（概率论与数理统计专业论文）集值随机变量的dp距离空间及其应用.pdf

摘要 摘要 本文首先利用支撑函数引入了集值随机变量的d 。距离我们证明了集 值随机变量d p 距离空间的完备性，并给出集值随机变量关于砩距离收敛的 等价命题以及集值随机变量序列是柯西列的充要条件利用仇距离，我们给 出了集值随机变量的方差、协方差与相关系数的定义，并讨论了它们一些常用 的性质 第二部分，我们研究了集值随机过程的随机分析理论，即讨论了集值随机 过程在均方意义下的连续性、可积性和可微性 最后，我们介绍了含集值随机数据回归问题的线性统计推断具体来说， 在建立回归系数是集值的线性回归模型之后，我们给出了未知参数的b l u e 和最小二乘估计方面的结果 关键词：集值随机变量d p 距离依巩收敛协方差集值随机过程 b l u e 最小二乘估计 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c et h ed p m e t r i co fs e t - v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e sb y t h es u p p o r tf u n c t i o n w ep r o v et h a tt h ed p m e t r i cs p a c eo fs e t v a l u e dr a n d o m v a r i a b l e si sc o m p l e t e ，a n dr e p r e s e n tt h ee q u i v a l e n tp r o p o s i t i o n so fc o n v e r g e n c ef o r s e t v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e sw i t hr e s p e c tt od p m e t r i c ，a n dg i v et h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o no fs e t - v a l u e dr a n d o mv a r i a b l es e q u e n c e st ob ec a n c h y w eg i v e s e v e r a ld e f i n i t i o n so ft h ev a r i a n c e ，c o v a r i a n c ea n dc o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n to fs e t v a l u e d r a n d o mv a r i a b l e sb yt h ed p m e t r i c ，a n dd i s c u s ss o m ep r o p e r t i e s n e x t ，w es t u d yt h el i n e a rt h e o r yo fs e t v a l u e ds t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，i e c o n t n n u i t y , i n t e g r a t i o na n dd i f f e r e n t i a t i o ni nm e a ns q u a r ec r i t e r i o n f i n a l l y , w ei n t r o d u c et h el i n e a rs t a t i s t i c a li n f e r e n c ef o rr e g r e s s i o nw i t hr a n d o m s e t v a l u e dd a t a i nm o r ed e t a i l ，w eg i v et h er e s u l t so fb l u ea n dl e a s ts q u a r e s e s t i m a t e sw i t hr e s p e c tt ou n k n o w np a r a m e t e r sa f t e rw eg i v eal i n e a rr e g i e s s i o n m o d e lw i t hs e t v