福建省厦门市双十中学高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合m=y|y=x2+1，xr，集合n=y|y=ln（x+1）+1，xr，则mn等于（）a（0，1）b（0，1）c1，+）d1，+）2命题“若p则q”是真命题，则p是q的（）条件a充分b充分非必要c必要d必要非充分3已知，的夹角是120，且=（2，4），|=，则在上的投影等于（）abc2d4已知p：存在xr，mx2+10，q：任意xr，x2+mx+10，若p且q为真命题，则实数m的取值范围是（）am2b2m2c0m2d2m05在abc中，角a，b，c，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2b2）tanb=ac，则角b的值为（）ab或cd或6已知点c在以o为圆心的圆弧ab上运动（含端点）.， =x+2y（x，yr），则的取值范围是（）abcd7若函数f（x）=sin（x+）cos（x+）（0）为奇函数，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式可以是（）abcd8已知如图（1）的图象对应的函数为y=f（x），给出y=f（|x|）；y=|f（x）|a；y=f（|x|）；y=f（|x|）y=|f（|x|）|a，则如图（2）的图象对应的函数可能是五个式子中的（）abcd9已知定义域为r的奇函数y=f（x）的导函数为y=f（x），当x0时，若a=f（），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）aacbbbcacabcdcab10若函数f（x）（xr）关于对称，且则下列结论：（1）f（x）的最小正周期是3，（2）f（x）是偶函数，（3）f（x） 关于对称，（4）f（x）关于对称，正确的有（）a1个b2个c3个d4个11如图，已知l1l2，圆心在l1上，半径为1m的圆o在t=0时与l2相切于点a，圆o沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0t1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）abcd12设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）aa2ba1ca1da2或a1二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若tan（+）=，则sin2=14设等差数列an前n项和sn，a3+a8+a13=c，a4+a14=2c，其中c0，则sn在n等于时取到最大值15已知f（x）=x24x+3在0，a的值域是1，3实数a的取值范围记为集合a，g（x）=cos2x+sinx记g（x）的最大值为g（a）若g（a）b，对任意实数aa恒成立，则实数b的取值范围是16若函数f（x）=（1x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=1对称，则f（x）的最大值为三、解答题：（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.18题两题选出一题作答，两题都答只给一题的分数17已知直线l的参数方程为（t为参数），圆c的参数方程为（为参数）（1）当a=0时，求直线l和圆c交点的极坐标（，）（其中0，02）；（2）若直线l与圆c交于p、q两点，p、q间的劣弧长是，求直线l的极坐标方程18（2015秋厦门校级期中）（1）若不等式|2x1|+|x+2|m2+m+2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）设a，b，c大于0，且1+（|2x1|+|x+2|）对任意实数x恒成立，求证：a+2b+3c919已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）的图象经过点（0，），且相邻两条对称轴间的距离为（）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（）在abc中，a，b，c分别是角a、b、c的对边，若f（）cosa=，且bc=1，b+c=3，求a的值20设数列an的前n项和为sn，满足2sn=an+12n+1+1，（nn*），且a1=1（1）设cn=（nn+），求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足bn=n（an+2n），求数列bn的前n项和tn21已知，|ab1|=3，|ab2|=4， =+（1）若b1，p，b2三点共线，求|的最小值，并用，表示；（2）设q是ab1b2的内心，若|2，求的取值范围22某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为c，计划修建的公路为l如图所示，m，n为c的两个端点，测得点m到l1，l2的距离分别为5千米和80千米，点n到l1的距离为100千米，以l1，l2 所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xoy，假设曲线c符合函数y=模型（其中a为常数）（1）设公路l与曲线c相切于p点，p的横坐标为t请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路l与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积23设函数f（x）=emxmx2（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线l1的方程；（2）当m0时，要使f（x）1对一切实数x0恒成立，求实数m的取值范围；（3）求证：2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合m=y|y=x2+1，xr，集合n=y|y=ln（x+1）+1，xr，则mn等于（）a（0，1）b（0，1）c1，+）d1，+）【