（机械电子工程专业论文）大规模互连结构电容快速提取算法的分析.pdf

硕士论文 大规模互连结构电容快速提取算法的分析 摘要 ilyullll2llllllolllllli6lllll 1 lll4llllll9lllll喈 随着高性能集成电路技术和集成电路封装技术的发展 精确快速提取电容参数对数 模混合集成电路芯片的延迟性和信号完整性分析越来越重要 边界元方法 b e m 的优势 是变量少 精度高 能适应处理复杂的结构等 边界元方法是很多电容提取算法的基础 边界元方法的关键是对稠密线性系统的存储和求解 但是构造稠密矩阵的消耗代价很 大 这就限制了分析问题的复杂性 本文提出利用多层u v 方法 m l u v 力u 速均匀介质下间接边界元法提取电容 该方法 是基于低秩分解的方法 主要包含了通过对远互作用快速均匀采样建立矩阵帅 从 而对整个阻抗矩阵实现了离散和分解 通过三个基本互连结构如3 x 3 互连结构 交叉指 型 螺旋管电感结构来验证该方法在一定的精度内可高效快速提取电容参数 针对互连结构不断地向高集成化 大规模化发展 本文提出了使用基于低秩分解的 多层矩阵压缩方法 m l m c m 解决三维几何结构中的互耦电容提取的静态问题 该方法 将阻抗矩阵分解为三个矩阵 分别为矩阵队卿d 该方法对计算区域进行分层划分加 速迭代求解中的矩阵矢量乘时间 它的构建填充与积分核 格林函数 无关 给出三个 算例如5x5 编织互连结构 2 0 x2 0 大规模互连结构 随机分布互连结构 m l m c m 算法 的内存需求和计算时间复杂度是o n 在电路设计中互连线不仅仅分布在均匀介质中 同时也会分布在分层介质中 本文 提出利用多层u v 方法 m l u v 力i 速分层介质下间接边界元法提取电容 考虑到介质层对 互连线寄生电容的影响 引入介质交界面等效电荷 根据介质交界面满足的边界条件 建立了电位系数矩阵 将这个阻抗矩阵分四个部分 分别进行u v 分解 保证了电位矩 阵填充时间变少和内存需求减小 关键词 静态分析 电容提取 间接边界元法 m l u v m l m c m 互连结构 硕士论文 a b s t r a c t i nt h ed e s i g no fh i g hp e r f o r m a n c ei n t e g r a t e dc i r c u i t sa n dp a c k a g i n g f a s ta n da c c u r a t e c a p a c i t a n c ee x t r a c t i o ni si m p o r t a n tf o rt i m i n gv e r i f i c a t i o na n ds i g n a li n t e g r i t ya n a l y s i so f d i g i t a la n dm i x e d s i g n a li n t e g r a t e dv l s ic h i p s t h ea d v a n t a g eo ft h eb o u n d a r ye l e m e n t m e t h o d b e m i s 晰t l ls m a l l e rn u m b e ro fu n k n o w s h i g hp r e c i s i o na n dt h ec a p a b i l i t yo f a n a l y s i so fi n t r i c a t es t r u c t u r e t h e r e f o r et h eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o di sap r e f e r e dm e t h o df o r m a n yc a p a c i t a n c ee x t r a c t i o nt e c h n i q u e s s t r a i g h t f o r w a r da p p l i c a t i o no ft h eb o u n d a r ye l e m e n t m e t h o di n v o l v e st h es t o r a g ea n ds o l u t i o no fad e n s el i n e a rs y s t e m w h i c ha r ec o m p u t a t i o n a l l y e x p e n s i v et os o l v e a n dt h i sl i m i t st h ec o m p l e x i t yo f p r o b l e m s t ob es i m u l a t e d t h i st h e s i sa p p l i e dt h em u l t i l e v e lu v m e t h o d m l u v t oa c c e l e r a t e di n d i r e c tb o u n d a r y e l e m e n tm e t h o dc a p a c i t a n c ee x t r a c t i o ni nt h eh