a l u e dr e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t s k e y w o r d s ：s e t - v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e ，岛一m e t r i c ，c o n v e r g e n c ei nd p m e t r i c c o v a r i a n c e ，s e t v a l u e ds t o c h a s t i cp r o c e s s e s ，b l u e ，l e a s ts q u a r e se s t i m a t e 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示了谢意 童旦! 茎：堇：翌 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：毖盘旦建导师签名查遗嘲堕! ? 第1 章绪论 第1 章绪论 本文主要有四部分的研究内容，首先研究了集值随机变量空间上的域距 离其次，研究了集值随机变量的方差、协方差与相关系数及其性质接着， 又研究了集值随机过程的随机分析理论最后，对回归系数是集值的线性回归 模型也做了一些探讨在阐述本论文的思想和方法之前，首先了解一下集值随 机变量的概念、集值随机过程的发展、线性回归模型的发展以及现有的研究成 果 1 1 集值随机变量的距离空间 6 0 年代，一大批经济学家在研究经济均衡与对策问题时提出了集值映射 的概念1 9 6 5 年a u m a n n 在文献【4 中给出了集值映射积分的定义和性质以 后，集值随机变量作为可测的集值映射自然受到人们的重视经济学诺贝尔奖 的获得者d e b r e u 在文献【1 3 】中给出了集值映射的积分的另一种定义形式之 后，很多学者讨论了在一定条件下该积分与a u m a n n 积分的等价陛，并在7 0 年 代给出了集值映射的r a d o n - n i k o d y m 定理这不仅给经济问题的研究奠定了 理论基础，也为现代概率的一个新分支集值随机变量的理论提出了新的 研究课题经过3 0 多年的发展，这一分支取得了许多可喜的成果，如a r t s t e i n 与v i t a l e 等学者 3 ，1 1 1 ，f l7 j ，f 2 4 ，f 4 3 j 证明了集值随机变量序列的大数定理、中 心极限定理，h i a i 等学者 2 0 ， 2 5 m 8 】，【2 9 ，【3 1 】， 3 2 1 ， 3 5 】在鞅收敛定理方面的成 果 首先，我们给出集值随机变量的数学描述： 设( n ，a ，肛) 为完备的概率空间，彬为d _ 维欧氏空间，s 是础中的单 位球面，k ( r 8 ) 为r d 上的非空闭子集的全体，k k ( 爬4 ) 为耐上的非空紧子 集的全体，k k c ( r d ) 为础上的非空紧凸子集的全体 北京工业大学理学硕士学位论文 定义1 1 1f ：q k ( r d ) 是一集值映射，即有f ( u ) k ( r 8 ) ，讪n ， 对于掣上的任意一个开集o ，若有f 。( 0 ) a ，则称f 是集值随机变量， 其中f 一1 ( 0 ) = u q ：f ( w ) n o 甜和审为空集若f l 和见是两个集值随 机变量，且有f 1 ( u ) = 屁( u ) a 8 ( p ) ，即卢( f 1 f 2 ) = o ，则称f 1 和f 2 相等 接下来，我们对集值随机变量定义以下的两种运算： ( 1 ) 加法：对于任意两个集值随机变量日，f 2 ， ( e lo 而) ( w ) = c f ( f 1 ( u ) + f 2 ( u ) ) ，0 3 n ( 2 ) 数乘：对于集值随机变量f 和可测的实值函数， ( 亭f ) ( u ) = ( 叫) f ( u ) 作为点值函数积分的自然推广，a u m a n n 4 在1 9 6 5 年给出了集值随机变 量f 的期望如下的定义： 定义1 1 2 设f 是一集值随机变量，有 f 【f 】= z ，咖：，跏) ， 其中s f = ，：，( u ) e f ( ) n ( 肛) ，且，是可积的) ，则称e l f 】为f 的a u m a n n 积分 关于集值随机变量的期望的性质的讨论参见【4 ， 3 1 】 人们在讨论随机变量序列的收敛性时，往往会用到h a u s d o r f f 距离妇， 定义如下： 定义1 1 3 对出维欧氏空间皿。