|spobspoa|=2|x1x2|=|x1x2|，=4x1x2=，设k21=t（t0），=，当且仅当9t=，即t=，k21=，k2=时 等号成立，此时aob面积取得最大值【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，也考查了圆锥曲线中的最值问题，解题时应用根与系数的关系，结合基本不等式，进行解答，是难题目21如图，在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，e，f，m，n分别是棱ab，ad，a1b1，a1d1的中点，点p，q分别在棱dd1，bb1上移动，且dp=bq=（02）（）当=1时，证明：直线bc1平面efpq；（）是否存在，使面efpq与面pqmn所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（）建立坐标系，求出=2，可得bc1fp，利用线面平行的判定定理，可以证明直线bc1平面efpq；（）求出平面efpq的一个法向量、平面mnpq的一个法向量，利用面efpq与面pqmn所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论【解答】（）证明：以d为原点，射线da，dc，dd1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则b（2，2，0），c1（0，2，2），e（2，1，0），f（1，0，0），p（0，0，），=（2，0，2），=（1，0，），=（1，1，0）=1时， =（2，0，2），=（1，0，1），=2，bc1fp，fp平面efpq，bc1平面efpq，直线bc1平面efpq；（）设平面efpq的一个法向量为=（x，y，z），则，取=（，1）同理可得平面mnpq的一个法向量为=（2，2，1），若存在，使面efpq与面pqmn所成的二面角为直二面角，则=（2）（2）+1=0，=1存在=1，使面efpq与面pqmn所成的二面角为直二面角【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用22如图，椭圆e：的左焦点为f1，右焦点为f2，离心率e=过f1的直线交椭圆于a、b两点，且abf2的周长为8（）求椭圆e的方程（）设动直线l：y=kx+m与