o m o g e n e o u sm e d i u m t h ep r e s e n t e da l g o r i t h m i sar a n k b a s e dm e t h o d t h es u b i m p e d a n c em a t r i xi sa p p r o x i m a t e db yap r o d u c to f t w om u c h s m a l l e rr e c t a n g u l a rm a t r i c e sua n dv t h ee f f i c i e n c yo ft h em e t h o di sd e m o n s t r a t e db yt h e s i m u l a t i o no fac o m m o nb e n c h m a r kp r o b l e m a3 x 3b u sc r o s s i n g ai n t e r d i g i t a lc a p a c i t o r a n d as o l e n o i d a li n d u c t o r t h em e m o r ya n dc p ut i m er e q u i r e m e n t sa r es a v e ds i g n i f i c a n t l y f o rt h ed e v e l o p m e n to fi n t e g r a t ec i r c u i ta n dm i c r o m o d u l e an e wm u l t i l e v e lm a t r i x c o m p r e s s i o nm e t h o d m l m c m i sd e v e l o p e dt os o l v ee l e c t r o s t a t i c sp r o b l e m st h a ta r i s ei nt h e e x t r a c t i o no fc o u p l i n gc a p a c i t a n c e si nt h r e e d i m e n s i o n a l 3 d g e o m e 仃i e s t h em e t h o dh a st o s e tu pi n c o m i n gc o m p r e s s i o nm a t r i x 阢o m g o i n gc o m p r e s s i o nm a t r i x e ska n dt r a n s l a t i o n m a t r i xd t h em u l t i l e v e lp a r t i t i o n i n go ft h ec o m p u t a t i o n a ld o m a i ni su s e dt oa c c e l e r a t et h e m a r x v e c t o rm u l t i p l i c a t i o n si n v o l v e di nt h ei t e r a t i v es o l v e r s a n di ti sk e r n e lf u n c t i o n g r e e n sf u n c t i o n i n d e p e n d e n t i nt h i st h e s i sw ed e m o n s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h et e c h n i q u e b yt h r e ec a s e s 5 x 5w o v e nb u s 2 0 x 2 0w o v e nb u s a n dap r a c t i c a l3 l a y e ri n t e r c o n n e c t s t r u c t u r e i ti sc o n c l u d e dt h a tf o rm o d e r a t es i z ep r o b l e m s t h em e m o 巧a n dc p ut i m e r e q u i r e m e n t so f t h em l m c ma l g o r i t h ms c a l ea sd i i nt h ec i r c u i td i a g r a mi n t e r c o n n e c t sn o to n l yd i s t r i b u t ei nt h es i n g l em a t e r i a l b u ta l s oi n m u l t i l a y e rm a t e r i a l s t h u st h i st h e s i st h em u l t i l e v e lu vm e t h o d m l u v i sa p p l i e dt oe x t r a c t c a p a c i t a n c ei n t h ei n h o m o g e n e o u sm e d i