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浅谈数学中的变形技巧 目 录摘要IABSTRACTII第一章 绪论1第二章 数学变形的概述12.1 什么是数学变形12.2 在中学数学中常用的基本方法2第三章 变形技巧在初等数学中的一些应用23.1 一元二次方程的变形技巧33.2 三角函数的变形技巧43.3 “0”的变形技巧73.4 “1”的变形技巧9第四章 代数变形中常用的技巧114.1 代数恒等式和恒等变形114.2 代数中常见的变形124.2.1 整式变形124.2.2 分式变形134.2.3 根式变形184.2.4 指数变形214.2.5 对数变形224.2.6 复数变形23第五章 结论24参考文献25致谢26浅谈数学中的变形技巧学生：冯继东 指导老师：郑宗剑摘要 变形是数学解题活动中最基本而又常用的方法，它既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的。变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习数学的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。在数学解题中，为了完成论证、求值、化简等的任务，常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强。本文主要介绍了变形技巧在初等数学和代数中的一些应用。掌握好并灵活应用这些技巧，可以很快确定解题方向，减少解题的盲目性，提高解题效率。关键词：初等数学;代数;变形;技巧THE DEFORMATION SKILLS DISCUSS MATHEMATICSstudent: FengJidong Supervisor:Zheng ZongjianABSTRACT Deformation is mathematics problem-solving activities in the most fundamental and commonly used method, it is flexible and changeable, a formula, a law, its expressions are diverse. Deformation is to achieve some purpose or need but adopt of a kind of means, is the return, conversion and Lenovos preparation phase, it belongs to skills sex knowledge, of course there is need techniques and methods in learning mathematics people can grasp to dill as much as possible in practice, and flexible application. In mathematics problem-solving, in order to complete the demonstration, evaluated, reduction etc task, often to some, but were identical deformation distributed-group management then deformation and no sure formula for success, identical distributed-group management then often have several possible a deformation of the problem and the direction, because different, craft was very strong. In this paper mainly introduced the deformation skills in elementary mathematics and some application of algebra. Mastering and flexible application of these techniques, can quickly determine the direction of solving problem solving, reduce blindness, improve the problem solving efficiency. Key words: elementary maths , algebraic, transformation, technique27第一章 绪论数学是一个有机的整体，各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透，从而构成了一个相互交错的立体空间.