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合【分析】求出m中y的范围确定出m，求出n中y的范围确定出n，找出两集合的交集即可【解答】解：由m中y=x2+11，即m=1，+），由n中y=ln（x+1）+1，即n=（，+），则mn=1，+），故选：d【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2命题“若p则q”是真命题，则p是q的（）条件a充分b充分非必要c必要d必要非充分【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】对应思想；综合法；简易逻辑【分析】原命题和其逆否命题同真假，故只需找出命题“若p，则q”的逆否命题即可【解答】解：四种命题中原命题和其逆否命题同真假，而“若p，则q”的逆否命题为“若q，则p”即qp，p是q的必要条件，故选：c【点评】本题考查四种命题的关系及复合命题真假判断，难度不大3已知，的夹角是120，且=（2，4），|=，则在上的投影等于（）abc2d【考点】平面向量数量积的运算【专题】向量法；平面向量及应用【分析】由向量模的公式可得|，再由向量投影的概念可得在上的投影等于|cos120【解答】解： =（2，4），可得|=2，由题意可得在上的投影为|cos120=2（）=故选b【点评】本题考查向量的数量积的模的公式，以及向量的投影的计算，考查运算能力，属于基础题4已知p：存在xr，mx2+10，q：任意xr，x2+mx+10，若p且q为真命题，则实数m的取值范围是（）am2b2m2c0m2d2m0【考点】复合命题的真假【专题】函数思想；综合法；简易逻辑【分析】分别求出p，q成立的m的范围，取交集即可【解答】解：关于p：存在xr，mx2+10，m0，关于q：任意xr，x2+mx+10，则=m240，解得：2m2，若p且q为真命题，则p，q均为真命题，则实数m的取值范围是：2m0，故选：d【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题，是一道基础题5在abc中，角a，b，c，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2b2）tanb=ac，则角b的值为（）ab或cd或【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】利用余弦定理表示出cosb，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinb的值，即可确定出b的度数【解答】解：cosb=，a2+c2b2=2accosb，代入已知等式得：2accosbtanb=ac，即sinb=，则b=或故选：b【点评】此题考查了余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键6已知点c在以o为圆心的圆弧ab上运动（含端点）.， =x+2y（x，yr），则的取值范围是（）abcd【考点】平面向量数量积的运算【专题】数形结合；换元法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】以o为原点，oa方向为x轴正方向建立坐标系，分别求出a，b的坐标，进而根据则=（cos，sin），根据正弦函数的性质，即可得到的取值范围【解答】解：建立如图所示的坐标系，可设a（1，0），b（0，1），设aoc=（0），则=（cos，sin）由=（x，2y）=（cos，sin），则=（cos+sin）=sin（+）（0），由+，可得sin（+），1，即有，故选：b【点评】本题考查的知识点是平面向量的综合应用，三角函数的性质，其中建立坐标系，分别求出a，b，c点的坐标，将一个几何问题代数化，是解答本题的关键7若函数f（x）=sin（x+）cos（x+）（0）为奇函数，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式可以是（）abcd【考点】函数y=asin（x+）的图象变换；由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用函数是奇函数，求出根据函数y=asin（x+）的图象变换规律即可得解【解答】解：f（x）=sin（x+）cos（x+）=2sin（x+），（0）为奇函数，=，f（x）=2sinx，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数的解析式为：y=2sin2x；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式：g（x）=2sin2（x）=2sin（2x）故选：a【点评】本题主要考查了函数y=asin（x+）的图象变换，由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的化简，三角函数的奇偶性，考查基本知识的应用能力，计算能力，属于中档题8已知如图（1）的图象对应的函数为y=f（x），给出y=f（|x|）；y=|f（x）|a；y=f（|x|）；y=f（|x|）y=|f（|x|）|a，则如图（2）的图象对应的函数可能是五个式子中的（）abcd【考点】函数的图象【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用【分析】由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，对选项一一利用排除法分析可得答案【解答】解：由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，对于，当x0时，y=f（|x|）=y=f（x），其图象在y轴右侧与图一的相同，不合题意，故排除对于，当x0时，对应的函数是y=f（x）a，是把（1）中图象位于y轴右侧的部分向下平移a个单位得到的，显然不正确，故排除对于，当x0时，对应的函数是y=f（x），是把（1）中图象位于y轴右侧的部分关于x轴对称得到的，显然不正确，故排除对于，当x0时，对应的函数是