u m f o rt h ei m p a c to fm u l t i l a y e rm a t e r i a l so n p a r a s i t i c a lc a p a c i t a n c eo fi n t e r c o n n e c t s t h i st h e s i si n t r o d u c e sac h a r g el a y e ro fd e n s i t y c o n s i d e r i n gt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n so nt h ed i e l e c t r i c d i e l e c t r i ci n t e r f a c e s t h ep o t e n t i a l c o e f f i c i e n tm a t r i xi sd i v i d e di n t of o u rs u b m a t r i c e s a n d t h e ya r ea c c e l e r a t e db yt h e m u l t i l e v e lu vm e t h o d r e s p e c t i v e l y t h i st e c h n i q u es a v e st h ec p ut i m ea n dm e m o 巧 t t 硕士论文 大规模互连结构电容快速提取算法的分析 r e q u i r e m e n tg r e a t l y k e y w o r d s c a p a c i t a n c ee x t r a c t i o n e l e c t r o s t a t i ca n a l y s i s e l e m e n tm e t h o d m l u m l m c m i n t e r c o n n e c ts 伽l c t l l r e i 硕士论文 大规模互连结构电容快速提取算法的分析 i 绪论 1 1 互连电容提取的研究背景和意义 早期2 0 世纪5 0 年代 微波电路的发展历程由分立器件到平面集成电路 再发展到 三维的多层复杂集成电路 随着集成电路的密度不断增加 多层介质中器件之间的传输 线以及互连线主要采用多层金属线 随着集成电路工艺特征尺寸已缩小到了深亚微米量 级 o 5 微米 甚至几十纳米量级 互连线已经取代半导体中的晶体管成为影响电路 性能的重要因素 同时互连线之间的电磁耦合效应严重影响电路中的电磁场导致电路性 能的改变 在某些特定的电路中 这些耦合效应可等效为电容 电阻或电感 可作为该 电路的必要元件 有一定的存在意义 但是在大多数电路中 耦合效应导致电路的各方 面性能的降低 所以为了更方便地掌握电路的性能 必须进行精确地建模获得电路系统 的寄生参数 在大规模集成电路 v l s i 的相关领域中 互连线间电磁耦合效应已经变得越来越重 要 在深亚微米半导体工艺下 片上互连线间耦合不能再认为等势互耦合 随着半导体 器件和互连线尺寸的不断缩小 这样就导致了电路设计的关键指标 性能 抗扰度等 受到互连线的越来越多的决定或者很大的影响 但对于互连线的影响具体程度的问题 目前还没有定性的标准 但是互连线对集成电路的影响将越来越大的趋势已得到广泛认 可 而实际芯片设计项目中由于未考虑互连线影响而使设计周期变长的例子 则是这个 趋势的鲜活证据l 根据纳米工艺尺度的需求 集成电路的设计必不可少的需要考虑互连线的延迟 串 扰和信号完整性等寄生效应 互连线寄生参数的精确建模及分析在微波集成电路设计中 是非常重要的环节 图1 1 1 给出i c 电路设计的基本流程图 寄生参数提取的任务就是 模拟传输线间的电磁效应 寄生参数提取的内容除了包含寄生电容之外 还有寄生电阻 和寄生电感及其它电学参数 图1 1 1 中的流程图的每一步设计都要验证 若验证不能通过需马上进行修正或重 新设计 所以在每一步的验证中都需要快速 精确的提取和分析互连线寄生参数 即寄 生参数的提取应用于每个环节 而寄生参数的计算对设计的每个环节有很大的影响 2 1 随着时钟频率的快速增长和半导体技术的发展 微波电路和普通的v l s i 电路之间 的差异越来越小 因此 微波模型和互连参数的精确提取成为这两个领域远景研究的重 要任务 集成电路中互连线的寄生参数影响着所设计电路芯片质量的多个方面 其中包 括传输延迟 i r 压降 时钟歪斜 串扰效应 电漂移和功率消耗等 快速准确地提取 互连线寄生参数为减少这些效应提供一定的分析验证基础 能够大幅度缩短集成电路设 计周期和节省成本 具有非常重要的意义 其中电容参数由于影响到电路的延时 功率 l 绪论 硕士论文 消耗和信号完整性而引起人们更多关注 同时深亚微米 d e e ps u b m i c r o n d s m 技 术下寄生电容提取也变得更加复杂 在目前的工艺尺寸及时钟频率发展的情况下 互连 电容对于总时延的影响最为显著 互连电容分析对保证开关速度等电路性能具有很重要 的意义 因此受到工业界的广泛关注 本文主要讨论三维互连寄生电容提取的快速方法 前端 一 i 一 后端 图1 1 1 集成电路设计的基本流程图 本文下面将会介绍互连线电容提取的现状 