（基础数学专业论文）cpn中3维常曲率cr极小子流形的刚性.pdf

摘要 摘要 本文证明了复射影空间c p “中具有常数诱导曲率c 的3 维c r 型极小子流形 的刚性定理，并且得到c 一1 ( m 2 1 ) ，其中m 是某个大于等于2 的正整数，在没 有紧致性条件和曲率c 0 的前提条件下，将文献【9 】中的结论推广到更一般的情 况，并且进一步刻画了这种极小子流形的性质，即得到曲率c 的表达式 c = 1 沏2 1 ) ，并且有在至多相差一个c p 4 中的全纯等距情况下，m 是缈( s ) ) 的 一个开集，其中砂是例1 2 中定义的标准浸入。 关键词：复射影空间，c r 型极小子流形，刚性定理 i i a b s t r a c t a b s t r a c t i t sp r o v e dt h a ti fmi sam i n i m a lc r - s u b m a n i f o l do fd i m e n s i o n3i nt h e c o m p l e xp r o j e c t i v es p a c ec p ”a n dt h ei n d u c e dm e t r i co fmh a sc o n s t a n ts e c t i o n a l c u r v a t u r e c ，t h e nc = 1 ( m 2 - 1 ) ，f o ra l li n t e g e r m 2 ，a n dm i sr i g i d ，w i t h o u tt h e c o n d i t i o no fc o m p a c t n e s sa n dc 0 ，w eg e n e r a l i z et h er i g i d i t yt h e o r e mi n 【9 】，a n dw c k n o wm o r ea b o u tm ，t h a ti s ，mi sa no p e np i e c eo ft h ei m a g e 妒( s 3 ) o ft h e s t a n d a r di m m e r s i o n 缈d e f i n e di ne x a m p l e 1 2 ，a tm o s tu pt oah o l o m o r p h i ci s o m e t r y o fc p “ k e yw o r d s ：c o m p l e xp r o j e c t i v es p a c e ，m i n i m a lc r s u b m a n i f o l d ，r i g i d i t yt h e o r e m i i i 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得直昌太堂或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名( 手写 诫签字吼 c 、 杪年 月5 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解南昌大学有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅本人授权直昌盔堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编本学位论文同时授权中 国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务 ( 保密的学位论文在 学位论文作者签名( 手写 签字日期： 毛 月百日 书) 导师签名( 手写) 辩嗍：吵“月0 日 1 引言 1 引言 极小子流形理论是微分几何中的一个重要的研究方向，内容非常丰富由于 与方程、拓扑以及物理联系紧密，一直受到数学家的充分关注对实空间型中极 小子流形的研究，特别是对球面中极小子流形的研究，在上个世纪7 0 8 0 年代是 微分几何中一个热门的研究课题 一般的极小子流形，研究起来非常困难通常对子流形加上一些拓扑条件或 几何条件 例如，1 9 6 7 年，e c a l a b i 在文【4 】中证明了球面s 甩中的常曲率的极小2 一球面 是刚性的，一定是b o r u v k a 球面，其曲率c 一2 m ( m + 1 ) ( m 是正整数) 去掉紧致性的拓扑条件，1 9 8 5 年，r lb r y a n t 在【3 】中对s 中的常曲率极 小曲面进行了完全分类，证明了当曲面的曲率c 0 时是刚性的 1 9 8 8 年，j b o l t o n 等人在文 2 1 q b 对复射影空间c p 玎中的极小2 球面进行了 研究文中证明若，：m c p ，i - 1 是全纯浸入，m 的诱导度量的g a u s s 曲率k 是常数，那么y ( m ) 是v e r o n e s e 全纯s 2 ( cc p - 1 ) 或其一部分，并且在 2 1r 和给 出了v e r o n e s e 球面清晰的表达式因为s 雄可以看成c p 的全实全测地子流形 r p 厅，【2 】将c a l a b i 的结果推广到了复射影空间c p 厅中的全纯2 一球面 利用b r y a n t 在 3 d p 所发展起来的方法，1 9 8 9 年，y o h n i t a 在 1 1 1 中对复空 间型中的常曲率极小曲面进行了研究，得到这种极小曲面的完全分类，其中下面 的定理是本文所要用到的 定理1 1i v o h n i t a ) 设m 是c p 中的极小曲面，若m 具有常数g a u s s 曲 率c 和常数k 4 h l e r 角秒，则有：( 1 ) c 0 ；( 2 ) 当c = 0 时，m 是全实子流形( 弱 l a g r a n g i a n 子流形) ，即0 = 万2 至今为止，人们对c p 开中的高维极小子流形的例子所知甚少，在【5 ，6 ，1 0 】 中给出了一些全纯子流形及l a g r a n g i a n 极小子流形的例子在文献【8 】中给出了 两个s 3 到c p 的极小浸入的例子，其中一个如下： 例1 2 ( 见【8 】) 给定一个整数m 乏2 设 k = ( m 一2 ) ( m + 1 ) ，z = ( 垅一1 ) ( 历d - 2 ) ， 其中t ( o ，万2 ) 令 c o s 2 f = 等， s i n 2f ；旦塑， 2 m 厂= 毫( ；) z ，一，g = 砉( ：) z ，w ，- j ；， 其中( z ，w ) s 3 = q ，w ) c 21 2 万+ w 万= q ， ，& ，；，丹是 c 七+ 2 “；e 量+ 1o c + 1 的自然基 定义妒；万。e o ：s 3 寸c 矿“+ 1 ，其中 e o = ( ( c o s t ) f ，( s i n t ) g ) ：s 3 一s 2 + 3c c “， 并且万：s 2 肘1 一c p ，l 是自然投影则缈是具有常数截面曲率c = 1 ( m 2 1 ) 的 c r 极小浸入( m 2 ) 如果浸入妒是完满的( f u l l ) ，则，l = 2 m z 一3 因为关于z ，w 的多项式厂和g 的次数都是偶数，可知矽( s 是c p “1 中的 一个嵌入的3 维实射影空间即) 加上紧致性条件，在文献【9 】中有下面的刚性定理，也就是说c p 开中具有常 数截面曲率c 0 的3 维紧致c r 子流形是刚性的 定理1 3 ( 9 1 9 1 ) 设驴：s 3 一c p 是具有常数截面曲率c 的c r 极小浸入 则在相差一个s 3 的等距和c p 中的一个全纯等距的情况下，浸入c p 与例1 2 定 义的标准浸入矽是叠合的 去掉紧致性和c 0 的条件，本文研究c p 一中的3 维c r 极小子流形我们 首先在2 中给出c p 厅中的3 维c r 子流形m 的基本公式然后在3 中，在m 是具有常数截面曲率c 的c r 极小子流形的条件下，证明了 定理1 4 设m 是c p 矗中3 维c r 极小子流形若m 的截面曲率是常数c ， n c 0 在此基础上，在4 中我们进一步得到了下面的定理 定理1 5 设m 是c f p 撑中3 维c r 极小子流形若m 的截面曲率是常数c ， 则c = 1 ( m 2 1 _ ) ，其中m 2 是整数在至多相差c p 行中的一个全纯等距的情 况下，m 是妒( s 3 ) 的一个开集，其中妒是例1 2 中定义的标准浸入 2 2c p 中3 维c 尺子流形的局部公式 2c p 中3 维c r 子流形的局部公式 因为这一节的讨论是局部的，可设m 是一个3 维连通r i e m a n n 流形，度量 是凼2 设妒：m c p 