y=f（x），是把（1）中图象位于y轴左侧的部分关于y轴对称得到的，满足条件对于，当x0时，对应的函数是y=|f（x）|a，是把（1）中图象位于y轴右侧的部分向下平移a个单位得到的，显然不正确，故排除，故选：a【点评】本题考查函数的图象、函数的图象与图象变化，考查学生读图能力，分析问题解决问题的能力，属于中档题9已知定义域为r的奇函数y=f（x）的导函数为y=f（x），当x0时，若a=f（），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）aacbbbcacabcdcab【考点】函数的单调性与导数的关系【专题】函数思想；构造法；导数的概念及应用【分析】构造函数g（x）=xf（x），判断g（x）的单调性与奇偶性即可得出结论【解答】解：令g（x）=xf（x），则g（x）=xf（x）=xf（x）g（x）是偶函数g（x）=f（x）+xf（x）当x0时，xf（x）+f（x）0，当x0时，xf（x）+f（x）0g（x）在（0，+）上是减函数ln21g（）g（ln2）g（）g（x）是偶函数g（）=g（），g（ln）=g（ln2）g（）g（ln）g（）故选：b【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题10若函数f（x）（xr）关于对称，且则下列结论：（1）f（x）的最小正周期是3，（2）f（x）是偶函数，（3）f（x） 关于对称，（4）f（x）关于对称，正确的有（）a1个b2个c3个d4个【考点】命题的真假判断与应用【专题】转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑【分析】根据已知中函数f（x）（xr）关于对称，且，分析出函数的周期性，对称性和奇偶性，可得答案【解答】解：，f（x+3）=f（x），故f（x）的最小正周期是3，故（1）正确；又函数f（x）（xr）关于对称，f（x）=f（x），即f（x）是偶函数，故（2）正确；又f（3x）=f（x）=f（x），故f（x） 关于对称，故（3）正确；又函数f（x）（xr）关于对称，f（x）的最小正周期是3，故f（x）关于对称，故（4）正确；故正确的命题有4个，故选：d【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的对称性和函数的周期性，其中熟练掌握函数对称性的法则“对称变换二倍减”，是解答的关键11如图，已知l1l2，圆心在l1上，半径为1m的圆o在t=0时与l2相切于点a，圆o沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0t1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）abcd【考点】函数的图象【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用【分析】通过t=0时y=0，排除选项c、d，利用x的增加的变化率，说明y=sin2x的变化率，得到选项即可【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=0，所以选项c，d不合题意，当t由0增加时，x的变化率先快后慢，又y=sin2x在0，1上是增函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项b满足题意，c正好相反，故选：b【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力，属于中档题12设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）aa2ba1ca1da2或a1【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】分别设h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围【解答】解：设h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a）若在x1时，h（x）=2xa与x轴有一个交点，所以a0，并且当x=1时，h（1）=2a0，所以0a2，而函数g（x）=4（xa）（x2a）有一个交点，所以2a1，且a1，所以a1，若函数h（x）=2xa在x1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（xa）（x2a）有两个交点，当a0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2a时，即a2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是a1，或a2故选：d【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若tan（+）=，则sin2=【考点】两角和与差的正切函数【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值【分析】利用两角和的正切函数，求出正切函数值，然后求解即可【解答】解：tan（+）=，=，可得tan=sin2=故答案为：；【点评】本题考查两角和的正切函数以及三角函数的化简求值，考查计算能力14设等差数列an前n项和sn，a3+a8+a13=c，a4+a14=2c，其中c0，则sn在n等于7时取到最大值【考点】等差数列的前n项和【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】由等差数列的性质和题意可得通项公式，可得前7项为正数，从第8项开始为负数，可得结论【解答】解：由题意和等差数列的性质可得a3+a8+a13=3a8=c，a4+a14=2a9=2c，a8=，a9=c，公差d=，a1=7=，an=+（n1）=c（2n15），令an=c（2n15）0可得2n150，解得n递减的等差数列an前7项为正数，从第8项开始为负数，当n=7时，sn取最大值故答案为：7【点评】本题考查等差数列的