的两个非空紧子集a ，b ，它们的h a u s d o r f f 距离为 d h ( a ，b ) = m a x s u pd ( ，b ) ，s u pd ( z ， ) ) 2 第1 章绪论 其中d ( z ，且) 2 ：。n a f 忙一岫- 对于集值随机变量序列，我们给出它独立性的定义： 定义1 1 4 集值随机变量序列 r ：n ) 称为独立的，如果 4 矗：n ) 是独立的，其中4 凡= 口t f 一1 ) ：“b ( k ( r 4 ) ) ，b ( k ( 耙) ) 为k ( 皿4 ) 关于 h a u s d o r f f 距离妇的b o r e l 域 在某些随机变量序列的收敛性的研究中，h a u s d o r f f 距离太强了，例如在 集值鞅的研究中，即使 矗，矗：n ) 是由某一可积集值随机变量x 生成 的鞅，即蜀= e x i ：f 。 ，亦不能得证 ) 依h a u s d o r f f 距离收敛于x ( 参见 【3 1 】) 为此有必要讨论较弱一点的收敛性，本文讨论的集值随机变量的d p 距 离就是比妇弱但非常有用的距离 1 2二阶矩过程、平稳过程和随机分析 ( 1 ) 实值随机过程的相关理论简介 随机过程已广泛应用于许多领域中，如物理、生物、社会科学( 管理、经 济) 以及工程科学技术中，并且在这些领域中显示出十分重要的作用研究随 机过程有两种常见的途径一条途径侧重于研究概率结构，如对马尔科夫过程 的研究另一条途径则侧重于统计性质的研究，如研究随机过程的相关函数、 二阶矩、平稳过程等本文就是从后一种途径进行研究的 定义1 2 1 设有随机过程 x ( t ) ，t t ) ，若对每个t t ，x ( t ) 的均值 和方差都存在，则称x ( t ) 为二阶矩过程 定义1 2 2 设有随机过程仁( t ) ，t t ) ，对t l ，t 2 t ，若e x ( t 1 ) x ( t 2 ) 存在，则称其为该随机过程的( 自) 相关函数，记作r ( t ，t z ) 定义1 2 3 设有一个二阶矩随机过程 x ( t ) ，丁) ，它的均值为常数， 相关函数仅是时间长度r = t 。一t ，的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义 北京工业大学理学硕士学位论文 平稳随机过程 连续性、导数和积分的基础是极限的概念，在随机分析中也是一样为了 研究二阶矩过程的连续性、导数和积分，也必须定义随机变量序列的极限随 机变量序列的极限有许多种定义的方法，本文中采用均方极限的概念，因此后 面的讨论实际上是研究二阶矩过程在均方意义下的随机分析 定义1 2 4 设有随机变量序列 ，n = 1 ，2 ，) 二阶矩存在，即e 1 1 2 o 。，n = 1 ，2 ，；又设有随机变量x ，它的二阶矩存在，即e i x l 2 o 。如果 熙e 【| 一x 1 2 1 _ 0 ， 则称序列 j o ) 均方收敛于x ，或序列 五z 的均方极限为x ，记作0 骢墨= x 定理1 2 5 ( 参见【4 7 】) 设二阶矩存在的随机变量序列 ，n = 1 ，2 ，) 及 二阶矩随机变量x ，且l i m 墨产x ，则有 墨恐e x n = e 【x 】， 撬驯1 2 - e i x 2 ， 即极限和取均值可以交换次序，但先取极限指的是取均方极限 定理1 2 6 ( 参见 4 7 1 ) 设有随机变量序列 矗，n = 1 ，2 ，) ， k ，n = 1 ，2 ，) 和随机变量x ，y ，且e i x 。1 2 。，e l k l 2 o 。，e l x l 2 o 。， e i y l 2 o o ，t i m = x ，l i r a = y ，a ，b 为任意常数，则 l i r a ( a x n + b k ) = a x + b f 定理1 2 7 ( 参见 4 7 ) 均方极限是唯一的，即设 墨。，n = 1 ，2 ，) 是具有二 阶矩的随机变量序列，x ，y 是两个具有二阶矩的随机变量，且l i r ax n = x ， l i r a 碥= y ，则有x = y 第1 章绪论 如果已知二阶矩的随机变量序列 j ，n ，n = 1 ，2 ，) ，设想判断该序列是 否均方收敛由于并不知道x 是否存在，即使存在也不知道x 为何，因此直 接利用均方收敛的定义引一x 1 2 0 来判定该序列t j 0 ) 收敛与否是困难 的下面介绍一个常用的判定准则： 定理1 2 8 ( 参见1 4 7 】) 柯西准则 设 ，n = 1 ，2 ，) 是随机变量序列，且e i 墨。