3.1.2指数函数

多题一解例析一类江苏高考压轴题王陆杰（无锡市洛社高级中学数学组，江苏 无锡 214174） 摘要 多题一解指的是将多个表面上并不相似但实质接近的题看成一种题型去思考、求解，在数学问题解决中有较高的价值，有利于提高人们抽象数学，解决数学问题的能力。江苏高考连续两年的高考压轴题看似不同的外衣下都有相同的本质，可以透过代数学基本定理看出它们相似的思维。本文主要在多题一解的视角一下，对他们进行挖掘。关键词：多题一解， 问题解决，变式教学 数学解题一直强调变式教学，一般情况下，变式教学以发散式的为主，由一道题变成多道联系密切的题，不断深化，完成对一类题型的教学。但是，这样的模式，题目大多形式上非常接近，很多时候只有细微的细节差异，用于区分概念的本质非常有效。但是，数学中还存在很多看上去相去甚远，实质上非常接近的问题，如果能够用多题一解的眼光将它们从更高的高度抽象出来，有利于培养学生数学抽象的素养，提高学生数学认知的高度和解题能力。下面本文以三道江苏高考压轴题进行说明。 例1，（2012 江苏20）已知各项均为正数的两个数列和满足： 。（1） 略（2） 思考：我们首先容易产生一个疑问，作为高考压轴题的压轴问，一般不会只问首项。这种只问首项的数列一定有特殊的地方。其次，根据不等 可以将，一个正项等比数列有界，公比只能等于1，进一步得到bn是等比数列。接下来，解方程会得到一个关于bn的二次方程，一个二次方程最多有两个不等根，由此限定bn只能是常数列。从而形成解题思路。其实，这种解法经常用于说明等差等比数列只能为常数列，数列本身是一种特殊的函数。一旦“失控”，将可能产生多个解，对于等差等比数列来说，更是意味着无穷多个解。而如果一个数列只是某个多项式函数的根，那么这个数列的解的个数不应该超过这个多项式的次数。 通过这种方式约束，从而得到对应的等差等比数列只能为常数列。例2，（2013 江苏19） 例2我们可以先进行分析，一个等差数列，通项可以看作定义在正整数集上的一次函数或常数函数，而求和可以看作定义在正整数集上的二次函数或一次函数（当且仅当d=0时）。不难得到，如果将n2+c乘过去整理，可得一个关于n的最高不超过三次的方程。从而这个方程最多有三个解。但是，这个方程要求关于所有的正整数n恒成立，所以这个关于n的方程只能所有项系数以及常数项都为0。 分析：归纳这两道例题，我们发现其核心本质都是利用如果是一个非退化的n次方程，那么它至多有n个不同的根，而这两个都是利用其会有无数个不同的根的特点，使得方程退化，或者数列恒为常数列。例3也是如此。小结：这些题涉及到一个高观点代数学基本定理：一个n次多项式在复数域上有n个根（重根按重数计）。由于高中一般研究的是实数域，可以表述为一个n次多项式至多有n个不同的实根。代数学基本定理解这类数列题主要就是这两类思路。一类类似于 ,则数列最多有m个根，来限制一个无穷项等差等比数列只能为常数列。另一类是可以将数列通项表示出来，通过计算关于n的m次多项式，如果这个多项式关于任意的正整数n恒成立，那么所有的系数以及常数项K0必须等于0。另外，也可以通过取几个n值解方程进行计算。例如如果m=2，则可以取n=1,2,3去解方程组，会发现只有k2=k1=k0时，方程组才有解。在实际教学中，我们还可以多进行这方面的挖掘，将一些表面相差较远，但本质一致的题抽象出来，会非