所以为了培养数学学习中的运算能力、逻辑能力、推理能力、空间想象能力及综合应用数学知识分析解决实际问题的能力，除了对各单元知识，及一些开放探索性问题，实践应用性问题等综合内容进行系统复习外，在最后阶段的复习中，应对常用的数学方法和重要的数学思想引起重视，并有意识的运用一些数学方法去解决问题，这样才能使我们的数学学习提高到一个新的层次、新的高度.常用的数学方法，是针对不同的数学知识而定的一种策略.不同的问题可以用不同的方法，相同的问题也可以有各种不同的方法（即所谓的一题多解）.各种数学方法与数学知识一样，是数学发展过程中积累起来的宝贵精神财富，并且是数学知识所不能替代的.近些年来，在中学数学考试中的考试题目越来越新颖，特别是在中考，高考的试题当中，要使考生在短短的两小时之类完成所有的题量，这无疑对大部分考生来说是很难完成的.有些试题的技巧性又非常强，考生一味的再上面钻牛角尖的话，这不但会浪费很多时间，甚至到最后还可能得不到正确的答案.所以我们有必要针对有些题采取正确的解题技巧，对有些题作出一些变形，这不仅能使试题变得简单明了，而且还能使我们做起题来得心应手，更增加了我们的解题信心和提高了对数学的兴趣.本文从先对数学中变形进行概述性介绍，接着主要从变形技巧在初等数学和代数中的一些具体的应用加以阐述说明.第二章 数学变形的概述2.1 什么是数学变形什么是数学变形，这是一个很模糊的概念，总而言之，它是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段.它属于技能性的知识，既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的.当然它也存在着技巧和方法，也就是人们在学习数学的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用.2.2 在中学数学中常用的基本方法 1逻辑学中的方法例如分析法（包括逆证法）、综合法、反证法、归纳法、穷举法（要求分类讨论）等.这些方法既要遵循从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色.2数学中的一般方法例如建模法、消元法、降次法、代入法、图像法（也称坐标法.代数中常用图像法，几何中常用坐标法）、向量法、比较法（数学中主要是指比较大小，这与逻辑学中的多方位比较不同）、放缩法、同一法、数学归纳法（这与逻辑学中的不完全归纳法不同）等.这些方法极为重要，应用也很广泛.3数学中的特殊方法例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法（也称之为中间变量法）、拆项补项法（含有添加辅助元素实现化归的数学思想）、因式分解诸方法，以及平行移动法、翻折法等.这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用，不可等闲视之.而变形也是数学中一种重要的方法之一.第三章 变形技巧在初等数学中的一些应用变形是数学数学解题活动中最基本而又常用的方法.它既灵活又多变，一个公式，一个法则，它的表述形式是多种多样的.例如勾股定理可表述为，亦可表述为，等.若问，这显然是一个不屑回答的问题，但若问就成了最富灵活性的问题，例如，等.可见“变形”实在是一个内涵十分丰富的概念，在某些著名的数学问题解决中，变形技巧的巧妙运用也是至关重要的一环.我们在数学解题中，为了完成论证、求值、化简等的任务，常要对某些式子进行恒等变形，但是恒等变形又无一定之规，一个式子往往有多种可能的变形方向，因题而异，技巧性非常强.本文主要介绍一元二次方程，三角函数，“0”，“1”等的变形应用，希望对这几方面的变形应用的介绍，对于其他的解题变形能起到抛砖引玉的功效.下面我们来谈谈这几种变形技巧的应用.3.1 一元二次方程的变形技巧对有些含有（或可转化）一元二次方程的代数问题，如能对方程进行适当变形并施以代换，则常常可使问题化繁为简.下面列举例子说明.例 1.1 已知是方程的两根，求的值.解：因为是方程的根 ，则，所以，又因为，是方程的两根，分析：如果要求出，的值，那么就很复杂，而且容易出错，在这里通过变形的技巧先从结论出发这样可以提高解题的效率，节省时间.例1.2 若，是一元二次方程的两个根，求 的值.解：由题设得，及，=分析：通过观察要求的结论可知，只要对要求的结论作一下变形，则这道题目便可以轻易解决.不必求出和的值.例1.3设实数、分别满足，并且，求 的值.解：由题设可得，.两式相除，得.由比例的基本性质，得，整理得，即因为，所以， = 分析：通过仔细的观察可知只要对已知条件，进行变形，再利用比例的基本性质即可解决这道题.总结：我们在解决一元二次方程的代数问题时，首先要认真仔细地观察题目的已知条件和所要求的式子，观察他们之间有什么特点，然后再充分利用已知条件来解决所要求的问题.