以及三维电容提取数值方法 1 2 互连电容提取的现状 1 2 1 互连电容提取的发展 随着i c 技术的发展 电容提取的技术已经从早期的一维提取方法 1 d 二维提取 方法 2 d 2 5 维提取方法 准 3 d 再到三维电容提取方法 3 d 最终满足所需精度 在 工业界中普遍采用2 d 提取方法和准 3 d 提取方法 而目前学术界的主要研究重点是三 维电容提取方法 在这一章中 简要介绍l d 和2 d 准 3 d 和商用电容提取工具采用三 维电容提取方法 最后三维电容提取方法的一些细节 根据平板电容的公式可知 c 4 r e e d 1 2 1 电容与板间重叠面积成正比 与板间距成反比 当互连线层数不超过两层时 可采 用一维电容提取方法 但是所得到的电容精确度不高 在多层互连系统中为模拟出更精 硕士论文 大规模互连结构电容快速提取算法的分析 确的电容 文献例提出了二维电容提取方法 该方法是在模拟结构的横截面上使用解析 方法或数值方法提取出相关电容 但是二维电容提取方法忽略三维结构模型一些细节 只适合于一些特定的三维模型如传输线 2 5 维又称为准 3 d 方法 它是从二维方法衍生来的 其主要思想是用二维方法解 决三维问题 将三维模型分解为两个正交二维横截面 然后分别进行二维方法提取 再 将所得结果组合 最终获得所需的寄生电容值 4 5 1 在集成电路发展的初期阶段和中期 阶段 由于互连模型的尺寸大和时钟频率要求低 所以互连延迟对电路的性能影响不大 2 d 或者准 3 d 的提取方法暂时满足了当时的电路分析的要求 准 3 d 方法的优点是计算 速度快 而缺点是精确度不高 难以准确处理复杂的三维互连结构 特别是针对互电容 来说 通常误差会超过1 0 不能满足信号完整性所提出的要求 但随着深亚微米技术的发展 2 d 或者准 3 d 计算方法已经不能满足精确提取互连 电容的要求 进入9 0 年代以后 由于三维电容提取方法是针对实际三维互连结构 三 维求解器的计算精度高 并能适应工艺结构的复杂多样性 得到很迅速的发展 已成为 寄生电容提取研究的主要方向1 6 1 2 2 三维电容提取数值方法简介 三维场求解可采用区域型离散方法 7 1 0 j 边界积分方程方法 2 1 1 2 2 半解析方法 5 和随机漫步方法瞄 等 区域型离散方法包括有限差分方法 f d m 7 有限元方法 f e m 8 和不变性测量方程法 正i 9 1 0 1 边界积分方程方法有矩量法 m o m 1 1 1 间接边界元法 i b e m z 4 1 3 i 和直接边界元法 d b e m 1 9 2 2 1 半解析方法是解析公式和传统的数值方法 相结合的一种方法 5 随机漫步方法则基于统计理论 2 3 f d m 和f e m 需要将整个三维区域离散 因而构造线性代数系统很大和计算时间很 长 但它们的发展相对成熟并且性能稳定 因此仍然广泛地应用到工业界 常用来验证 新方法的参考依据 例如 著名2 3 d 电容提取软件 r a p h a e l 基于f d m a n s o f l 软 件中 r a p h a e l 基于f e m l 7 j 但随着互连结构越来越复杂 在精度不变的情况下 网 格划分就越精细 导致所产生的电位系数矩阵维数增大 求解时间变长 无法适应快速 提取大规模版图的现实需求哺 自2 0 世纪9 0 年代中期 边界元法的主要思想是将所需区域中边界积分方程取代微 分方程 然后对所求区域边界进行离散或剖分 得到稠密的线性代数方程组 通过求解 这个线性方程而得到边界上所赋予变量 1 8 1 9 由此可知 它只需要离散区域边界 大大 减少了变量的数目 因此边界元法能够适应复杂结构的模型 同时精度可高于有限元方 法 边界积分方程已经开始取代区域离散化方法 目前 边界元方法特别适合电路设计 中平面半导体工艺特点 b e m 结合加速算法成为当前三维场求解器的研究热点 直接边界元法是以直接边界积分方程 b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n b i e 为基础 而直 l 绪论 硕士论文 接边界积分方程是根据格林公式和l a p l a c e 方程的性质推导出来的 但是直接边界元法 一般适合处理有限区域模型的电容提取 未知函数包含电势和法向电场强度 它们是客 观存在于模型的边界面上的 由于直接边界元法将整个边界区分成三种类型 分别为自 然边界 介质交界面边界和强加边界 而具有局部化性质 针对多种介质问题该方法所 生成的电位系数矩阵是稀疏的 但是在边界上存在大量的高阶奇异 近奇异性积分处理 特别是对于大规模的复杂结构 相比之下 间接边界元法中方程组的变量要少很多 间接边界元方法是在早期矩量法的基础上发展起来 通过在边界面作等效处理得到 等效电荷密度 并作为未知函数 建立间接边界积分方程组 求解出边界面上的电荷 最终得到电容的分布 1 7 它只离散区域边界 降低了问题的维数 极大地减少未知量数 同时也降低了模型的几何复杂性 最终提高了处理复杂边界的能力 然而该方法形成了 一个稠密的矩阵 给矩阵的构造和求解过程带了很大困难 近几年 不断地提出了多种 加速算法大大改善了间接边界元法 例如奇异值分解方法 s v d u 4 j 快速多极子方 法 1 2 j 层次式计算 1 7 1 预修正的f f