一、回归分析预测法概述.doc

一、回归分析预测法概述二、一元线性回归分析预测法三、多元线性回归分析预测法第九章回归分析预测法和马尔可夫预测法第一节回归分析预测法一、回归分析预测法概述要了解回归分析预测法的基本思想，必须先了解市场现象之间的两类因果关系。（一）市场现象之间两类因果关系客观世界中许多事物、现象、因素彼此关联，它们的发展变化由多种因素决定。市场活动中的许多现象也不例外，也都有其产生的原因，都要受一定因素的制约，都是一定原因的必然结果。例如，市场是国民经济的综合反映，国民经济的任何变化，诸如国民经济发展速度、积累和消费比例关系的调整、人口增长和劳动就业状况、居民收入变化、消费者购买心理的变化，都会引起市场商品供需关系变化。又如商品价格的变化、广告的宣传等也会引起消费者消费态度和消费行为的变化。这些市场现象之间就形成了因果关系。在研究市场现象之间因素关系时，一般将引起某一市场现象变化的各种因素（或原因）称为自变量，将被引起变化的市场现象（即结果）称为因变量。如人口增长是自变量，商品需求量就是因变量。居民收入水平变化是自变量，市场消费需求就是因变量。自变量变了，因变量也随之发生变化。自变量和因变量的依存关系是市场现象之间相互关联的必然反映，是市场现象之间因果关系的表现。市场现象之间的因果关系可以分为两类：函数关系和相关关系。所谓函数关系是指现象之间确定的数量依存关系，即自变量取一个数值，因变量必然有一个对应的确定数值；自变量发生某种变化，因变量必然会发生相应程度的变化。函数关系是确定性的数量关系。如某企业每销售一件产品，可获利a元， 那么，产品销售量x与总利润Y之间就有确定性的函数关系。即Y=ax。所谓相关关系则是指现象之间确定存在的不确定的数量依存关系，即自变量取一个数值时，因变量必在存在与它对应的数值，但这个对应值是不确定的；自变量发生某种变化时，因变量也必然发生变化，但变化的程度是不确定的。如婴儿出生数和奶粉需求量就属于相关关系。婴儿出生数增加了，奶粉需求量肯定也会增加，但究竟增加多少是无法确定的。对于函数关系的依存关系，用一个函数表达式来描述。对于相关关系的数量依存关系，用相关关系分析和回归方程的方法加以研究， 即用统计分析的方法来研究现象之间的数量相关关系，找出其发展变化规律的关系式。（二）回归分析预测法的含义回归分析预测法，是在分析市场现象自变量和因变量之间相关关系的基础上， 建立变量之间的回归方程， 并将回归方程作为预测模型，根据自变量在预测期的数量变化来预测因变量关系大多表现为相关关系，因此，回归分析预测法是一种重要的市场预测方法，当我们在对市场现象未来发展状况和水平进行预测时，如果能将影响市场预测对象的主要因素找到，并且能够取得其数量资料，就可以采用回归分析预测法进行预测。它是一种具体的、行之有效的、实用价值很高的常用市场预测方法。回归分析预测法有多种类型。依据相关关系中自变量的个数不同分类，可分为一元回归分析预测法和多元回归分析预测法。在一元回归分析预测法中，自变量只有一个，而在多元回归分析预测法中，自变量有两个以上。依据自变量和因变量之间的相关关系不同，可分为线性回归预测和非线性回归预测。（三）回归分析预测法的步骤1根据预测目标，确定自变量和因变量明确预测的具体目标，也就确定了因变量。如预测具体目标是下一年度的销售量，那么销售量Y就是因变量。 通过市场调查和查阅资料，寻找与预测目标的相关影响因素，即自变量，并从中选出主要的影响因素。2建立回归预测模型依据自变量和因变量的历史统计资料进行计算，在此基础上建立回归分析方程，即回归分析预测模型。3进行相关分析回归分析是对具有因果关系的影响因素（自变量）和预测对象（因变量）所进行的数理统计分析处理。只有当变量与因变量确实存在某种关系时，建立的回归方程才有意义。因此，作为自变量的因素与作为因变量的预测对象是否有关，相关程度如何，以及判断这种相关程度的把握性多大，就成为进行回归分析必须要解决的问题。进行相关分析，一般要求出相关关系，以相关系数的大小来判断自变量和因变量的相关的程度。4检验回归预测模型，计算预测误差回归预测模型是否可用于实际预测，取决于对回归预测模型的检验和对预测误差的计算。回归方程只有通过各种检验，且预测误差较小，才能将回归方程作为预测模型进行预测。