一类更新风险过程破产概率.doc

编号 2010212007 毕业论文 （ 2014 届本科）题 目: 一类更新风险过程的破产概率 学 院: 数学与统计学院 专 业: 数学与应用数学 作者姓名: 张 锐 指导教师: 康殿统 职称: 副教授 完成日期: 2014 年 5 月 16 日二 一 四 年 五 月一类更新风险过程的破产概率张锐 指导教师:康殿统（河西学院数学与应用数学专业2014届2班52号，甘肃张掖 734000）摘 要 本文在以往对破产概率研究的基础上，对经典破产模型1进行了推广首先，介绍了破产概率产生的背景及其现实意义；其次，简单介绍了经典破产模型及理论；最后，介绍了破产概率模型在经典理论基础上的推广，建立了索赔时间间隔为Gamma分布2的破产模型，并得到其初步应用关键字 破产模型；Gamma分布；破产概率中图分类号 O212Update the ruin probability of risk management processZhang Rui Instructor Kang Diantong（No52，Class 2 of 2014，Specialty of Mathematics and Applied Mathematics，Hexi University，Zhangye Gansu，734000）Abstract: In this paper，on the basis of previous research on ruin probability，the classic bankruptcy model of are extendedFirst of all，this paper introduces the background and practical significance of the ruin probability；Secondly，introduces the classical bankruptcy model and theory；Finally，this paper introduces the bankruptcy probability model based on the classical theory of promotion，set up a claim time interval for bankruptcy model of Gamma distribution，and its preliminary applicationKeywords: Bankruptcy model；Gamma distribution；Ruin probability1 引言近几十年来，风险理论发展的十分迅速，出现了各种各样的风险模型，其研究的范围也逐渐扩大，而破产概率的计算与估计一直是风险理论的核心内容，特别对复合泊松模型(Compound Poisson Model)破产理论的研究已取得了丰硕的成果本文在经典破产模型2的基础上，对模型进行了推广，建立了索赔时间间隔为Gamma分布的破产模型，并得到了破产概率公式破产论具有代表性的几个研究方向是完全离散经典风险模型的研究3-5；重尾部分布破产论的研究6-7；具有投资收益破产论的研究8；保险数学与金融数学交叉的研究9-10；多险种破产概率的研究11；具有利息力的破产论的研究12等2 预备知识考虑经典的风险模型，设保险公司在时刻的盈余式可表示为:， ， (1)式中，为初始资本；为保险公司单位时间征收的保险费率；为第次索赔额；为到时刻为止发生的索赔次数称（1）式为经典破产模型假定1 设是恒正的独立同分布于的随机变量序列，记的分布函数为，；数学期望为，；是参数为的过程；与相互独立记，它表示到时刻为止的索赔总额由模型的独立性假定知，保险公司为运作上的安全，要求，假定2 设，其中，称为相对安全负载由于过程具有平稳独立增量与模型的独立假定， 知为平稳独立增量过程于是由强大数定律知，但并不能排除在某一瞬时盈余过程可能取负值，这时保险公司“破产”恒记为保险公司首次破产的时刻，简称为破产时刻，即Lundberg与Cramer研究的是最终破产概率，假定3 假设个体索赔额的矩母函数 (2)至少在包含原点的某个邻域内存在，并且下述方程 (3)存在正解由于在其收敛域内是严格增加的凸函数，故方程（3）若有正解，则必是唯一的，记为，并称之为调节系数若调节系数存在，则易推知它也是如下方程（4）、（5）的唯一正根:， (4) ， (5)这里，是的矩母函数定理1 若上述假定13均成立，则有(1) ；(2)Lundberg不等式:，；(3) Lundberg-Cramer近似:存在正常数，使得注1 定理1的详细证明可参考张波，商豪编的应用随机过程 ，在后文中我们将会用到定理1中的Lundberg不等式及其证明3 索赔时间间隔为Gamma分布的破产模型我们对经典破产模型进行推广，对于(1)式中不再是Poisson分布，令是第个索赔到达时刻，是相邻两次索赔到达时间间隔，假定服从参数为， 