1 2 o o ，则 ) 均方收 敛于x ( 即l i r a 矗= x ) 的充要条件是l i me l j 一墨。1 2 = 0 定义1 2 9 设有二阶矩过程 x ( t ) ) ，在每一个t 点，一。 t o o ，有 h l i 。m o e i x ( t + h ) 一x ( t ) 1 2 = 0 即x ( t ) = 溉x 0 + ) ，则称t x ( t ) ) 在任意一个点t 是均方意义下连续的， 或称 x ( t ) ) 是均方意义下连续的随机过程，或称该二阶矩过程具有均方连续 性 定理1 2 1 0 ( 参见 4 7 ) 均方连续准则 设有二阶矩过程 x ( t ) ，t t ) ，r ( s ，t ) 为其自相关函数，则 x ( t ) ) 在 t = t o t 上均方连续的充要条件是它的自相关函数冗( s ，t ) 在( t o ，t o ) ( t ，t ) 处连续 上面研究了适用于一般的二阶矩过程如果二阶矩过程是宽平稳随机过 程，则有如下的定理： 定理1 2 1 1 ( 参见【4 7 ) 设 x ( t ) ，一0 3 t o o ) 是宽平稳随机过程，则以下 的各条件是等价的； ( 1 ) x ( t ) ) 均方连续； ( 2 ) x ( t ) ) 在t = 0 点均方连续； ( 3 ) 自相关函数r ( r ) 在一。 r 。o 上连续； ( 4 ) 自相关函数r ( r ) 在r = 0 处连续； 北京工业大学理学硕士学位论文 定义1 2 1 2 设有随机过程忸( t ) ，t t ) 和随机过程弘( t ) ，t t ) ，当 h 一0 时，x ( t o + a ) - x ( 2 0 ) 均方收敛于y ( t o ) ，其中t o t ，t o + h t ，则用 x ( t o ) = y ( t o ) 表示之，并称y ( t o ) 为过程x ( t ) 在t = t o 处的均方导数如果 在r 内对v 有 1 1 黑e i 坐螋一y ( t ) 1 2 ：o(1圳h _ + 0j、l 则称y ( t ) = x 他) = ! 兰d 盟t 为随机过程x ( t ) 在均方意义下的导数 但是，( 1 2 1 ) 式中的y ( t ) 一般并没有给出，因此往往不能用( 1 2 1 ) 式来 判断x ( t ) 是否可导，于是采取柯西准则来定义： 如果 l 阻e i 鲨竺) 二型一x ( t + k ) 2：o。-x(t)i h ，七_ oih。 i 则称x ( t ) 在均方意义下可导记 l i m _ 0茎生型二兰塑 h= x 心) = 1 d x r ( t ) 则它为x ( t ) 在t 处的均方导数 下面给出均方导数的判定准则： 定理1 2 1 3 ( 参见 4 7 】) 设有二阶矩过程x ( t ) ，它的自相关函数为r ( t ，s ) ， 则x ( t ) 在t = 如t 处具有均方导数的充要条件为! 暮掣在( t o ，t o ) 附近存在 且在，如) 处连续 均方导数有下列性质： ( 1 ) 设x ( t ) ，y ( t ) 是两个均方可导的随机过程，a ，b 是常数，则n x ( t ) + 6 y ( ) 也均方可导，且 五d 雌( t ) 舶y ( ) 】= 。1 d x 广( t ) + b d y 础( t ) ( 2 ) x 俅) 的数学期望为 e x m ) 】= e 牌坐掣 第1 章绪论 = 牌e 坐掣 ：l i m e x ( t + h 。) - e x ( 一t ) ：丝坚坳 出 上式说明，如果x ( t ) 为均方可导，则x 他) 的数学期望为x ( t ) 数学期望的导 数 ( 2 ) 集值随机过程的发展简介 近年来，集值随机变量和集值随机过程得到了广大学者的关注与大量研 究，并且在积分几何、数理经济、随机优化理论等学科中找到了有趣而深刻的 应用集值测度【1 1 、随机集强大数定律【3 1 和集值鞅序列【3 1 】是集值随机过程 理论中较为成熟的三个分支在集值随机过程的研究中，由于定义集值随机变 量之差的困难性，对集值随机过程的微分理论的研究目前涉及甚少我们有必 要对集值随机过程在这一方面的理论做一些研究 1 3 线性回归模型 首先我( t i l l 入下面个模型： y = x 卢+ e ，e ( e ) = 0 ，c o v ( e ) = ( 1 3 1 ) 其中y 是一个n 1 维的观察值向量，。