前n项和，从数列项的正负入手是解决问题的关键，属基础题15已知f（x）=x24x+3在0，a的值域是1，3实数a的取值范围记为集合a，g（x）=cos2x+sinx记g（x）的最大值为g（a）若g（a）b，对任意实数aa恒成立，则实数b的取值范围是b【考点】函数恒成立问题【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；集合【分析】作函数f（x）=x24x+3的图象，从而可得a=2，4；再化简g（x）=（sinx）2+1+，从而可得g（a）=1+，再求g（a）的最小值即可【解答】解：作函数f（x）=x24x+3的图象如下，f（x）=x24x+3在0，a的值域是1，3，2a4，故a=2，4；g（x）=cos2x+sinx=1sin2x+sinx=（sinx）2+1+，1，g（a）=1+，a=2，4，gmin（a）=1+=，g（a）b对任意实数aa恒成立，b，故答案为：b【点评】本题考查了二次函数的性质与应用，三角函数的最值的求法，同时考查了恒成立问题16若函数f（x）=（1x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=1对称，则f（x）的最大值为6【考点】函数的最值及其几何意义；函数的图象【专题】综合题；转化思想；分类法；函数的性质及应用【分析】由题意得f（0）=f（2）=0且f（4）=f（2）=0，由此求出a=4且b=0，可得f（x）=x4x3+x2+4x利用导数研究f（x）的单调性，可得到f（x）的最大值【解答】解：函数f（x）=（1x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=1对称，f（0）=f（2）=0且f（4）=f（2）=0，即b=0且（14）（4）2+a（4）+b=0，解之得a=4，b=0，因此，f（x）=（1x2）（x2+4x）=x4x3+x2+4x，求导数，得f（x）=x33x2+2x+4=（x+1）（x+1+）（x+1）当x（，1）（1，1+）时，f（x）0，当x（1，1）（1+，+）时，f（x）0，f（x）在（，1）单调递增，在（1，1）单调递减，在（1，1+）单调递增，在（1+，+）单调递减，故当x=1和x=1+时取极大值，f（1）=f（1+）=6故答案为：6【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=1对称，求函数的最大值着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题三、解答题：（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.18题两题选出一题作答，两题都答只给一题的分数17已知直线l的参数方程为（t为参数），圆c的参数方程为（为参数）（1）当a=0时，求直线l和圆c交点的极坐标（，）（其中0，02）；（2）若直线l与圆c交于p、q两点，p、q间的劣弧长是，求直线l的极坐标方程【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【专题】计算题；函数思想；综合法；坐标系和参数方程【分析】（1）先求出圆的直角坐标方程和直线l：，由此能求出直线l和圆c交点的极坐标（2）圆心c到直线的距离d是2，直线的直角坐标方程是：，先求出直线直角坐标方程，由此能求出直线l的极坐标方程【解答】解：（1）圆c的参数方程为（为参数），圆的直角坐标方程是x2+y2=16，（1分），直线l的参数方程为（t为参数），当a=0时，直线l：，（2分）代入x2+y2=16得x=2，p，q（3分）则直线l和圆c交点的极坐标分别是，（5分）（2）由于p、q间的劣弧长是，则圆心角，（6分）圆心c到直线的距离d是2，直线的直角坐标方程是：，（7分），直线直角坐标方程是：或，（8分）直线l的极坐标方程：或（10分）即或（写成或给满分）【点评】本题考查直线和圆交点的极坐标及直线的极坐标方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标的互化公式的合理运用18（2015秋厦门校级期中）（1）若不等式|2x1|+|x+2|m2+m+2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）设a，b，c大于0，且1+（|2x1|+|x+2|）对任意实数x恒成立，求证：a+2b+3c9【考点】不等式的证明；函数恒成立问题【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；推理和证明【分析】（1）由绝对值的含义，将|2x1|+|x+2|写成分段函数式，分别求出各段的范围，可得最小值，进而得到m2+m+2，解不等式可得m的范围；（2）运用两边夹法则，可得+=1，且a，b，c大于0，即有a+2b+3c=（a+2b+3c）（+），展开后运用基本不等式，即可得证【解答】解：（1）|2x1|+|x+2|=，当x2时，13x递减，取值范围是5，+）；当2x时，3x的范围是，5）；当x时，3x+1的范围是（，+）从而|2x1|+|x+2|，解不等式m2+m+2，得m1，（2）证明：由（1）知（|2x1|+|x+2|）1，则+1，又1+，则+=1，且a，b，c大于0，即有a+2b+3c=（a+2b+3c）（+）=3+（+）+（+）+（+）3+2+2+2=9当且仅当a=2b=3c=时，等号成立因此a+2b+3c9【点评】本题考查绝对值函数的最值的求法，不等式恒成立问题的解法和不等式的证明，注意运用函数的单调性求最值，以及基本不等式的运用，属于中档题19已知函数f（x）=sin（x+）（0，0）的图象经过点（0，），且相邻两条对称轴间的距离为（）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（）在abc中，a，b，c分别是角a、b、c的对边，若f（）cosa=，且bc=1，b+c=3，求a的值【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性【专题】解三角形【分析】（）把已知点坐标代入求出的值，