5计算并确定预测值利用回归预测模型计算预测值，并对预测值进行综合分析，确定最后的预测值。二、一元线性回归分析预测法一元线性回归分析预测法， 是根据自变量x和因变量Y的相关关系，建立x与Y的线性回归方程进行预测的方法。由于市场现象一般是受多种因素的影响，而并不是仅仅受一个因素的影响。所以应用一元线性回归分析预测法，必须对影响市场现象的多种因素做全面分析。只有当诸多的影响因素中，确实存在一个对因变量影响作用明显高于其他因素的变量，才能将它作为自变量，应用一元相关回归分析市场预测法进行预测。一元线性回归分析法的预测模型为：（9-1）式中，代表期自变量的值；代表期因变量的值；代表一元线性回归方程的参数。参数由下列公式求得（用代表）： 为简便计算，我们作以下定义：式中： 这样定义后，参数由下列公式求得： 将代入一元线性回归方程，就可以建立预测模型，那么，只要给定值，即可求出预测值。在回归分析预测法中，需要对、之间相关程度作出判断，这就要计算相关系数，其公式如下：或相关系数的特征有：相关系数取值范围为： 。与符合相同。当，称正线性相关，上升，呈线性增加。当，称负线性相关，上升，呈线性减少。，X与Y无线性相关关系；，完全确定的线性相关关系；，X与Y存在一定的线性相关关系；，为高度线性相关；，为中度线性相关；，为低度线性相关。（9-4）例9-1某企业从有关资料中发现广告投入和产品销售有较密切的关系。近年该企业广告费和销售额资料见表9-1，若2003年广告费为120万元，请用一元线性回归分析法预测2003年产品销售额。年份广告费X（万元）销售额Y（百万元）XY199419951996199719981999200020012002355260728580951001051825303841444952606301300180027363485352046555200630012252704360051847225640090251000011025324625900144416811936240127043600684357296265638815615表9-1具体步骤如下：列表（见表9-1）计算等数值。依据公式（9-2）2计算参数，建立一元线性回归预测模型依据式（9-3）有： 一元线性回归方程（即预测模型）为 3求相关系数，作相关分析和检验相关系数 相关系数为0.986，说明企业广告费和销售额之间是高度线性相关的。由于相关系数是用观察样本资料计算得到的，它所说明的线性密切程度对总体是具有5%还是10%的显著性， 即有95%或90%的可信度（置信度），需要进行相关系数检验。相关系数检验步骤如下：选择显著性水平，通常市场预测问题选择5%或10%；根据值和为变量数量。从本书附录相关系数临界值；比较和 ，当，表明两变量量的线性相关具有显著性，有的可信度， 适用于预测；当时，只能说计算值纯属偶然，建立的回归方程不宜应用，需要重新选择变量或重新收集数据，重新建立模型。出现这种。情况的原因很多，其中主要有三点：定性分析选择的各变量之间并不存在因果关系，原定性分析设想不正确；选择的变量间虽然存在因果关系，但还有其他起着更主要作用的变量尚未列入到模型之中；选择的变量之间因果关系是非线性关系。本题选择，从书中附录，查得，因此，。这说明，有5%显著水平，回归预测模型达到95%的置信度，可以用于预测。4对回归预测模型作检验检验的目的，主要是说明回归预测模型中自变量的变化能否完全解释因变量的变化，回归预测模型是否有效。的计算公式如下： （9-4）式中：m代表自变量个数；n代表资料数据的个数；F检验的步骤为：选择检验的显著性水平；根据以及自由度m和自由度n-m-1，查F分布表（附录C）的临界值；将计算的F与作比较判断。若，则认为回归预测模型具有显著水平，回归预测模型所含自变量的变化足够解释因变量的变化。在选择显著水平上，从总体看回归预测模型的有效的；若，则认为回归预测模型达不到显著水平，回归预测模型所含自变量的变化不足以解释因变量的变化。在选择显著水平上，从总体上看回归预测模型无效。显然，只有在选择的一定显著水平上，回归预测模型有效，才能应用于预测；反之，则不能应用于预测。本题中，利用前面已经计算的的值代入（9-4）式有： 若选择显著水平，考虑和，从附录表查得分布临界值。