t 算法 1 5 1 6 以及基于小波变换的加速方法 1 8 等 本文采用 多层矩阵压缩方法加速 在以下几章会详细介绍 半解析方法需将整个目标区域分解 然后对各个子目标区域分别采用与其结构特点 相符的半解析方法处理 6 但是在某些目标区域中几何复杂性是不同的 对于几何结构 规则的子区域就直接利用解析公式提取 具有速度快 所需的内存也远少于其它算法的 优点 而对于复杂的子区域则一般采用有限差分方法 这样就是对有限差分法的进行了 改进 1 9 1 1 3 论文的主要工作 本文的内容安排如下 第一章首先简要地介绍了互连电容参数提取的研究背景和意义 其次介绍了互连电 容参数提取的现状 重点介绍了三维电容提取数值算法 最后对论文的主要工作进行了 汇总 第二章介绍了三维寄生电容的计算 间接边界元法提取电容的基本原理以及求解线 性方程组的各种数值方法 最后给出了简单结构算例验证了间接边界元方法的精确性 第三章详细介绍了多层矩阵压缩方法在均匀介质下电容提取中的应用 分别介绍了 m l u v 方法和m l m c m 的基本原理 并将m l u v 方法和m l m c m 分别应用到均匀介 质中电容提取 根据实际电路工艺要求 不仅考虑到常规的互连线结构 同时也考虑到 编织结构 随机分布结构等 经过算例的分析 证明了多层矩阵压缩方法减少了电容提 取的时间和内存消耗 为快速提取大规模版图电容参数提供了一个良好的方法 第四章简要介绍了分层介质下大规模互连线寄生电容提取所存在的问题 在实际工 程中 互连线处于不同介质中 介质表面离散出过多未知量 造成电位系数矩阵的形成 4 硕士论文 大规模互连结构电容快速提取算法的分析 和求解很大困难 应用m l u v 方法可以减少系数矩阵的存储内存 提高迭代求解中矩 阵矢量乘的速度 本文分析了分层介质下大规模互连结构 说明了m l u v 方法显著提 高了计算速度 第五章对全文所做的工作做了总结及展望 并对进一步可开展的工作做了大体的规 划 2 间接边界元法提取三维互连结构电容硕士论文 2 间接边界元法提取三维互连结构电容 目前互连线电容提取广泛采用边界元方法 边界元方法只需获得所求目标的边界数 据 因而相对其它的方法来说未知量需求很小 边界元方法所构造的代数方程具有较少 阶数的特点 同时对复杂结构的互连线提取寄生电容有一定的优势 目前边界元方法可 分为直接边界元方法和间接边界元方法 直接边界元方法是直接边界积分方程为基础公 式 对于单个区域系统矩阵是稠密的 具有局部稀疏性 但是需要在大量边界区进行高 阶奇异 近奇异积分处理 给电容提取带来了难度 同时一般适用于有限区域的电容提 取 间接边界元方法是以单层电位公式为基础 构造出稠密系数矩阵 能够处理任意分 层介质环境下任意导体结构电容提取 2 1 寄生电容的计算 互连结构的电容参数可以表示成一个电容矩阵c 该矩阵代表互连线中导体之间互 电容和自电容 而电容提取的最终目的是将该矩阵c 求解出来 1 5 2 0 假设互连结构中 n 1 个金属导体 如图2 1 1 所示 每个导体的电荷均匀分布在表面上 第f 个导体的 表面总电荷为q 该导体的电位是识 即偏置电压 根据电磁学基本知识可得电容 电 位和电荷满足以下关系 c 罢 2 1 1 u 7 对于含有刀 1 个导体静电独立的系统 每单个导体的周围导体表面电荷所产生的 电场会影响其自身电荷分布情况 而每个独立导体的电位值识不仅仅与导体自身的表面 电荷相关 同时与另外其他的导体表面电荷也相关瞄 假设导体的编号分别是o n 令导体0 的电位为参考电位 或为参考地 结合根据公式基本公式 2 1 1 通过叠加 原理 每个导体上的电位与所有导体表面电荷的关系表示如下 a 口1 l q q 2 q a l i q 口l q 九 a i l g c t t 2 q 口殷鲛 口 b l q 九 a l g a n 2 q 2 a 破q a q 2 1 2 公式 2 1 2 化简成矩阵形式 妒 a q 2 1 3 在式 2 1 2 中 a 是电位系数 它由所在导体的几何形状 位置和所在介质相对介 电常数决定的 2 5 1 定义如下 6 硕士论文 大规模互连结构电容快速提取算法的分析 旷虬黼黼 q q 一般提取电容的过程中 通常提供导体的电位或者导体间的电压 而非导体表面的 电荷 所有为了满足实际的需求 我们对公式 2 1 3 求逆得到式 2 1 5 q 口 1 妒 卢 2 1 5 q 届1 咖 届2 如 展i 九 a 九 i 么 成 9 6 i 成2 也 卢 识 p 切屯 q 成l a 成2 屯 风晚 风屯 2 1 6 岛代表感应系数 该电感系数与电位系数是相互关联的 定义如下 岛 罢l 神 其它导体的电位为零c 2 7 通过引入部分电容 公式 2 1 2 也可以表示为 q q 办 c l 2 a 一九 c a 一晚 c 厶 办一九 q c 晚一卉 q 九一如 九 巴 九一九 q c 丸一办 c 2 屯一九 c 屯一九 丸 2 1 8 但公式 2 1 8 也可写为 q c 谚 q 咖一九 i l 2 3 疗 2 1 9 i 其中 g 是导体 与导体 之间的互电容 c 是导体f 的自电容 导体f 与导体0 之间的电位差 将 2 1 9 进行变形 2 5 1 q j c j 咖 i 1 2 3 万 2 1 1 0 当扣 时 q c 当f 时 c f 一q 