根据题意确定出周期，利用周期公式求出的值，即可确定出函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性确定出单调递增区间即可；（）由第一问确定出的解析式，表示出f（），代入已知等式求出a的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosa的值代入，变形后将bc与b+c的值代入即可求出a的值【解答】解：（）把（0，）代入解析式得：sin=，0，=，相邻两条对称轴间的距离为，函数的周期为，即=2，函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+），令+2k2x+2k，kz，得到+kx+k，kz，则f（x）的单调递增区间为+k， +k，kz；（）由第一问得：f（）=sin（a+），代入得：sin（a+）cosa=sina+cosacosa=sinacosa=sin（a）=，a=或，即a=或a=（舍去），bc=1，b+c=3，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosa=b2+c2bc=（b+c）23bc=93=6，则a=【点评】此题考查了余弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键20设数列an的前n项和为sn，满足2sn=an+12n+1+1，（nn*），且a1=1（1）设cn=（nn+），求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足bn=n（an+2n），求数列bn的前n项和tn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）2sn=an+12n+1+1，（nn*），当n2时，2sn1=an2n+1，相减可得：，cn=（nn+），利用等比数列的通项公式即可得出（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（1）2sn=an+12n+1+1，（nn*），当n2时，2sn1=an2n+1，相减可得：2an=an+1an2n，化为：，cn=（nn+），cn是等比数列，公比为，首项为cn+1=，cn=1，=1，可得an=3n2n（2）bn=n（an+2n）=n3n，数列bn的前n项和tn=3+232+323+n3n，3tn=32+233+（n1）3n+n3n+1，2tn=3+32+3nn3n+1=n3n+1=，tn=【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21已知，|ab1|=3，|ab2|=4， =+（1）若b1，p，b2三点共线，求|的最小值，并用，表示；（2）设q是ab1b2的内心，若|2，求的取值范围【考点】平面向量数量积的运算【专题】综合题；转化思想；配方法；换元法；平面向量及应用【分析】（1）利用b1，p，b2三点共线， =+，可求得+=1；再结合，|ab1|=3，|ab2|=4，可得|2=2+2=2+9，于是可求得|的最小值及取得最小值时、的值，从而可用，表示；（2）以a为原点，ab1、ab2所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则b1（3，0），b2（0，4），q（1，1），p（，），于是利用|2=（1）2+（1）24，再令1=rcos，1=sin（0r2）可得=2+234=r2rcos2rsin5，利用辅助角公式及配方法即可求得，21【解答】解：（1）b1，p，b2三点共线， =+，+=1又，|ab1|=3，|ab2|=4，|2=|2+|2=2+2=2+9，当时，|min=，此时， =+；（2）以a为原点，ab1、ab2所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则b1（3，0），b2（0，4），q（1，1），p（，），|2=（1）2+（1）24，令1=rcos，1=sin，0r2=（3，），=（，4），=2+234=r2rcos2rsin5=r2rsin（+）5，其中tan=又r2rsin（+）5r2+r521，r2rsin（+）5r2r5=（r）2，21【点评】本题考查平面向量数量积的运算，突出考查共线向量基本定理、向量垂直性质的应用，也考查了三角换元思想及辅助角公式的综合应用，考查运算能力，属于难题22某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为c，计划修建的公路为l如图所示，m，n为c的两个端点，测得点m到l1，l2的距离分别为5千米和80千米，点n到l1的距离为100千米，以l1，l2 所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xoy，假设曲线c符合函数y=模型（其中a为常数）（1）设公路l与曲线c相切于p点，p的横坐标为t请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路l与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用【专题】转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】（1）由题知m（5，80）代入y=，则a=400，进而求出y=，得出坐标n（100，4），利用导数求出斜率，得出直线的方程，进而求出与坐标轴的交点a（0，），b（2t，0），利用勾股定理可得（t5，100）；运用基本不等式可得最小值，注意求出等号成立的条件；（2）山体与x=5，x=100之间的面积为，得出山体与l1、l2围成的面积是400+400ln20，进而得出绿化带的面积是400+400ln20800=400ln20400【解答】解：（1）由题意m（5，80）代入y=，则a=400，y=，n（100，4），定义域为5，100p（t，），则公路l的方程：，令x=0，可得y=；令y=0，可得x=2t（t5，100）；a（0，），b（2t，0），=，当且仅当t