特别是要灵活应用韦达定理：即如果，为方程的两个根，则，.在解这类题目时，可以先从已知条件出发，也可以从结论入手.关键是要善于观察所要求式子的特点.3.2 三角函数的变形技巧三角函数是初等函数的重要组成部分，它与初等函数、初等几何的关系十分密切.特别是三角函数的求值问题，而三角函数求值的关键是合理地进行三角恒等式的变形，其基本思路是“三看”，即一看角、二看函数名称、三看结构特征.除此之外，我们还常常应用代数的技巧和构造法，为三角恒等变形创造条件.例2.1 已知，求的值.解：原式= = = = =0分析：除了这里的外，还有以下等式也经常用到：，灵活运用这些等式，可以使许多三角函数问题得到简化.例2.2 已知，求的值.解：= = = =2分析：对于正切和角公式可正用也可逆用.而，为变形形式.这里是公式的变形应用.例2.3（2002年北京春）在中，已知角、成等差数列，求的值.解：因为、成等差数列，,由两角和的正切公式，得分析：本例是正切公式变形的应用.在历年高考题中，曾多次出现两角和与差的正切公式的变形应用，读者在学习中一定要总结、体会.例2.4 （1991年全国高中数学联赛试题）试求的值.解：注意到，我们可以通过构造对偶式，以减少三角变换的难度.再观察所求三角函数式，不难发现它与余弦定理非常相似，所以我们还可以通过构造三角形，使问题得到整体的解决.【方法一】设，则，= = 两式相加，得，即=【方法二】原式=构造，使,外接圆直径，则由正玄定理，得，.又由余弦定理，得，即故=说明：这里通过构造对偶式和三角形来求三角函数式的值是一种较高的变形技巧.总结：三角函数式的恒等变形是学习三角函数和其他数学知识的重要知识.它包括化简三角函数式，求三角函数式的值，证明三角恒等式等.三角函数式恒等变形的理论依据是代数恒等变形的一般方法和法则，三角函数式的变形公式.变形中要注意三角函数定义域和值域的要求，以及符号的变化和选择.3.3 “0”的变形技巧恩格斯在自然辩证法一书中指出：“零不只是一个非常确定的数，而且它本身比其他一切被要所限定的数都更重要，事实上，零比其他一切数都有更丰富的内容零乘以任何一个数，都使这个数变为零，零除以任何一个不等于零的数，都等于零，”由于零具备许多特殊的性质，因此，在解题活动中我们若能多这些特性加以注意，对于解题的顺利进行是大有帮助的，下面我们举例几个“0”的特性在解题中的应用.例3.1 若，求证.证明：因为，又因为，故分析：通过观察可发现可以变形为，即式子加了.则再利用不等式的性质可方便解决这道题.例3.2 在等差数列和等比数列中，求证：当时，.证明：（分子上加“0”）=分析：本题主要在变形，即分子加上0，再利用不等式和等差数列的有关知识去解即可.例3.3 在数列中，求（1）通项，（2）前项的和.解：（1）令，为的前项和，则是首项为5，公差为2的等差数列.因为，=所以，（2） = =分析：本题主要应用了，一直到然后再利用等差数列的知识便可解决这道题目.总结：“0”是一个很有用的数字，在数学解题中若能灵活应用它，则会帮助我们顺利地解题.如果有些题目可以借助“0”来解决，我们应该充分利用“0”的有关特性去解决.这样可以很快确定解题方向，提高解题效率.3.4 “1”的变形技巧众所周知“1”的变形表述形式是十分丰富的，在数学问题的求解活动中，如果我们善于捕捉“1”，恰当地用“1”来解决数学问题，会使问题的解决显得十分的简洁明了.下面我们来看它的应用.例4.1 化简.解：原式=1说明：本题充分利用使问题巧妙解决.本题也可以用三角函数的知识来解答，但是比较麻烦.例4.2 若，求证.分析：由均值不等式有 （1）（1）式左边是个正数之积，右边是的次乘方，而求证式左边是个正数的积，但任何数乘以1其值不变，因此，我们可以在求证式的左边乘以个1，将其视为正数之积.证明：=说明：这里的有个.例4.3 在等差数列中，公差，设，则=（ ）.解：因为所以 故 =分析：这里巧妙的运用1使问题得以解决.即式子变形为而这里的.例4.4 设，求证.解：（1）若，中有两个或三个为负， 不妨设，则，即矛盾，因而，中至多有一个为负.（2），中只有一个为负时，不等式显然成立.（3）当，均为非时， = 同理故分析:这道题如果不认真去思考，那么将很容易遗漏（1）和（2）这两种情况.即要讨论，这三个数的正负情况.而第三种情况用到了1和0的变形技巧，即用到了1的变形技巧，而用到了0的变形技巧.然后再利用不等式的性质便可解决这道题.总结：通过以上的例子可以看出，如果借助“1”来解决有关的数学问题，则效率非常高，因为“1”的变形是多种多样的，对不同的题目，“1”的变形是不同的.有些题目若能利用“1”来求解，那么我们应该灵活应用“1”去解决.第四章 代数变形中常用的技巧4.1 代数恒等式和恒等变形两个代数式A、B如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A B或A B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形.恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形.代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展.代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用.中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形的经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率.代数恒等变形包括的内容比较多，本章将着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用.4.2 代数中常见的变形代数中常见的变形有整式变形、分式变形、根式变形、对数变形、指数变形、复数变形等等，而各种变形中所用的方法又多种多样，下面我们将具体介绍.4.2.1 整式变形整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识.这些知识都是代数中的最基础的知识.有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形.例4.1 化简分析：此题若按常规方法先去括号，再进行合并同类项进行恒等变形的话，计算会复杂.而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法.解：设，则，.于是原式=0例4.2 分解因式（1），（2）.分析：本题的两个小题，若按通则变形，则困难重重，不知从何下手，但从其含平方项来研究，考虑应用配方法会使变形迎刃而解.（1）题先将括号展开，并把拆成和，再分组就可以配成完全平方式.（2）题用添项、减项法加上再减去，即可配方，然后再进行变形分解.解：（1）原式= = = = （2）原式= = = 以上两例充分说明了，配方法、因式分解法、换元法都是恒等变形的方法与基础，它们都是学习数学的有力工具，是解决数学问题的武器.因此，这些变形技巧必须熟练掌握.4.2.2 分式变形众所周知，对学生而言，分式的变形较为复杂，也很讲究技巧.通分化简是常规方法，但很多涉及分式的问题仅此而已是不够的，还需要按既定的目标进行变通，这时将分式分解成部分分式、分离常数、分子变位等便成了特殊的技巧，灵活应用这些变形技巧便会使问题迎刃而解.有关分式的计算、化简、求值、证明，常常采用分式的变形技巧.（一） 将已知条件变形，再直接代入例4.3 已知，并且， 试求的值.分析：此题若按常规方法，把已知条件直接代入所求进行计算，计算会很复杂，也不容易求得正确答案.通过观察已知和未知的式子，考虑将已知条件进行变形，再整改代入未知中去，计算起来比较简单.因此，对已知条件进行变形也是非常必要的.解：由已知得，所以，同理，所以原式= （二） 应用比例的基本性质进行恒等变形例4.4 已知，求的值.解：由已知条件知，把已知条件中的等式变形并利用等比性质消去，得 原式= （三） 利用倒数知识进行恒等变形例4.5已知，为实数，且，求的值.解：显然、均不为零，故将三个条件分式两边分别取倒数，得：，再逆用公式加法法则变形得：，三式相加得，再通分变形得两边取倒数得，所以原式=本题多次应用了通分，逆用通分，取倒数等恒等变形，使问题得到了解决，说明这些方法都是代数变形的重要方法，这些技巧应理解掌握.（四） 利用常值代换进行变形例4.6已知，求的值.解：原式= =1本题的解法很巧，若将所求通分化简，再代入已知或将已知变形再代入所求都不易求出结果.习惯上是将字母换成数，而此题是将数代换成字母，反而收效较好.因此，常值代换也是恒等变形的重要技巧.（五） 利用设比例系数进行恒等变形例4.7 已知，求的值.解：设，则，原式=0此变形是解有关等比问题的重要技巧.（六） 利用添项、拆项进行恒等变形例4.8 已知，求的值.解：由，知，故原式=（七） 利用运算定律进行恒等变形例4.9 求值解：原式= = = =885（八） 利用整体代换思想进行变形例4.10 已知，求的值.分析：此题若用常规方法先求出的值，再代入中进行计算是很繁的，如果注意到运用立方和公式及整体代换进行变形，问题就很简单了.解：由，可知，故原式=本题还运用了配方，等式两边除以同一个不为零的数的变形技巧，这样做的目的是使已知条件与所求式之间的关系更加明朗化，便于代入，使运算更简便.（九） 利用逆用通分进行恒等变形例4.11 化简.分析：这类问题在通常情况下是整体通分，但本题这样做显然很繁，若在每个分式中逆用通分进行“裂项”的恒等变形，则十分简捷.解：原式= =（十） 利用分离常数的方法进行恒等变形例4.12 解方程.分析：如果按照常规思路整体去分母，显然运算很复杂，若采用分段化简，分离常数，可化繁为简.