因为，所以可以认为从总体上讲，该企业年度广告费与销售额两变量间线性关系具有5%显著水平，回归分析建立回归方程对总体而言，预测的有效性达95%。需要提出，检验和检验是两种不同形式的统计检验方法，可以证明和数量之间具有如下关系： 显然，是的单调递增函数，越大，则也就越大，因而检验和检验可以等价，在具体应用中采用哪种检验都可以。5对回归预测模型作标准差检验为了把握线性回归方程应用于预测的精确度，还要作回归标准差检验。回归标准差用表示，计算公式如下：显然，回归标准误差越大，观察值在回归直线周围分布离散程度越大，线性回归方程应用的精确度越低；反之，越小，在回归直线周围分布离散程度越小，线性回归方程应用的精确度越高。一般认为，若，说明线性回归方程应用精确度高，若，说明线性回归方程应用精确度低。本题中， 所以，可以断定线性回归方程实际应用的精确度高，让人满意。6利用回归预测模型，计算预测值本题中，2003年广告费将达120万元，即，代入回归方程，即； 以上预测结果为点值预测。一般学习预测方法，作出点预测就可以了。若要进行区间预测，就要确定因变量的置信区间，其公式为 （9-6）如在小样本条件下，置信度为95%时，其置信区间的上下限为： 其中，为（即置信度为95%），时，由分布表查得（见附录）在式9-6中的，称为回归标准差的调整值。具体公式如下： 式中，：回归标准差；：预测期自变量的值。以本题来说，要计算，就先要计算和。列表计算 年份19941995199619971998199920002001200235526072858095100105-41-24-16-4941924291681576256168116361576841 4388表9-2注： 计算 计算 当广告费为120万元，置信度为95%时，销售额预测值的置信区间有： 三、多元线性回归分析预测法在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。多元线性回归预测模型一般公式为： 多元线性回归模型中最简单的是只有两个自变量（n=2）的二元线性回归模型，其一般形式为： 下面我们以二元线性回归分析预测法为例，说明多元线性回归分析预测法的应用。二元线性回归分析预测法，是根据两上自变量与一个因变量相关关系进行预测的方法。二元线性回归方程的公式为： 式中：因变量；：两个不同自变量，即与因变量有紧密联系的影响因素。：是线性回归方程的参数。是通过解下列的方程组来得到。 (9-9)二元线性回归预测法基本原理和步骤同一元线性回归预测法没有原则的区别，大体相同。例9-2某地区通过市场调查发现电冰箱销售量同居民新结婚户数相关，还是居民户均收入水平相关。该地区近年电冰箱销售量、 新结婚户数和居民户均收入水平资料见表9-3。若预计2003年该地区居民新婚户数为30.2千户，居民户均收入62.5千元。用二元回归分析预测法预测该地区2003年电冰箱需求量。年份电冰箱销售量（千台）新结婚户数（千户）居民户均收入（千元）1995199619971998199920002001200220263034404449552222.523.123.42424.52628.528.534.038.640.042.546.050.254.8表9-3从表9-3中可以看出电冰箱销售量同居民新结婚户数和居民户均收入有一定关系，可试用二元线性回归预测法进行预测。其具体过程如下：1列表计算有关数据年份Y 1995202228.5484812.344057062719962622.534.0506.3115658588476519973023.138.6533.614906931158891.719983423.440.0547.61600795.613609361999402442.55761806.39601700102020004424.546.0600.321161078202411272001492650.2676252012742459.81305.220025528.554.8812.330031567.530141561.8合计298194334.64736.114503.67393.113169.88233.7表9-4表9-4中，：电冰箱销售量；（单位：千台）：居民新结婚户数；（单位：千户）：居民户均收入；（单位：千元）2解下列方程组，求参数把表9-4有关数据代入下列方程组， 得 解方程组得： 由此建立的二元线性回归方程为： 这个回归方程必须经过检验才能作为预测模型。