x 是一个n p 的设计矩阵，卢是一 个p 1 维未知的参数向量，e 是一个n 1 维的随机误差向量我们称模型 ( 1 3 1 ) 为统计线性模型或线性模型 回归，特别是线性回归，是数理统计中应用最广泛的模型之一，对所研究 的系统利用观察到的数据去拟合系统的真实模型，以解决系统中变量之间的 关系，探索变化趋势并对变量值进行预测等等例如，在现实的世界中，我们 经常要研究两个变量y 和x 之间的关系例如，人的身高( y ) 和体重( x ) 的 北京工业大学理学硕士学位论文 关系，消费产品的销售量( y ) 和销售价格( x ) 的关系等等 因此，我们引入下面的线性回归模型： y = 岛+ 角x 1 + + 岛一1 玛一1 + e 假定从上述模型中观察到了n 个随机样本( y i ，x i l ，。t ，1 ) ，i = 1 ，n ，且 满足： y i = 风+ 岛甄i + 。十岛一l x i ，p l + e ，i = 1 ， 记 y = 睁= ( ( ：) = ( 沙= 假设e i ，i = 1 ，n 是互不相关的，且均值是0 ，协方差是一2 ，则我们获得下 面的线性回归模型： y = x z + e ，e ( e ) = 0 ，c o v ( e ) = a 2 i 其中岛是常数项，历= ( 卢一，岛一) 7 是回归系数 在线性回归模型中，因为设计矩阵x 是列满秩的( 即r m l k ( x ) = p ) ，并 且x x 在正则方程中 x l x 8 = x y 是可逆的矩阵，所以卢的最小二乘估计为 声= ( x 7 x ) _ 1 x 7 y 8 第1 章绪论 近二十年来，模糊线性回归理论得到了迅速地发展和推广8 0 年代，日 本的田中英夫( h t a n a k a ) 等人提出了模糊线性回归的概念和方法( 参见【4 0 卜 【4 2 】) 但到目前为止，对于回归系数是集值的线性回归模型的讨论却很少而 引入集值随机变量的概念对于研究线性统计推断、极限理论等都是非常方便 的实际上，集值随机变量的许多结论都是实值随机变量结论的推广所以， 不论是从理论的角度，还是从应用的需要，我们都有必要对集值的线性回归模 型做进一步的研究 1 4本文研究的问题及论文结构 本篇文章主要由五章组成，其中第一章是绪论部分，属于准备工作，介绍 一下有关集值随机变量方面的知识，第二章到第五章是本文的主要结果部分 第二章给出集值随机变量空间上的岛距离，证明其完备性，并给出集值随机 变量关于d p 距离收敛的等价问题；第三章利用d ，距离，给出了集值随机变 量的方差、协方差与相关系数的定义，并证明了它们的性质；第四章研究的是 集值随机过程的线性理论，即讨论了集值随机过程在均方意义下的连续性、 可积性和可微性；第五章介绍了含集值随机数据的回归问题的统计推断 在这篇文章中，我们首先引入了一个关键性的概念集值随机变量空 间上的d 。距离借助于这一工具，我们对集值随机变量方面的理论做了一些 必要的研究 首先，我们给出了定理2 , 2 2 和2 2 3 ，它们对新定义的距离空间( ，d ，) 的完备性进行了讨论在此基础之上，我们得出了一个非常有用的引理2 24 一方面，它给出了二元函数f ( x ，y ) = e bs ( z ，x ) - s ( 。，y ) d x 】连续性的结果 另一方面，它给出了( 2 ，d z ) 上集值随机变量序列是柯西列的充要条件这一 引理在后面的证明中多次用到 其次，利用d 。距离，我们给出了集值随机变量的方差、协方差和相关系 北京工业大学理学硕士学位论文 数的概念这一思路最大的优点是，它避开了在j ( 女。( r ) 上定义减法这一难 题将r d 值随机变量的结果作进一步推广，很容易得到定理3 1 2 和3 2 2 对于这一部分的简单应用，我们给出了例3 3 2 接着，再看d 。距离在集值随机过程方面的应用在第四章中，我们引进 了集值随机过程的相关函数，应用它给出了集值随机过程在均方标准下的连 续、可积和可微方面的结果实质上，这些都是实值随机过程结论的一些推 广 最后，对于回归系数是集值的线性回归模型，我们也作了一些初步的探 讨在给出了一般模型( 5 1 3 ) 后，我们重点讨论了一维的情形在对未知参 数b 作估计时，不幸的是，我们得不到它的b l u e 估计，而仅在模型( 5 1 3 ) 中未知参数的个数为1 时，b l u e 估计才存在同时，我们也给出了参数b 的最小二乘估计的定义，并且在定理5 3 3 中讨论了如何求最小二乘估计的问 题转化为二次最优化问题 第2 章集值随机变量空间上的d p 距离 第2 章集值随机变量空间上的珥距离 2 1 ( k k 。