概率密度为的Gamma分布，即，为参数，其中，记；之间独立同分布且与相互独立13令是初始盈余为的破产时刻，定义我们注意到令是初始盈余为的破产概率，也称最终破产概率令是初始盈余为的有限时间破产概率，生存概率记为，14定理2 设在每一单位时间区间内始端收取一个单位保费，首次索赔额为，则索赔额分布为一般分布的破产概率满足下述更新方程， (6)其中证明 设首次发生索赔时的时刻为，首次索赔额为，由全概率公式可得如下方程，令，则， 上述方程即变为 对上述方程两端求导，当时，得，从而，其中，所以，因此 ，即由于，故即得，所以有从而(6)式得证154 模型应用4.1 问题的提出对于一般经典破产理论来说，假设保险公司经营个险种，是初始资本，是第个险种的单位时间征收的保险费率，且各个险种的记数过程及索赔额变量相互独立， 令，是分配到第个险种的初始资金我们能否提供一个分配初始资金为的方案，可使各个险种破产概率都小于，其中是个小正数4.2 问题的解决方法针对第个险种我们应用定理1，令，其中为调节系数，且是方程的正根，求解可得如果，则第个险种初始资金至少分配即可如果，则无法达到要求，此时可能无合适的分配方案解 当时，令，求解得，故第个险种分配到初始资金时，就能使各个险种破产的概率都小于等于，其中16现在我们考虑在索赔时间间隔为Gamma分布的破产模型下，初始资金的分配问题对于新模型下的调节系数，满足以下要求，首先，我们要求个体索赔额的矩母函数至少在包含原点的某个邻域内存在；其次，要求方程存在正解同理我们可得在新模型下的初始资金分配方案，即第个险种分配到初始资金时，就能使各个险种破产的概率都小于等于，其中致谢 值此论文完成之际，要感谢康殿统老师对我的关心与指导，从论文开题到研究方法的确立，以及研究过程中遇到的各种问题，无不得到康老师的悉心指导，在整个论文完成过程中，老师严谨的学术态度，认真负责的学术精神以及系统精湛的专业知识都给我留下了深刻的印象，使学生受益匪浅在此谨向康老师致以诚挚的谢意与崇高的敬意参 考 文 献1 张波，商豪应用随机过程M第二版北京:中国人民大学出版社，2009：73-792 张永利关于伽马分布及相关分布性质的一点研究J大学数学学报，2012： 135-1403 Willmot G ERuin Probabilities in the Compound Binomial ProcessJInsurance:Mathematics andEconomies，1993，12：133-1424 Cheng Shixue，Wu BaoThe Survival Probability Infinite Time Period in Fully Discrete Risk ModelJApplied Mathematics，1999，14：67-745 Cheng Shixue，Gerber H U，Shiu E S WDiscounted Probabilities and Ruin Theory in the Compound Binomial ModelJInsurance:Mathematics and Economics，2000，26：239-2506 Embrechts P，Kluppelberg CModelling Extremal Events for Insurance and FinanceMNew York：Springer-Verlag，19977 Goldie C M，Kluppelberg CSubexponential DistributionsC/ A Practical Guide to Heavy TailsEdited by Adler RBirkhauser，1998：435-4598 Paulsen JRuin Theory with Compounding Assets-A SurveyJInsurance:Mathematics and Economics，1998，22：3-19 Gerber H U，Shiu E S WPricing Perpetual Options for Jump ProcessesJNorth American Actuarial Journal，1998，2：101-10710 Gerber H U，Shiu E S WFrom Ruin Theory to Pricing Reset Guarantees and Perpetual Put OptionsJInsurance:Mathematics and Economics，1999，24：3-1411 杜雪樵，沈爱婷多险种风险模型的破产概率J合肥工业大学学报：自然科学版，2006，29(3)：376-37812 戴洪帅，刘再明，沈亮带利息力的随机双险种风险模型J高校应用数学学报，2008，23A(4)：389-39213