（基础数学专业论文）一类非线性色散波发展方程解的研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文主要在s o b o l e v 空间形”，p 2 中研究了一类非线性色散波方程 解的局部存在性以及对系数的依赖性，在加权s o b o l e v 空间h z ，其 中r = 1 2 ，3 中，证明了解的局部存在性。并且在低阶的s o b o l e v 空间 研究了带耗散项的色散波方程解的存在性。 全文分为四个部分： 第一部分：介绍研究背景、现状及本文主要结果。 第二部分：考虑非线性色散波方程在s o b o l e v 空间w ，p k 2 下，应 用k a t o 关于拟线性发展方程的理论，证明了解的局部存在性。并且研究 了非线性色散波方程的解对系数缈的依赖性。 第三部分：考虑非线性色散波方程在加权s o b o l e v 空间日z ，其 中，= 1 ，2 ，3 下。应用k a t o 关于拟线性发展方程的理论，证明了解的局 部存在性。并且可将相似的结论推广到s c h w a r t z 空间。 第四部分：考虑带耗散项的非线性色散波方程在低阶s o b o l e v 空 间h 3 俾) ，其中1 s 下解的存在性。 关键词：非线性色散波方程；柯西问题；s c h w a r t z 空间；方程解的局 部存在性；解对系数的依赖性；耗散。 江苏大学硕士学位论文 i nt h i sp a p e hw es t u d yt h ee x i s t e n c eo ft h el o c a ls o l u t i o n sa n dt h e d e p e n d e n c eo n t h ec o e f f i c i e n t 国f o ran o n l i n e a rd i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o n i nu s u a l ls o b o l e vs p a c e w ep r o v et h ee x i s t e n c eo ft h el o c a ls o l u t i o n si nt h e w e i g t h t e ds o b o l e vs p a c e a n ds h o ww e l l - p o s e d n e s so f t h ee q u a t i o ni nl o v e r o r d e rs o b o l e vs p a c e s t h e r ea r ef o u rs e c t i o n si nt h i sp a p e r t h ef i r s ts e c t i o n ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n da n da c t u a l i t ya n d s u m m a r i z et h em a i nr e s u l t t h es e c o n ds e c t i o n ，a p p l y i n gt h e o r yo fq u a s i l i n e a re q u a t i o n s ，w e o b t a i nt h el o c a le x m t e n c ef o rt h ec a u c h yp r o b l e mo ft h en o n l i n e a r d i s p e r s i v em o d e lw a v ee q u a t i o ni n w 4 p ( r ) a n dr e s e a r c hs o l u t i o nw h i c hi s c o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo nc o e f f i c i e n tc o 。 t h et h i r ds e c t i o n ，w ec o n s i d e rt h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo f t h en o n l i n e a rd i s p e r s i v em o d e lw a v ee q u a t i o ni nw e i g h t e ds o b o l e vs p a c e ， w i t hk a t o sm e t h o df o ra b s t r a c tq u a s i - l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ，w eg e tt h e e x i s t e n c eo ft h el o c a ls o l u t i o nu n d e rs o m ea s s u m p t i o n s 。 