是等距浸入，其中驴是包含映射 子流形( 定义见【1 】) 则有正交直和分解 t m = k 圪， 其中k g = 1 ，2 ) 是刀m 的子丛，使得 假设mcc p 是c r 型 ( 2 1 ) j kc t 上m ， ，圪= v 2 ，( 2 2 ) 其中j 是c p 的复结构，z 上m 是m 上的法丛 设 墨，x 2 ，x 3 ) 是刀汀的一个局部正交标架，其中x 1 是k 的局部截面，并 且2 = x 3 ， q ，鸭) 是其对偶标架令g 和q 分别为c p 黠的度量和 k 曲l e r 形式，则有 妒+ g = q0q + w eow 2 + 鸭oc 0 3 ， 缈+ q 一一c 0 2oc 0 3 + c 0 3ow 2 = 一刃2ao j 3 ( 2 3 ) 取平凡丛g 舯1 一mxc 1 的局部酉标架 ，e 1 , - - - , ) ，使得缈；万。e o ：一 】设 d e o i p o e o + 吼， ( f = j )( 2 4 ) 此处约定指标的取值范围为a ，b = 1 ，2 ，n ，i ，j ，k = l2 ，3 设吼= i a a i w i 因为彳吼 瓦= 缈+ g + i c p + q ，从而有 a a i a a ，= - ij 旷 ( 2 5 ) 艺 j 2 6 ji j q 其中，驴= ( j x f ，x ，) ( 参见1 8 】) 上面的( 2 4 ) 可改写为 d e 。= i p 。+ 啦彰， ( 2 6 ) 其中彰= a a a i e a 由( 2 3 ) 和( 2 5 ) 可得 le ：1 2 = le ；1 2 = f 1 2 = 1 ，( ，乏) = ( p ：，) 一0 ，( e 2 7 ，) 一一i 从而由i e ；+ i 1 2 = o 得到p ；= i e ： 3 2c p 中3 维c 尺子流形的局部公式 上面的讨论说明可以取肘1 的局部酉标架 ，e a 和t m 的局部正交标架 q ，t 0 2 ，鸭) ，其中q 是k 的截面，使得驴= 万。e o ，并且 d e o = z 风+ q q4 - ( d e 2 = 一q + f m + q 2 ”；钆 一一砜一瓦2 q + f 粥+ 狰舻畸一，z 2 乃 一瓦q 一瓦吃+ ； 其中缈= + i 鸭 令 i f ，j = 1 ，2 ，3 ) 是相对于标架【q ) 的联络形式，使得 或等价地，使得 上式可以改写为 v 心一一o 哆， 她一一 j ( 2 8 ) d q 一三何a 6 0 + t ya 回， d ；仃 q + f ， ( 2 9 ) 其中仃= q 2 + f q 3 以及 取( 2 7 ) 的外微分可以得到 i d p o = - - t oa 历， d q i ( p o p 1 ) aq + 0 1 2a ， d t o = i ( p o p 2 ) a 缈一q 2a 啦， q a o l + a 吼彳= 0 将( 2 9 ) 代入( 2 1 0 ) ，注意到q ，哆3 ，p o ，p l ，p 2 是实值1 一形式，我们有 ( p o - p x ) q = 三( q 2 历一瓦2 人) ， + 岛2 ) a 历+ ( 万+ 0 1 2 ) a = 0 ， ( p o p 2 一3 ) a1 0 = ( 仃+ q 2 ) aq 4 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 1 2 彳 比一 如 如 2c p ，i 中3 维c r 子流形的局部公式 因此，分别由( 2 1 2 ) 中的第二式，第三式，得： ( 仃+ 0 1 2 ) ( x 。) 一0 ，( + q 2 ) ( z ) = 0 ， 其中 和 z i ( x - ix 3 ) ， 乞= 扛+ i x ，) 由( 2 1 2 ) 第2 式和第3 式分别得到 + 0 1 2 = 九，九= 九， i ( p o p 2 一玩k ) = 一九q + h o c o 由于上式左边是纯虚的，所以九= h o = 0 于是有 = 一0 1 2 ，反k = p o p 2 5 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 3 定理1 4 的证明 3 定理1 4 的证明 定理1 4 设m 是c p 一中3 维c r 极小子流形若m 的截面曲率是常数c ， 则c 