由此可知只需求解出矩阵c 即可 l 如若将导体f 的电位为识 l v 此时称导体 为主导体 其余的所有导体的偏置电压 为零 则公式 2 1 1 0 变为 7 2 间接边界元法提取三维互连结构电容 硕士论文 q q c f q c 耐 q g q q g g q 蛾 o 裤 l 屯 0 2 1 1 1 通过求解积分方程 2 1 3 计算出每个导体块的表面等效电荷q 即得电容矩阵c 的 第f 列 根据公式 2 1 1 1 中主导体由1 变换到聆 最后得到整个电容矩阵 因此 要求 解电容矩阵需求解出偏压情况下导体之间的感应电荷即可 2 5 1 田 一 田如 田 图2 1 1 电容提取示意图 2 2 间接边界元方法的计算原理 在静场中计算的间接边界元方法通常也称为等效电荷方法 e c m 2 6 将导体的电位 通过表面电荷密度仃 表示 其前提条件是互连结构中的电荷分布均匀 仃 q a a 是代表面积 c r r 作为未知函数 e c m 是由矩量法发展而来的 三维电容提取转化为 二维电容提取 只需区域边界进行离散 相比于f d m f e m 具有未知量少 精度高等 特点 2 7 1 2 2 1 均匀介质中的边界积分方程 要获得电容矩阵 首先需要计算出导体表面的电荷 2 8 如图2 2 1 所示 互连导体 分布在均匀介质中 将互连线层间介质差异忽略 这是互连电容参数提取的最简单模型 若其介电常数s 满足以下积分方程 则均匀介质中互连电容提取等效为自由空间互连线 8 q q 硕上论文大规模互连结构电容快速提取算法的分析 电容提取 2 5 1 图2 2 1 均匀介质f 互连结构不恿图 空 j 盯 g d r 7 2 2 1 币代表已知导体的标量电位 盯是在导体表面s 上的表面电荷密度 是观察点 的坐标 是源点坐标 r 3 g 代表格林函数 冽 g 2 碉司1 2 2 2 s 是介质材料的电介常数 若在真空中 s s o 8 8 5 4 1 8 7 8 1 8 x 1 0 一f m 若在均 匀介质下 s c o s 其中 s 是代表相对介电常数 在集成电路中一般的所d 2 相对介 电常数是3 9 i 一 7 i 是表示观察点与源点之间的距离 可表示为 j 一 7 i 一 2 o 一形 2 一 2 2 2 3 对公式 2 2 1 进行g a l e r k i n 匹配 首先定义脉冲基函数厂 采用基函数对所需求 解未知的等效电荷分布进行展开逼近 肌 忙k s 2 2 4 0 仨s 其中 口 代表是面元s 的面积 同时将导体表面离散 个面元 设在每个面元墨上 的电荷q 是均匀分布的 即每个面元墨的等效电荷q 为常量 因此 方程 2 2 1 可被离 散为阱1 咖 z q n g 西 2 1 2 5 j s 由方程 2 2 5 可以看出每个面元s 的电位咖与所有面元s s 瓯上的电荷相关的 为求解胛个未知量 选取原脉冲基函数作为测试基函数 即 r f r 并代入 到公式 2 2 5 q 塌n 阶代数方程 2 5 2 间接边界元法提取三维互连结构电容 硕士论文 办 窆乃 乃 形声 形 办 石7 i 毋 咖 i 连 j 而 曲 涉 毒乃 形 g 形 办7 j 1 办 咖 s j 2 l s j a 公式 2 2 6 可化简为式 2 2 7 用 其中 口 三 掣是未知的面元电荷向量 2 2 6 2 2 7 y 三 掣是已知的面元电位向量 其 n 7 声 办 s p r 职 是电位系数矩阵 它的表达形式为 弓 z i 矽 乃 形 g 形 咖 s i s l 式 2 2 9 可化简为式 2 2 1o 弓2 丢片严 缈 式 2 2 7 可写成式 2 2 1 1 稠密的线性方程组 p l l p 上打l习 q 1 寸习 2 2 8 2 2 9 2 2 1 0 2 2 1 1 电位系数矩阵p 是对称稠密正定矩阵 因此 采用常规求解方法提取电容 所需计算复 杂度为o 2 根据求解线性方程组得到导体表面电荷分布g 导体f 上的总电荷量等于该导体等 效电荷值之和 同时也对应着相关互电容 q q j 吼 导体f 是主导体 一e 导体j l o 硕士论文大规模互连结构电容快速提取算法的分析 2 2 2 分层介质中的边界积分方程 团囵园囡 够 j 网门网 网网莎羽网网历习网网 i 葬鼽 嘞幽 争崩朋踟 坤t 彩螂呼肇i 础f 搏 黑僦 钆喊 州 网网网网网防羽网网 匿 i u ul juul j 团团 图2 2 2 分层介质下的互连线示意图 考虑到集成电路制造的实际需求 如图2 2 2 所示 实际互连线分布在不同介电常 数的介质材料中 因此 对于分层介质中互连线电容提取问题 在介质交界面引入极化 电荷密度 同时在金属表面和介质交界面上分布等效电荷 仍然采用自由空间格林函数 式 2 2 2 互连线分布在分层介质中满足下面边界元积分方程 1 2 咖 f 吒 g 西 f g 7 a t 2 2 1 2 s cs d 从式 2 2 1 2 看出电荷仃与垂的相互关系 其中 电位吼是导体表面的电荷密度 是介质交界面的极化电荷密度 疋 影分别是导体的表面和不同介质层之间的交界面 在介质与介质的交界面上以及金属与介质的交界面上的额外电位矢量满足等式 2 2 1 3 2 7 乞a 九 r l n o s 口a 丸 屹 2 2 1 3 式 2 2 1 3 中 是表示交界面的点坐标 是在介质a 中所处交界面点 