( 妊) ，d p ) 的完备、可分性 p h i ld i a m o n d 在【1 4 中给出了如下的南距离定义，对v a ，b k k ( r d ) ， 定义 d p ( a , b ) = z i s ，且) 一s ，b ) 1 d z 】1 肛，1 兰p 。 这里s ( ，a ) 是a 的支撑函数，即对于v x s s ( z ，a ) = s u p ( x ，y ) 记i i a i i d ，= a l p ( 0 ，a ) 定理2 1 1 ( k k 。( ) ，d p ) 是一完备、可分的度量空间，这里1 p 0 和f k ( r d ) ，则 一定存在k 的一e - n e t e = 扛1 ，x 2 ，钆) 又因为d 在彬中稠密，所以可 以找到琏= 9 1 ，y 2 ，引- cd ，使得f | z k 一鲰a e ，k = 1 ，2 ，z 显然有 瑶d 剩下的我们只需证d p ( 致，k ) 2 e 由d p 韵定义，知 d d k , ，k ) = z z ，玫) 一s ( z ，k ) 1 9 d x 1 p z 略( 琏，k ) d z 1 , = d h ( 琏，k ) 根据文献 3 1 中定理1 1 3 的证明，得d h ( k e ，k ) 2 e ，从而有南( 琏，) d h ( k 。，k ) 2 ，故( k k ( 皿4 ) ，南) 是可分的口 注：由步骤一( 参见文献 1 4 ) 离，即i ) d p ( a ，b ) 0 ，v a ，b k ( r 8 ) ； 我们可以看出南是k k ( 豫。) 上的拟距 i i ) 当a = b 时，有如( a ，b ) = 0 ( 但不 北京工业大学理学硕士学位论文 一定存在相反的结论) ；i i i ) v a ，b ，c k k ( r d ) ，南( 4 ，b ) d p ( a ，c ) + d p ( e ，b ) 由步骤二可知，k k ( r 4 ) 关于d p 是可分的 2 2 d p 距离及其主要结论 为了后面叙述方便，我们记u l a ，k ( r d ) 】( 或“【n ，k k 。( r d ) 】) 为取值为k j ：( r 8 ) ( 或 k k 。( r 8 ) ) 的随机变量的全体 对于两个集值随机变量日，马，我们定义它们的d 。距离： 岛( f 1 ，f 2 ) = 陋( 晖( f l ) ，f 2 ) ) ) 1 p 例2 2 1 取d = l ，日p ) = 扣) ，9 1 ) 】，其中 ，9 i 是可积的随机变量， i = 1 ，2 由e p 的定义，有 b ( f 1 ，f 2 ) = e ( i f 2 ( w ) 一，1 ( u ) 严+ 1 9 2 ( w ) 一9 l ( u ) p ) 1 p 又记c p = f “ q ，k k 。( r 4 ) ：e h f h 乙 n 时，有d p ( ) | f - m ，x ) e 和 d p ( 矗，x ) e ，从而有d ( 。，) 兰d p ( ，硼+ 珥( x ，) 0 ，3 n ( s ) ，当n ( e ) 时，有e 【晖( ( u ) ，x ( “，) ) 】 e 由x 知， 存在6 ( e ) ，当p ( a ) 6 ( e ) 时，有厶晖( u ) ，t o ) 咖 故只要u ( a ) 0 ，只要 u ( a ) 6 1 ( e ) ，就有 刚s u p 上晖( 凰( 毗柳) 中) s - 取叩( e ) = r a i n i f ( e ) ，6 i ( e ) ) ，则只要卢( a ) q ( ) ，就有 s u 。p 小驯如) 2 c v e 托 即删墨幛。，n 1 ) 是一致绝对连续的 又由于e 晖( ( u ) ，x ( u ) ) 】一0 ( d p ( ，x ) 一0 ) ，故3 n ，当n n 时， 有f 懈( 五；( u ) ，( u ) ) j 1 在( 2 2 1 ) 式中取a = n ，得 s u p e 娣( ) ， o ) ) 】c d l + e ( 晖( x ( u ) ， o ) ) ) + s u pe ( 晖( 五。) ，x p ) ) ) o o n n 0 ，| 6 ( ) 0 ，只要v ( a ) d ( ) ，va a ，有 8 u p a 晖( 矗( “) ， o ) 审 5 ，a 晖僻( “) ， o ”劫 ( 2 2 2 ) nj j 由( ，x ) 二0 ，存在，当n n 时，有 卢( 晖( 矗，x ) s ) 0 ，选取某6 = r a i n 1 ，e ( 1 + 玩( 硒，口) + d 2 ( 殇，口) ) 一1 ) ，当 d 2 ( x ，x o ) 6 ，d 2 m v o ) 6 时，因为 d 2 ( y 目) sd 2 ( f ) + d 2 ( y o ，8 ) s6 + d 2 ( y o ，口) 墨1 + d 2 ( y 。