3求相关系数，作相关分析二元线性回归方程的相关系数公式如下：（9-10）为了计算相关系数，需列表计算和年序号1（1995年）2（1996年）3（1997年）4（1998年）5（1999年）6（2000年）7（2001年）8（2002年）202630344044495518.7426.3832.7734.7138.1843.0548.8855.271.26-0.38-2.77-0.711.820.950.12-0.271.590.147.670.503.310.900.010.07合计 14.19表9-5 年序号1（1995年）2（1996年）3（1997年）4（1998年）5（1999年）6（2000年）7（2001年）8（2002年）2026303440444955-17.25-11.25-7.25-3.252.756.7511.7517.75297.56126.5652.5610.567.5645.56138.06315.06合计298 993.48表9-6 把表9-5、表9-6有关数据代入 相关系数为0.993，说明自变量与因变量之间有高度相关关系。4作回归标准差检验 由此说明二元线性回归方程用于预测，有较高的精确度。5计算预测值依据题意，将它们代入二元线性回归方程。 当居民新结婚户数为30.2千户，户均收入为62.5千元时，该地区电冰箱需求量预测值为65.96千台。一、马尔可夫过程和马尔可夫预测法概念二、转移概率和转移概率矩阵三、马尔可夫预测法的应用第二节马尔可夫预测法马尔可夫是俄国著名的数学家。马尔可夫预测法是以马尔可夫的名字命名的一种特殊的市场预测方法。马尔可夫预测法主要用于市场占有率的预测和销售期望利润的预测。一、马尔可夫过程和马尔可夫预测法概念我们知道，事物的发展状态总是随着时间的推移而不断变化的。在一般情况下，人们要了解事物未来的发展状态，不但要看到事物现在的状态，还要看到事物过去的状态。马尔可夫认为，还存在另外一种情况， 人们要了解事物未来的发展状态， 只须知道事物现在的状态，而与事物以前的状态毫无关系。例如，产品明年是畅销还是滞销， 只与今年的销售情况有关， 而与往年的销售情况没有直接的关系。后者的这种情况就称为马尔可夫过程，前者的情况就属于非马尔可夫过程。马尔可夫过程的重要特征是无后效性。事物第n次出现的状态，只与其第n-1次的状态有关，它与以前的状态无关。举一个通俗例子说：池塘里有三片荷叶和一只青蛙，假设青蛙只在荷叶上跳来跳去。若现在青蛙在荷叶上，那么下一时刻青蛙要么在原荷叶上跳动，要么跳到荷叶上，或荷叶上。青蛙究竟处在何种状态上，只与当前状态有关，而与以前位于哪一片荷叶上并无关系。这种性质，就是无后效性。所谓“无后效性”，是指过去对未来无后效，而不是指现在对未来无后效。马尔可夫链是与马尔可夫过程紧密相关的一个概念。马尔可夫链指出事物系统的状态由过去转变到现在， 再由现在转变到将来，一环接一环像一根链条，而作为马尔可夫链的动态系统将来是什么状态，取什么值， 只与现在的状态、取值有关， 而与它以前的状态、取值无关。因此，运用马尔可夫链只需要最近或现在的动态资料便可预测将来。马尔可夫预测法就是应用马尔可夫链来预测市场未来变化状态。二、转移概率和转移概率矩阵（一）转移概率运用马尔可夫预测法，离不开转移概率和转移概率的矩阵。事物状态的转变也就是事物状态的转移。 事物状态的转移是随机的。 例如，本月份企业产品是畅销的，下个月产品是继续畅销，或是滞销，是企业无法确定的，是随机的。由于事物状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述事物状态转移的可能性大小。这就是转移概率。转移概率用“ ”表示。下面举一例子说明什么是转移概率。例9-13假定某小区有1000户居民，每户居民每月用一袋洗衣粉，并且只购买牌、牌、牌三种洗衣粉中的一种。 6月份使用牌洗衣粉居民有500户，使用牌洗衣粉有200户，使用牌洗衣粉有300户。