解：原方程可化为即再进行变形得 （十一） 利用换元再约简的方法进行恒等变形约分是分式化简的重要手段之一，这样变形技巧贯穿整个分式的学习过程中.例4.13 化简.解：设，则原式= （十二）利用主元代入及消元思想进行恒等变形例4.14 若，则=（ ）.（A） （B） （C） （D）解：以、为主元，由已知得，利用消元变形求得，原式= 故选（D）由以上的论述可知：分式的变形一般有三种思路，先变形条件，以便运用；先化简待求式，这是为了利用条件；将条件和待求式同时变形，容易看出二者的关系.也就更容易找到变形技巧，使变形简单明了，更具可操作性.4.2.3 根式变形有关根式的计算、比较大小、化简、求值等，经常应用到根式的变形技巧，特别是二次根式的运算，它是中学代数中的一个难点，不少题目用常规方法去解比较繁琐，所以解题中要根据题目的特点，巧用一些运算技巧，才能达到事半功倍的效果.（一）巧用运算性质进行恒等变形例4.15 计算.分析：逆用运算性质，再用平方差公式.解：原式= = =（二）巧用因式分解进行恒等变形例4.16 计算.解：原式= = = =（三）利用分母有理化进行恒等变形例4.17 计算.解：原式= = = =（四）巧用平方进行恒等变形例4.18 化简.解： =又 （五）利用拆项技巧进行恒等变形例4.19 计算.解：原式= = （六）利用换元技巧进行恒等变形例4.20 化简.解：设，则原式=（七）利用配方法进行恒等变形例4.21 化简.分析：本题若采用分母有理化，计算会很复杂，若采用将分子配方，再分解因式后，与分母约分的方法会很简单.解：原式= = =（八）利用分子有理化进行恒等变形例4.22 不求根式的值，比较与的大小.解：以上所述的这些二次根式的变形技巧，在解决二次根式的问题时，有很大的用处，因此，它作为一种代数变形技巧应被很好的掌握.4.2.4 指数变形 有关指数的变形，一般都是利用幂运算法则进行较简便，而对一些比较大小的题目，就更讲究变形的技巧，主要是将底数变为相同，或将指数变为相同.（一） 放缩变形例4.23 设，则是（ ）.（A）不大于的数 （B）不小于的数 （C）绝对值大于且小于的数 （D）解： =故选（B）（二） 利用开方进行变形例4.24 ，的大小关系为（ ）.（A） （B） （C） （D）解：，故选（B）（三） 利用乘方进行变形例4.25 设，则、的大小关系是（ ）.（A） （B） （C） （D）解：，又 ，故选（C）（四）利用求商进行变形例4.26 已知，则、的大小关系是（ ）.（A） （B） （C） （D）解：，同理，所以故选（A）上述四例充分说明了，指数变形技巧在解题中的作用和地位，离开了这些变形技巧，解题思路就会受阻，解题无从下手，因此变形技巧在解题中起着举足轻重的作用.4.2.5 对数变形在对数式的恒等变形中，应注意真数与底数间的相互关系，灵活运用运算法则进行化简和计算.对数的变形主要考虑换底和底数的选择.例4.27 讨论函数在定义域内的单调性，并证明你的结论.分析：直接利用单调性的定义进行探索，变形极易受阻，所以，利用对数换底公式进行变形，可供选择的底数有、和，但、未完全具备对数底数的资格，故选择以为底进行变形.解：据及复合函数的“同增异减”法则知，原函数在区间（，）和区间（，）上均为减函数.由此便可知本例的答案.证明请自己试试.4.2.6 复数变形复数的变形技巧对解题的繁简有着决定的作用，比较有典型的有三角变形，代数变形，运用模与共轭的性质进行变形，运用虚根进行变形.例4.28 已知,是两个不相等的非零复数，设，.（1）若是纯虚数，求证： ；（2）若，试判断与的大小关系.证明：（1）是纯虚数 ，即 将，代入便可变形出； （2）由得， ,非零，所以，从而 = 同理可得 故代数恒等变形必须根据运算法则和运算律进行，必须遵循运算法则，并按运算法则在其定义域内进行.变形要保证正确合理，推理运算要简明，避免繁杂，变形还有适用，具有可操作性.上面所论述的六大类二十多种变形技巧都能符合代数变形的基本要求，都从不同的侧面说明了代数变形的技巧.总之，代数变形的方法与技巧远远不止于以上这些，但上述几种是最基础的，最本质的，也是最常用的变形技巧，若在平时的学习及教学中，能留意用上这些变形技巧，并长期积累与消化，对我们提高分析问题与解决问题的能力是很有好处的，同时也就有良好的思维品质形成.第五章 结论由于中学数学的改革及社会发展的需求，以及提高我们的应试能力和解决实际问题的能力，数学变形技巧作为一种解题的手段越来越被人们所喜爱，但是它并无一定之规，所以这就需要我们在平时的学习中加以运用和积累.本文对中学数学中的初等数学和代数中的一些变形技巧加以梳理、归类，利用大量的例子来阐述说明.这也无疑对我未来的中学教师生活起着指导性的作用，在中学数学中熟练掌握了基本的变形技巧，这会使你在解题时得心应手，甚至会提高你对数学的兴趣和增强对数学学习的信心.我们在解数学题得过程中难免会遇到这样那样的问题，那么我们应该怎么样去解决才使问题变得简单易懂