w ea l s or e s e a r c hd e p e n d e n c eo fs o l u t i o n so nt h ec o e f f i c i e n tc oi n u s u a l ls o b o l e vs p a c e t h ef o u r t hs e c t i o n ，w eg i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o ras o l u t i o no ft h e n o n l i n e a rd i s p e r s i v em o d e lw a v ee q u a t i o nt oe x i s ti nl o w e ro r d e rs o b o l e v s p a c e h , l s k e yw o r d s ：l o c a lw e l l - p o s e d n e s s ，c a u c h yp r o b l e m , n o n l i n e a r d i s p e r s i v ew a v ee q u a t i o n , w e i g h t e ds o b o l e vs p a c e s h 2 7 ”，s c h w a r t zs p a c e ，l o c a ls o l u t i o n ；e x i s t e n c e ； d i s s i p a t i o n 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密口。 艚撕擗：狮 沙库f 咱加 彩r 氓 名 日 签 防 眷 引 催 明 姘 眵 论 e 僦产 学 一伽 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：研战牛 1 日期：凇7 年p 月估日 江苏大学硕士学位论文 1 1 历史发展背景 第一章绪论 利用现代数学手段描述与刻画流体运动现象，揭示流体运动规律与内在联系 是现代数学以及应藤数学的重要内容。 1 8 4 4 年，英国科学家s c o t t r u s s e l l 在爱丁堡到格拉斯哥的狭长运河中，站 在匀速行驶的船头对河中的水波运动进行了考察。并且随后在文 1 8 中， s c o t t - r u s s e l l 做了关于水波的报告。在这个报告中，他虽然没有应用纯粹的线性 模型来模拟水波，但这却推动了菲线性偏微分方程在流体、等离子体、凝聚态、 光通讯、量子物理、弹性杆、金融等领域的发展。 放1 8 7 1 到1 8 7 7 年，b o u s s i n e s q 研究了不可压缩的无旋水波的自由边界闯题， 并且在文 1 9 ， 2 0 巾研究了基本的扰动扩展；当小参数表示波的振幅与非扰动流 体的深度比时，以及表示流体深度与波长比的平方时，b o u s s i n e s q 得到了两个一 维单向传播的水波模型，其中之一就是现在众所周知的b o u s s i n e s q 方程 2 1 ，p 2 5 8 一+ 2 ) 。+ 秘一= 0 ( 1 1 ) 虽然在两个方向上都有波传播，但这个方程仅对向右传播的有效。 1 8 9 5 年，荷兰的应用数学家k o r t e w e g 和d e 铲r i e s 针对浅水波运动引入描述具 有小振幅长波色散的非线性偏微分方程，写下了著名的k o r t e w e g d e 铲r i e s ( k d v ) 方程： + “，+ u u ，+ = 0 ( 1 2 ) u ( x , t ) 表示波的高度( 相对予平底) 。 很少为人所知的是：早在1 8 7 0 葶，b o u s s i n e s q 1 9 ；e q ( 3 0 ) ，p 7 7 】也写下了这个方程【2 3 】 在文【；嚣率。( 2 8 3 ，2 9 王中，作者研究了k d v 方程的三个守恒定律、一个孤立子， 给出了周期的行波解的推导过程。k d v 方程是第一个被发现具有确定的孤立波解 的方程，孤波是s c o t t r u s s e l l s 在观察水波时弓| 入的。s o l i t a r y 也是壶 s c o t t r u s s e l l 首先引入的。而孤立予的概念和术语- s o l i t o n ，则是在1 9 6 2 年， 江苏大学硕士学位论文 j k p e r r i n g 和t h r s k y r m e 研究s i n e 戈登方程时，以及1 9 6 5 年，n j z a b u s k y 和 m d k r u s k a l 在研究周期条件下k d v 方程时引入的。