，e ) ， 所以有 h z 出，n 啦，y ) d 司一e 略蛹加池k ) 如 | s l e 上s ( 。，硼s ( z ，”出 一e 上s ( z ，弱) s ( z ，y ) 出1 i + f e 上s ( z ，蜀) 叫。，y ) a 司一? 上如，x 0 ) q z ，砀) 出 d 2 ( x ，x o ) d 2 ( r 口) + d 2 ( 一y o ) 。d 2 ( x o ，0 ) s ( i i ) ( 必要性) 因为l i m 。，。d 2 ( 五。五。) = o ，由定理2 2 2 知，存在x c 2 ，使得 i r n n 。o d 2 ( 矗，x ) = 0 又由( i ) 式，得 。7 1 7 i 1 霉。e j ( s ( z ，墨小s ( 。，x m ) 血 2e ( j 冬( s ( 甄x ) ) 2 出j n ，_ o o l s 。 。) 。 第2 章集值随机变量空n a = 的d p 距离 有 ( 充分令l i r a 叩一o o e f ss ( x ，) s ( 。，如) 如】= o ，则当n ，m o o 时 d 2 ( x 。，x 。) = e 吩( z 叫。，驯2 如 = 叫上( s ( z ，) ) 2 出 一。f 上s ( z ，) 一s ( z ，) 出 + e 上( s ( z ，) ) 2 a z _ a 一2 a + o = 0 因此 矗，n 1 ) 是一柯西列口 2 3 本章小结 本章首先引进了一个比h a u s d o r f f 距离弱的距离如距离，并讨论了 ( k k 。( r 8 ) ，彩) 距离空间的完备性与可分性接着借助于支撑函数，我们引进了 集值随机变量空间上的d p 距离的概念，研究了集值随机变量空间关于岛距 离的完备性及收敛的等价命题最后给出了一重要的引理2 2 4 ，它在后面的 证明中将会多次用到 北京工业大学理学硕士学位论文 第3 章集值随机变量舫差、协方差 一般随机变量的期望、方差以及协方差的概念可以推广到集值随机变量 上去a u m a n n 4 】在1 9 6 5 年给出了集值随机变量f 的期望，关于集值随机变 量的期望的性质已有讨论( 参见文献【3 1 】) 但是由于k 。( r 。) 关于定义在其上 的加法与数乘不是线性空间，因此定义其减法很困难( 参见文献【3 1 】) 故到现 在为止，很少文献讨论集值随机变量的方差与协方差，但众所周知，它们不仅 在概率而且在统计中都是最基本的概念之一，在此我们可以利用d 。距离来讨 论其定义，这是因为集合的支撑函数具有可减性 3 1 方差 定义3 1 1 设f ：n k k c ( r o ) 是一集值随机变量，若 【d 2 ( f 1e ( f ) ) 2 = el ( s ，f ) ) 一s 忙，e ( f ) ) ) 2 d zi l ，o j 萍在，则称f d 2 ( f , e ( f ) ) 】2 为f 的方差，记作v a r ( f ) 定理3 1 2 方差具有如下的一些性质： ( i ) v a r ( c ) = 0 ，cc 础为一紧凸集合； ( i i ) v a r ( a f ) = a 2 v a r ( f ) ，a 为大于零的常数； ( i i i ) v 缸( f l + f 2 ) = v a r ( s 1 ) + 2 c o y ( f 1 ，毋) + v a r ( f 2 ) ；( 其中c o v ( r l ，f 2 ) 的定义参见3 2 节1 ( i v ) ( 切比雪夫不等式) p ( 南( f ) e ( f ) ) ) 茎v 打( f ) e 2 证明( i ) v a r ( c ) = e 瞻( s ( z ，c ) 一s ( z ，e ( c ) ) ) 2 d x _ 0 ( i i ) 由支撑函数与期望的性质知 v a 巾f ) = e ( s ( 叩即) ) - s ( 啦( n 驯) 2 如 =血2 el ( s ( 。