0 证明假设m 是c p ，l 中具有常数截面曲率c 的极小子流形由m 的结构 方程可知 d = 一a + c t o ；a 哆 ( 3 1 ) 因此 ； d 仃= f a 口+ c q ac o ， d 哆3 = 寺( 盯ao r + c o ) a 回 ( 3 2 ) 通过取( 2 7 ) 的外微分得到 f d p o = 一a 历， 以n 2 一b 2 瓦2 一荟钆 瓦， 以鲈缈人历岷人瓦2 一荟吼爿 l 矗q 22 一q 州( ”p 2 ) b 2 一荟q 彳 死， d 钆= f 1 0 1a 钆+ q 2 0 2 a + 荟钆 ( 彳23 ) 由假设，肘是极小的，所以 t r v a - i p o q + i p loq q 2 t o = 0 ， t r q oq + 0 2 4o 一0 ，( a = 3 ，1 ) 这两个公式的推导详见文献【8 】由( 2 1 1 ) n - - 得 o l 一( z ) = 吼4 ( z ) = 0 ，o l 爿( z ) = 色一( x 。) 因此由( 3 7 ) 得钆( x 。) = 0 故可设 钆= i , a ( , 0 ，吼4 = 九q + t a r o ，( 彳23 ) 利用( 3 2 ) 和( 3 4 ) ，由( 2 1 4 ) 得到 6 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 3 定理1 4 的证明 z ( p o - p t ， 2 ( 1 一c 一薹j 九1 2 ) t o z t o + ( 荟九瓦) 历。缈 设 i ( p o p 1 ) = 2 a t o l + 一互历， 其中a 是实函数 由( 2 8 ) 可知v q ；一昙( 万。缈+ 。回再由( 2 1 4 ) ，( 3 6 ) 可化为 t r 一z c 岛一岛，。q + 三c 歹。国一。司) = 。 将( 3 1 0 ) 代入上式和( 2 1 2 ) 的第- - 个等式，可设 仃一一2 乃确一i a c o + ，历 于是由( 3 9 ) ，( 3 1 0 ) ，( 3 1 1 ) 可以得至i j p m ，薹搋2 比v - i 瓴 l 荟f 九f 2 + 2 ( a 2 + l 1 2 ) = 1 一c 正如文【9 】中一样，若在- - g g p e m 处有万2 = 觑 ，0 ， _ 九死= y ( a 2 + 坩) 万o ( 3 1 0 ) ( 3 6 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 则在p 附近有 因而局部地有罗一九0 通过取一新标架 ，q ，一( 4 九幺) i 爿九i ，e ：，) ， 不妨假设在( 3 8 ) 0 九0 ，而= 一九一0 对等式b 3 一九两边外微分， 利用( 3 5 ) 可得 【d 屯+ f 如( 哆3 一p 1 + p 3 ) + t 3 仃】a 甜 = 一2 如盯aq = 2 如( i ；l t o 一俪) aq ， 其中p 3 = 一f 岛3 比较上式两边历aq 项的系数，可得1 ，一0 ，与a v 0 矛盾 故有暑0 ，a 1 ，暑0 如果 ，0 ，则a = 0 由( 3 1 1 ) 式得仃= 1 ，历，从而由( 3 2 ) 式， ( d 1 ，一2 i v c o ：z 3 ) a 历= ( c + i ，1 2 ) qa ( 3 1 3 ) 7 3 定理1 4 的证明 比较上式两边o ha 的系数，得c + i y1 2 = 0 因此存在实值函数t 使得 1 ，= 一c 矿于是上式给出 0 = i v ( a t 一2 0 ) z 3 ) a 历 由此得到2 = d t ，与( 3 2 ) n 兰g2 式相比较，得到矛盾所以只有，= 0 现在( 3 1 0 ) 并1 1 ( 3 1 1 ) 式成为 p o p 1 = 2 ；t o 吨，= 一i z t a 0 1 4 ) 利用( 3 2 ) 和( 2 9 ) ，对等式仃= - i a , o ) 取外微分可得 d x + f ( a 2 一c ) 】a 缈= 0 于是有 c ；a 2 0 ， 因为a 是实的 如果c 一0 ，则由( 3 1 4 ) 得仃= 0 再由( 2 9 ) 得d r 0 1 = 0 这说明分布是完 全可积的由( 2 2 ) 可知的积分流形中的每一片m 1 在c p 