g a r d n e r ，g r e e n ，k r u s k a l 和 m i u r a 对k d v 方程具有无穷多的守恒定律这一问题做了一系列的研究。 另一个经典的水波方程模型是b b m 方程或者称为正则的长波方程： u f + u x + 堋，- - u x a = 0 ( 1 3 ) 它最初是由b e n j a m i n ，b o n a ，和m a h o n y 在1 9 7 2 年推导出来的 2 4 。所以命名为 b b m 方程。b b m 方程由于它仅有三个守恒定律，所以是不可积的， 2 6 ， 2 7 。 1 9 7 8 年，m a g r i 在文 3 8 中首先发现了一个证明非线性发展方程可积性的方 法。可积模型在物理系统中应用很频繁，为了理解这种现象，人们对“h a m i l t o n i a n ” 结构和守恒定律怎样进入b o u s s i n e s q 扰动扩展进行了细致的考察 3 0 儿3 1 。 z a k h a r o v 3 2 首先研究表明：水波的自由边界问题允许有一个“h a m i l t o n i a n ”结 构( 后来在 3 3 中这被用来判定一个有对称守恒定律的系统是否完备) 。但是， k o r t e w e g d ev r i e s 模型的两个“h a m i l t o n i a n 结构没有一个是直接来源于水波的 “h a m i l t o n i a n ”结构。事实上，k o r t e w e g d ev r i e s 模型的两个“h a m i l t o n i a n 算 子是由水波问题的两个“h a m i l t o n i a n 算子扩展而成的。 所有的非线性波现象的古典模型仅仅在弱的非线性体制下有效，然而象碎波， 极大高度的波等许多有趣的物理现象 3 4 3 5 ，需要把它们的非线性进行完全的 转换。在“h a m i l t o n i a n 扰动理论的启发下( 3 0 ， 3 1 ) ， 1 9 9 3 年，美国洛斯阿拉莫斯国家实验室的c a m a s s a 和h o l m 应用哈密顿方法导 出一个新的浅水波色散波动方程c a m a s s a h o l m 方程： + 妇，一够删= - 3 u u x + h h 。+ 知。“搿 ( 1 4 ) 其中“( x ，f ) 表示波的高度( 相对于平底) ，k 是与临界波波速相关的一个常数当 k = 0 时线性色散项消失，即得到通常的c h 方程 口r 一口埘+ 锄，= 2 “嚣+ 蹦叱。 ( 1 5 ) 口r 一口埘+ 姗j2 翻嚣+ 蹦叱 l1 a j 注意到左边的线性项与b b m 方程的线性项相似，然而删一这一项使方程( 1 4 ) 具有很强的非线性，所以它被归为一类非线性色散波模型。 c a n a s s a 和h o l m 在【4 】中指出c a m a s s a h o l m 方程有“b i h a m i l t o n i a n ”结构，因 此有一个对称守恒定律的无穷谱系。实际上，方程( 1 4 ) 和它的“b i h a m i l t o n i a n 结构早在1 9 8 1 年作为k d v 方程双“h a m i l t o n 形式的推广，由f u c h s s t e i n e r 和f o l 【a 2 江苏大学硕士学位论文 用递归算子的方法就已经得到( 虽然其中有一个系数是错误的) 【3 7 】。但当时对其解 的认识很不充分，所以并没有引起研究者的重视。至今对方程( 1 4 ) 的性质已有许 多的研究并得到了许多很好的结论，如方程( 1 4 ) 是完全可积的，非线性色散波( 方 程具有色散项删。) 具有双h a m i l t o n i a n 结构，即可用两种不同的h a m i l t o n i a n 形式 表示，而这两个h a m i l t o n i a n 算子比是导出无穷多守衡律的递推算子。这种双 h a m i l t o n i a n 性质可用于将该方程改写为线性拟谱问题的相容性条件，使得初值问 题可用逆散射方法求解。c h 方程与至今所发现的许多完全可积偏微分方程有着许 多共同的性质。 1 9 9 9 年，d e g a p p e r i s 和p r o c e s i 在 5 9 10 0 应用渐进可积的方法，验证了如下一类 非线性发展方程：d e g a p p e f i s - p r o c e s i 类方程( d - p 类方程) 一+ ( 6 + 1 ) u u x = b u x u = + u u x x x ( 1 6 ) 只有b = 2 ，b = 3 时才是完全可积的当b = 2 时，方程( 1 6 ) 是无线性色散项的c - h 方 程( 1 5 ) ，当b = 3 时，方程( 1 6 ) 是无线性色散项的d e g a p p e r i s - - p m c e s i 方程( d - p 方程) l i f 一“埘+ 4 绷，= 3 u j u 。