f ( u ) ) 一s ( z ，e ( f ) ) ) 2 d zl 茹a 2 v a r ( f ) lj 5 j 1 8 第3 章集值随机变量的方差、协方差 ( i i i ) 由支撑函数的性质与方差的定义知 = e b ( s ( x ，( f 1 + f 2 ) ( u ) ) 一s ( 。，e ( f i + 马) ) ) 2 如】 = e b ( ( s ( z ，f 1 ( u ) ) 一s ( 文e ( f 1 ) ) ) + ( s ( z ，马( u ) ) 一s ( z ，e ( 马) ) ) ) 2 出 = v a r ( f 1 ) + v a r ( f 2 ) + 2 e i s ( s ( z ，f 1 0 ) ) 一s ( x ，e ( f 1 ) ) ) ( s ( 。，f 2 ) ) 一s ( 。，e ( f 2 ) ) ) 如 = w r ( f 1 ) + v a t ( 毋) + 2 c o y ( f 1 ，f 2 ) ( i v ) 由u ( i x i e ) se i x l 2 e 2 知 肛( z ( s ( 妒( 删叫蚰( f ) ) ) 2 d x 叫2 三s ) e z ( s ( 妒( 伽叫邶( f ) ) ) 2 如 s 2 即p ( d 2 ( f 】e ( f ) ) ) 冬v 缸( f ) e 2 口 3 2 协方差、相关系数 定义3 2 1 设f l ，马是任意两个集值随机变量，若 e ( s ( z ，毋( u ) ) 一s ( z ，e ( f 1 ) ) ) ( s ( z ，易( u ) ) 一s ( z ，e ( f 2 ) ) ) d 。 o j s j 存在，则称其值为f l 和毋的协方差，记作c o v ( f 1 ，f 2 ) 类似于实值随机变 量，毋和尼的相关系数定义为 当v a r ( f 1 ) ( f 2 ) 咐，p = 丽c 丽o y ( 丽f 1 , f 2 ) 定理3 2 2 相关系数具有如下性质： ( i ) l p l 1 ； ( i i ) 若日，毋相互独立，则p = 0 ； ( i i i ) p ( f 1 ，毋) = 】的充要条件是局+ e ( 日) = e ( f 2 ) + a f i ，“s ( p ) ， 北京工业大学理学硕士学位论文 p ( f 1 ，f 2 ) = 一i 的充要条件是f 2 + a f l = e ( f 2 ) + a e ( f 1 ) ，n ( p ) ，其中 a = 爵礓刀丽 证明( i ) 对任意的t r 1 ，恒有 e i 上( ( 8 ( 。，f 1 ( u ) ) 一s ( 。，f ( f 1 ) ) 一t ( s ( z ，f 2 ( u ) ) 一s ( z ，e ( f 2 ) ) ) ) 2 f l x o ， 即 v 豇( 乃) 一2 t c o v ( f 1 ，毋) + t 2 w r ( f 2 ) 20 ，vt r 1 故有= 4 c o v ( n ，见) 】2 4 v a r ( f 1 ) v 缸( f 2 ) 0 ，从而有 i c o v ( f 1 ，毋) ls 以葡瓦厂可虱可，即：墨1 ( i i ) 因为f 1 ，f 2 相互独立，由定义知4 f 1 知a f 2 独立根据文献 3 1 】中 的推论1 2 8 ，知s ( z ，e l ( ) ) 4 n ，s ( z ，尼( ) ) _ 恐，故s ( 。，f 1 ( ) ) 和s ( z ，f 2 ( ) ) 相互独立 由f u b i n i 定理及s ( 。，f 1 ( 一) ) 和s ( z ，f 2 ( ) ) 相互独立，知 c o y ( f 1 ，昆) = e 以( s ( z ，f l ( u ) ) s ( z ，e ( f 1 ) ) ) ( s ( z ，玛( u ) ) 一s ( z ，e ( 乃) ) ) 如 2 丘e l ( 3 ( 。，日) ) 一s ( z ，e ( 日) ) ) ( s ( z ，玛) ) 一s ( 。，刀( f 2 ) ) ) 如 2 以e k ( z ，q p ) ) 一s ( 毛f ( 毋) ) j 层扣( 岛p ) ) 一s ( z ，曰( 尼) ) j 如 =n 即p = 0 ( i i i ) 对任意t r 1 ，式子 ，( t ) = v 打( 乃) 一2 t c o v ( f a ，f 2 ) + t 2 v ”( f 1 ) 一j d ；( f 2 + t e ( 日) ，e ( 局) + t f l )当t o ，( 3 2 1 ) id ；