的单位法向量 s 毛分别是各向同性介质交界面上下两区域的介电常数 a 屯 a 九 分别为交界面 上下两个介质层的电位函数 求解电荷密度采用g a l e r k i n 方法 在导体表面和介质交界面分别划分许多的小面 元 可采用三角形面元或四边形面元 本文一般都使用三角形面元 假设导体表面离散 成 个面元 s t 霹 g 殴 介质 介质的交界面离散成嘞个面元 群 霹 g 岛 同样在每个面元上引入 基函数 r1 硝 方m 群 2 2 1 4 l0 正砰 艮 勿 靠岛彩易晚研 三 堕壁塑堑壁堑墅堕呈鳖墅绁查 堡圭垒奎 一 lh 1 到 对式 2 2 1 2 等式两边同时进行内积 同时将公式 2 2 1 3 代入到公式 2 2 1 4 中可得 氐 p l 总 l 忍 i 儿 t 儿饥j i 吼 帆 钉冉 i j 纸h i i 慨 l 饥地j f 钆蜥 2 2 1 5 式 2 2 1 5 司化简为式 2 2 1 6 4 9 乏正 掰 j l l r 吼 o j l 苫 q 2 t 6 4 矩阵的元素分为四个部分 分别为 艺 屹 玩 4 矩阵维数是 嘞 9 2 耋j 吼是导体表面的等效电荷矢量 劬是介质交界面的极化电荷矢量 t 古 屹是导体表面的电位矢量 其中 电位系数矩阵乞的元素由公式 2 2 9 定义 同样 匕 皿 珊的元素定义如下 2 8 形 g 形磁彰 2 2 1 7 系数矩阵玩r n 的元素是 够 乞 耄 口印i 研i f d 杪 帆硼栅 2 2 1 8 既 r 啦的非对角元素为 酵 也一岛 暑 d d g 撕 口野写 2 2 1 9 3 g r r 7 锄 r n 4 r r 3 露表示场的面元处的法向量 的对角元素口明是毛 g 口 岛 2 综上所述 将积分公式 2 2 1 2 离散成方程式 2 2 1 5 后 根据已知导体表面电位确 定v c 通过迭代求解方程 2 2 1 5 得到导体表面电荷吼和交界面极化电荷乳 最终的得 到分层介质中的导体间的互电容 1 2 l i 1 昂 硕士论文大规模互连结构电容快速提取算法的分析 c f g 虻 2 2 2 0 e 导体j 2 2 3 求解线性方程组 无论在均匀介质电容提取还是在分层介质电容提取 积分方程都可化简成一个线性 的方程组 a x b 2 2 2 1 矩阵4 为满秩矩阵 对于均匀介质而已 4 是一个对称稠密的满秩矩阵 对于分 介质而言 4 是一个非对称矩阵 当系数矩阵的规模很大时 求解方程组 2 2 2 1 在整 个电容提取过程中比较耗时 一般来讲 求解线性方程组的方法有 直接法和迭代法 对于一般的直接法 如高 斯 g a u s s 消去法 l u 分解法 正交变换消元法等 其计算复杂度为o n 3 迭代法是 从某些初始值出发 用设计好的步骤逐步逼近方程组精确解 计算复杂度为o m n 21 m 为迭代次数 当m 远小于 时 迭代效率较高 对规模较大的方程组比较适用 根据 以上分析 求解式 2 2 2 1 通常采用迭代求法 目前得到广泛应用的有 g m r e s c g n r c g s 掣3 们 在k r y l o v 子空间迭代方法中 g m r e s 方法 广义最小余量法 具有很好 的收敛性和适应性 由于大型线性方程的求解是寄生电容参数提取的重要问题 它关系 到提取电容的精度和速度 因此 本文采用g m r e s 方法 2 3 验证间接边界元法的正确性 为了验证上述方法的有效性和正确性 以下给出具体结构的算例模型进行证明 以 下算例的计算平台均是在i n t e l r c o r e t m 2 处理器 1 8 7 g h z 主频 1 9 6 g b 内存下进 行的 使用3 2 位操作系统 迭代的收敛精度为1 0 3 通过与f a s t c a p 软件计算结果对比 说明间接边界元方法的正确性 算例1 如图2 3 1 所示3 x 3 互连结构1 3 均匀电介质相对介电常数s 1 0 每个导 体的横截面的宽度和高度均为1 2 1 上m 长度为8 4 l m 其上 下以及水平导体之间的距 离为1 2 p r o 根据图2 3 1 可知该结构是具有对称性的 因此表2 3 1 表2 3 2 列出该结 构的部分寄生电容 采用剖分大小为0 5 p r o 所得未知量大小为1 7 1 6 验证了间接边 界元方法程序计算的结果与f a s t c a p 的结果之间误差很小 2 间接边界无法提取三维互连结构电容硕一t 论文 导体 导体l 导体 导体6 图2 3 1 均匀介质中的3 3 互连结构 农2 3 1 均匀电介质3 3 互连结构f a s t c a p 计算部分电容 f f 导体导体l 导体2 导体3导体4导体5导体6 导体l0 3 8 6 4一o 1 2 9 0 0 0 1 4 9 0 0 5 6 9 0 0 4 7 7 6 0 0 5 6 9 导体2 旬 1 2 9 00 4 4 3 5 o 1 2 8 9 o 0 4 7 5 0 0 3 9 1 4 0 0 4 7 7 表2 3 2 均匀电介质3 3 互连结构i b e m 计算部分电容 f f 导体 导体i 导体2导体3导体4 导体5导体6 e r r o r 导体10 3 8 8 9 o 1 2 9 6 0 0 1 5 2 0 0 5 7 4 0 0 4 8 2 0 0 5 7 4o 9 6 导体2 0 1 