厅中都是全纯的由 ( 3 2 ) 可知m l 是平坦的这与定理1 1 矛盾，n n c 0 口 8 4 定理1 5 的证明 4 定理1 5 的证明 现在我们已经证明了a 2 = c 0 不失一般性，可设允= 石，否则用一皑 取代q 由( 2 9 ) ，o r = q 2 + f q 3 i n i 七( 3 1 4 ) 说明 q 2 = 4 7 0 2 3 ，鸭l = 石如( 4 1 ) 另一方面，由( 3 1 4 ) ，( 3 2 ) 和( 2 9 ) 得 一 ， o 口婢1 = zc a 国= c d 皑 因此有局部定义的实值函数f 使得= , f c 0 2 1 + d t 通过重新选取巧的局部标 架 哆，鸭) ，可设 = , f & 0 1 ( 4 2 ) ( 2 9 ) 式可写成 d q ；2 x f c - 0 2 2a 鸭= i x 7 0 2a 历，d 0 2 2 x 云0 2 1a 缈( 4 3 ) 因此 【x ，z 】= 一复一z ，【x ，三】= 复弦，【z ，丢】= 一i , t x ，( 4 4 ) 其中x = x 1 我们可以假设m 是s 3 一 0 ，w ) c 2l iz1 2 + lw1 2 1 ) 的开子集，_ rm 是 单连通的，具有常数截面曲率c ，否则可用m 的万有覆盖空间取代m 同时， 可将s 3 等同于李群 s u c 2 ，2 ( ：；) l q ，w ，s 3 根据【9 】文中的命题2 2 ，( 4 3 ) 表明局部余标架 q ，皑) 是左不变的，因此 可延拓为整个m 上的余标架同样， 墨，x 2 ，墨) 也可延拓为整个m 上的标 架 我们先来证明下面的引理 引理4 1 设厂：m c 玎是一个c 一一值函数若 i 厂i = b 0 ，z f = 0 ，x f = f 口乞7 ( 4 5 ) 其中露，易只则口= k 是非负整数且炙n 一1 并且函数f 被( 3 1 9 ) 及初始值 【z 7 f ( p o ) l _ = 0 , 1 ，尼) 唯一决定，其中是m 上的一个固定点换句话说， 若g 是另一个满足( 3 1 9 ) 的函数，且z g ( p o ) = z7 f ( p o ) ，歹= o ，l ，忌，则必有 9 4 定理1 5 的证明 l = g 证明由( 4 4 ) 式可得 区z p 】。萋阮邛p 卜1 一z 砌p 类似地，有 【丢，z p 】= z 讴，z z p 十1 = i x - c 薹7 川。1 _ zx zp p - - i 一1 7 = 0，- - o = f 五1 荟1 - - x z 7 【x , z p - j - 1 + f 励严1 x c p ( p 一1 ) z p 。1 + i , 4 r 孑p z p x 因此可得 乞- z p 厂= 【三，z p 】厂一c p ( p 一1 一a ) z p 以厂 用( ，) 表示c 肘1 的对称数积使用归纳法可得 ( z p 厂，三7 厂) = b ，2 ， ( 4 6 ) 其中对，一o ，l ，刀，6 f i z 7 厂l 是常数，并且 = 6 ，6 二。一c ( j + 1 ) 一歹) 巧 由( 4 6 ) 可知当j 乒p 时z7 厂与z p 厂是正交的，必有非负整数ks ，l - 1 使得 z 七+ 1 厂一0 ，从而口= k 因为z 是整体定义的，我们得到平凡丛料1 的子丛 形一s p a n f ，z f ，z 七厂) 并且形有整体定义的酉标架 t = 町1 2 7 厂ij = 0 ，七) 直接计算可得： 蛾；( 磁) q + ( 编) ：垅以q 磊+ 鲁莓， 呜= 一石b y 历f 一2 _ ) 佩乞+ 丝b j 硝，j 小。，尼一1 ( 4 7 ) 峨；一 历瓦一。一玩石q 兹 1 0 4 定理1 5 的证明 这意味着c 栉的子空间缈( p ) 其实是不依赖于点p 的 若g 是另一个满足( 4 5 ) n n 数，则 荟；= 巧1 z ，gl = 0 ，七) 也是微分方程 组( 4 7 ) 的解因此若对j to ，1 ，2 ，k 均有z7 9 ( p o ) = z f ( p o ) ，贝, f j g = 厂 口 现在回到定理1 5 的证明由( 3 3 ) f 阿i ( 4 3 ) 可得 d 风；f 万： d q 因此有实值函数f 使得风。i 1 q+出通过将标架(14：o，l，1)换成标c 。 