据调查，在7月份中， 使用牌洗衣粉的500户居民中，有360户仍购买牌洗衣粉， 50户表示要改买牌洗衣粉，90户表示要改买牌洗衣粉。在使用牌洗衣粉居民中， 有120户仍购买牌，有40户表示要改买牌，40户表示要改买牌洗衣粉。在使用牌洗衣粉中，有230户仍继续使用牌，有30户表示改买牌， 有40户表示改买牌洗衣粉。试计算状态转移概率。根据题意，可得出7月份居民购买洗衣粉转移表，如表9-7所示。表9-7从上表中，清楚看到，6月份居民购买牌、牌、牌洗衣粉的状态分别为500户、200户、300户。7月份发生了转移，购买牌、牌、牌洗衣粉的状态分别为430户、210户、360户。由此可见，7月份居民的购买状态只与6月份购买状态有关，而与5月份前的购买状态毫无关系。这就是典型的马尔可夫过程。 下面计算状态的转移概率： （二）转移概率矩阵所谓矩阵，是指许多个数组成的一个数表。每个数称为矩阵的元素。矩阵的表示方法是用括号将矩阵中的元素括起来，以表示它是一个整体。如就是一个矩阵。 这是一个由m行n列的数构成的矩阵， 表示位于矩阵中第i行与第j列交叉点上的元素， 矩阵中的行数与列数可以相等，也可以不等。当它们相等时，矩阵就是一个方阵。由转移概率组成的矩阵就是转移概率矩阵。也就是说构成转移概率矩阵的元素是一个个的转移概率。（9-11）转移概率矩阵有以下特征： ，即矩阵中每一行转移概率之和等于1。例9-3的转移概率概率是： 三、马尔可夫预测法的应用（一）市场占有率的预测在市场经济的条件下，各企业都十分注意扩大自己的市场占有率。因此，预测企业产品的市场占有率，就成为企业十分关心的问题。若我们假设：市场的发展变化只与当前市场条件有关；没有新的竞争者加入，也没有老的竞争者退出；顾客总量保持不变；顾客在不同品牌之间流动的概率保持不变，就可用马尔可夫预测法对市场占有率进行预测。当然，假设与市场实际存在差距，只要预测对象基本符合假设条件，就可以运用此法得出相对科学的预测结论。例9-4某市场销售啤酒有甲、乙、丙三种品牌。4月份的市场占有率各为0.3、0.45、0.25。据抽样调查5月份消费者消费意向有所变化，见表9-8。请用马尔可夫预测法，预测5月份甲、乙、丙牌啤酒市场占有率各是多少？ 若预计5月份该市啤酒总需求量为1200吨，甲、乙、丙牌啤酒各销售多少？ 若上述条件不变，预测6月份啤酒的市场占有率。表9-8由上表可知消费者在不同品牌之间流动产生的状态转移概率矩阵如下：（9-12）计算5月份甲、乙、丙三种啤酒市场占有率预测值首先，要建立新转移概率矩阵4月份啤酒市场占有率矩阵： 新转移概率矩阵为： 5月份各品牌市场占有率为：甲品牌啤酒占有率是： 乙品牌啤酒市场占有率是： 丙品牌啤酒市场占有率是： 计算5月份甲、乙、丙品牌销售量预测值甲品牌销售量： 乙品牌销售量： 丙品牌销售量： 计算6月份甲、乙、丙品牌啤酒市场占有率预测值由上计算，可知5月份市场占有率矩阵为： 6月份市场占有率矩阵应为： 6月份甲品牌啤酒市场占有率为： 6月份乙品牌啤酒市场占有率为： 6月份丙品牌啤酒市场占有率为： 根据马尔可夫链的基本原理，一般情况下，本期市场占有率仅取决于上期市场占有率和转移概率。因此要预测月后的市场占有率，其矩阵为 。一、问答题（参考答案）1什么是回归分析预测法？回归分析预测法有什么类型？ 回归分析预测法，是在分析市场现象自变量和因变量之间相关关系的基础上， 建立变量之间的回归方程， 并将回归方程作为预测模型，根据自变量在预测期的数量变化来预测因变量在预测期变化结果的预测方法。回归分析预测法有多种类型。可分为一元回归分析预测法和多元回归分析预测法。在一元回归分析预测法中，自变量只有一个，而在多元回归分析预测法中，自变量有两个以上。2回归分析预测法步骤怎样？（1）根据预测目标，确定自变量和因变量（2）建立回归预测模型。依据自变量和因变量的历史统计资料进行计算，在些基础上建立回归分析方程。（3）进行相关分析。一般要求出相关关系，以相关系数的大小来判断自变量和因变量的相关的程度。（4）检验回归预测模型，计算预测误差。（5）计算并确定预测值3什么是马尔可夫链与马尔可夫预测法？马尔可夫链指出事物系统的状态由过去转变到现在，再由现在转变到将来，一环接一环像一根链条，而作为马尔可