2 9 60 4 4 6 2 田 1 2 9 6 o 0 4 8 2旬 0 3 9 7 0 0 4 8 20 9 2 算例2 如图2 3 2 所示 两个正交的互连分布在两层介质中 由下到一1 介质的相对 介电常数分别为 s 3 9 7 8 该互连尺寸是5 a m 5 a m x 5 a m 上下导体间的距 离是1 脚 从下到上介质层的厚度依次为 3 坍 2 a m 两导体的横截面是1 z m x l z m 导体的长度是3 z m 剖分尺寸为 0 3 a m 获得4 9 4 0 个未知量 下面表2 3 3 给出间接 边界元方法提取的电容值和f a s t c a p 软件提取的电容值 说明分层介质中的互连结构电 容提取方法的正确性 袭2 3 1 3 分层电介质l l 互连结构计算电容矩阵 l b e m 电容 f f f a s t c a p e r r o r c l l0 4 6 l o0 4 6 1 10 0 2 l c 2 20 5 2 2 40 5 0 5 03 3 3 0 c 1 2 c 2 1 0 3 4 1 0 3 4 4 51 0 2 6 硕士论文大规模互连结构电容快速提取算法的分析 冈 母一二 版图t 艺的参数信息 俯视圈 图2 3 2 互连两层介质三维结构示意图 在提取电容之前 首先需用a n s y s 软件对模型进行剖分 应考虑到剖分过粗不能很 好的模拟出实际结构 同时不能更好的反映模型表面的电荷分布 但当剖分过密时 提 取的电容值会存在奇异或近奇异积分误差 因此 要求选择最佳的剖分尺寸才能的得到 更高的电容提取精度 其次 由a n s y s 软件导出的剖分文件导入到程序中 建立边界元 积分方程组 求解边界元积分方程 在处理奇异性和近奇异性积分中会影响下一步计算 的速度和精度 采用高斯积分法进行二次积分和迭代法求解矩阵 此时计算量比较大 矩阵填充消耗和求解时问比较长 最后计算寄生电容 由于计算量很小 所消耗的时间 可忽略不计 2 4 本章小结 本章主要是以介绍间接边界元方法提取电容的基本原理为基础 给出了电容提取的 公式推导 利用其精确性实现互连参数的精确提取 同时给出了均匀介质3 3 互连模型 和分层介质互连模型 程序计算的结果与商业f a s t c a p 软件的提取结果进行了对比 验 证了间接边界元方法的正确性 结果分析表明两个计算结果在允许的误差范围内可以很 好的吻合 边界元法具有精度高 处理复杂形体能力强的优点 比较适合互连分析 但是构造 出的代数方程组的系数矩阵是稠密矩阵 为矩阵的求解带来了一定的困难 对三维问题 尤其如此 近年来 已经有各种加速方法相继提出 而本文将提出利用多层矩阵压缩方 法进行加速 来减少构造矩阵所需内存和缩短求解矩阵所消耗的时问 吣汐 3 基于多层矩阵压缩方法加速间接边界元法提取均匀介质下互连结构电容硕士论文 3 基于多层矩阵压缩方法加速间接边界元法提取均匀介质下互连结 构电容 3 1 概述 深亚微米技术和多层布线技术的发展使得集成电路的密度和工作频率急剧升高 互 连寄生效应对v l s i 电路性能 延时 功耗 可靠性和信号完整性 的影响不容忽视 如何有效的准确快速的提取寄生电容参数对电路的时延和串扰的分析显得及其重要 间接边界元法 b e m 是边界元法中数值结果精度较高的一种方法 间接边界元法求 解仅含有密度函数为未知量的积分方程 即方程中只有一个积分核 三维情形下为 1 r 因此 间接边界元法成为目前互连寄生电容提取的主流方法之一 直接求解间 接边界元法所构造的矩阵的计算量为o n 3 和内存需求为d 21 若 很大时 当前 的计算机的硬件资源满足不了分析大规模互连结构的需求 随着低节点系数材料及新半 导体工艺的引入 使得互连寄生电容结构日趋复杂 一方面电路介质层数增加 介质与 介质间成分层结构或为嵌套结构 另一方面互连线的数量增加导致求解未知量数目也增 大 这些对三维电容提取带来了很大的困难 若仅有间接边界元法快速提取电容是不切 实际的 为满足电容提取速度的要求和降低计算复杂度 计算时间需引入有效的加速算 法 自2 0 世纪9 0 年代以来 已相继有多种加速算法提出 1 9 9 1 年k n a b o r s 等提出了 间接边界元法与多极子加速算法结合 1 2 1 该方法将电场计算区域分为近场和远场 近场 区域采用直接计算方法 远场区域则用多极展开和局部展开近似计算方法 所以矩阵方 程的构造和求解时间大大的减少 该方法被称为快速多极子方法 f m m 已经有相应的 互连分析商用软件f a s t c a p 1 9 9 8 年ws h i 等提出了层次式加速电容提取算法 其方法 对积分核1 r 有很好的加速 但对其它的弱奇异的积分核 加速的效果不理想 l 7 1 基于 奇异值分解的加速方法于1 9 9 7 年由s k a p u t 等人提出 该方法不需要对积分内核进行 处理 并且是基于脉冲基函数的g a l e r k i n 离散化的方法 但是通常需要o n 1 次操作 o n l o gn 1 次操作完成一步迭代 1 4 1 1 9 9 7 年j p h i l l i p s 等人提出来的预修正f f t 算 法也同样有这样的计算效率1 1 5 1 6 3 2 基于m l u v 方法加速间接边界元法提取均匀介质下互连结构寄生电容 本节提出将m l u v