架知一打1 4 = o ，1 ，z ，我们可以假设 1 风2 万q v l 于是由( 3 1 4 ) 得 n ；p o - 2 石讧；1 - f 2 cq c 由( 2 7 ) ，( 2 。1 4 ) ，( 3 8 ) 与( 3 1 4 ) n - 得 以及 由此可见 也就是 z e o = 0 ，z e l 0 x 2 e o = 下1 毖o + 磁 c 一一+等手xeo一一ixc c 4 c ) ql = 掣x c 孙p 卜i 、c ( 4 8 ) ( 4 9 ) 巳 力一 ， = 巳 卜一怖等 + f 万 嘞 = 墨 廊 砌 其中 则 令 4 定理1 5 的证明 ( x f 厩) ( x f 乃) = 0 ， 七：三一1 一 c ，z ；一1 1 + c 卅- 1 + 华，i g1 2 小_ ( 1 - c k ) 2 ，( 船) _ o ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 且m ( 4 9 ) 和( 4 1 0 ) 口j 知 ( x f 孤) 厂= 0 ，( x i v 云1 ) g = 0 ，三厂一露= 0 根据引理4 1 ，我们知道七，z 是非负整数由( 4 1 1 ) 口- j 得 l c 型2 小( 堕2 ) 1 7 因此z k = 2 所是偶数，且整数m 之2 由上式解出 k = m 一2 ) + 1 ) ，7 = 仰一1 ) 沏+ 2 ) ，c2 高。 因为( 厂，g ) = 0 ，使用归纳法可得( z j 厂，z h g ) = 0 这表明两个子空间 = s p a n z fi ，：o ，1 ，k ) 与= s p a n z 厂i h = 0 , 1 ，z ) 是相互垂直 的方程组( 4 1 2 ) 给出 ；i x m 二2 一- 1 ( 厂一g ) 2 = 一l ，一g j 因此被确定到最多只差一个初始标架 尚溉工高溉，卜h 蛐- o ，n 口 的选择由引理4 1 ，浸入驴= 【e o 】：m c p 玎被唯一确定到至多相差一个c p 一 中的伞纯等距军此我们就完成了定理1 5 的证明 1 2 q 也 “ + 吧 争警 1 上一 1 一 破 弦 届 皿 致谢 致谢 衷心感谢我的导师黎镇琦教授在整个问题研究和论文的撰写的过程中对我 的耐心指导和不断的启发，可以说没有他的关怀，完成论文是很困难的，另外， 感谢我的师兄师姐的努力，他们的论文在相关问题上给我做了很好的铺垫，感谢 我的同学，以及师弟师妹对我的关怀和照顾。 彭均武 2 0 0 9 年5 月 参考文献 参考文献 【1 】a b e j a n c u ，g e o m e t r yo fc r - s u b m a n i f o l d s ，d r e i d e lp u b l i s h i n gc o m p a n y , d o r d r e c h e t ，19 8 6 【2 】j b o l t o n ，g r j e n s e n ，m r i g o l ia n dlm w o o d w a r d ，o nc o n f o r m a lm i n i m a l i m m e r s i o n so fs 2i n t o ，m a t h a n n 2 7 9 ( 1 9 8 8 ) ，5 9 9 - 6 2 0 【3 】r lb r y a n t ，m i n i m a ls u r f a c e so fc o n s t a n tc u r v a t u r ei ns “，t r a n s a m e r m a t h s o c 2 9 0 ( 1 9 8 5 ) 【4 】e c a l a b i ，m i n i m a li m m e r s i o n so fs u r f a c e si ne u c l i d e a ns p h e r e s ，j d i f f g e o m 1 ( 1 9 6 7 ) ，1 1 1 - 1 2 5 【5 】b yc h e n ，ed i l l e n ，lv e r s t r a e l e na n dl v r a n c k e n ，a ne x o t i ct o t a l l yr e a l m i n i m a li m m e r s i o no fs 3 i nc