+ u u x x x ( 1 7 ) d - p 方程( 1 7 ) 作为甜( x ，r ) 与y ( x ，) = 甜( x ，t ) - u 。( x ，f ) 的系统，可写成 p ( 矿y ) 以一3 眵) ，y ( 1 8 ) r 一= y ，q = j 一 1 9 9 8 年，d a ih u i - h u i 在【7 】中对普通超弹性可压缩物质得出有限波长有限振幅 的一个新的弹性杆波动方程： 匕+ 吼y 比+ c r 2 黝+ 吒【2 吩+ ) = 0 ( 1 9 ) 其中，y ( 孝，f ) 表示对预应态的径向伸缩q0 , o - 2 o ，o - 3 o 是由材料杆的预应力 系数确定的常数。 令f ：虹f ，孝：- - 压2 x ，则方程( 1 9 ) 可改写为 矾 珥一矽棚+ 3 u u ，= 厂( 2 致z k + “。)( 其中厂= 堕) ( 1 1 0 ) 0 5 a - 2 0 0 4 年，c o c l t e ，h o l d e n ，k a r l s e n 等在【6 6 】中研究了方程( 1 1 0 ) 的推广形 3 江苏大学硕士学位论文 式即：广义超弹性杆波动方程 1 坼一z + 去g ( u ) u x = y ( 2 u x u = + 甜z ) ( 其中g ( o ) = o ) ( 1 1 1 ) - 1 2 研究现状 对于b o u s s i n c s q 方程，b b m 方程，k d v 方程的研究已经是相当的完善，这里 就不一一赘述，下面对c a m a s s a - h o l m 方程，d e g a p p e r i s p r o c e s i 类方程，以及弹性 杆波动方程的研究历史与现状概述如下： 首先我们介绍一下国内外关于c a m a s s a h o l m 方程的研究现状： 第一个方面关于可积性与双h a m i l t o n 结构的有关研究。我们知道无论是c h 方 程还是k d v 方程都来源于一维不可压缩流体的可积的e u l e r 方程，因此，它们两者 之间必然有着某种内在的联系。f o k a s 和f u c h s s t e i n e r 给出了“h a m i l t o n i a n 对偶性 的基本方法，后来人们使用这种方法把大部分的古典的孤立子模型转化为非线性 色散波可积的对偶b i h a r n i l t o n i a n 系统。b f u c h s s t e i n e r , a s f o k a s 和e j o l e r 在 3 8 ， 4 2 和 4 1 1 中研究了相伴的r i e m a n n h i l b e r t 问题。c d e v c h a n d 和j s c h i f f 从c h 方程和 k d v 方程的几何背景测地流的角度研究了h a m i l t o n 结构，可积性与对称性。1 9 9 8 年，s c h i n l 4 4 应用l o o p 群的方法，构造了辛结构的b i i c k l u n d 变换，由c h 方程构造 了伴随c h 方程( a c h ) ，并用k d v 理论的基本方法粥g a l - w i l s o n 影射，获得了 a c h 方程的简单孤立子解和有理解。a n w h o n c 则研究了a c h 方程与s c h r o d i n g 算 子及k d v 谱系之间的关系，利用这种关系，他得到了a c h 方程的精确解。 第二个方面是关于c h 方程守恒定律与解的存在性的研究。m f i s h e r 和j s c h i f f 通过m i u r a - g a r d n e r - k r u s k a l 构造，给出了c h 方程具有无穷多个局部守恒量。 a c o n s t a n t i n 等研究了c h 方程的解的存在性问题，利用守恒量与k a t o 理论获得了 c h 方程解的存在性，指出在位势保持不变号的情况下，方程有整体解。在他们的 研究中引入了弱解，并指出c a m a s s a 和h o l m 在c h 方程中得到的具有p e a k o n 性质的 孤立子解实际上是弱解意义下的。还得到了整体弱解的存在性。x i n 等人则引入了 h e 的允许弱解，利用弱粘性法和y o u n g 测度给出了更弱条件下的弱解存在性。 e g c s z t e s y , h h o l d e n ，d d h o l m 和z q i a o 等则研究了c h 方程谱系问题的 a l g e b r a - g e o m e t r i c 解，这类解对应了c h 方程的多重孤立子解，p e a k e d 解，c o m p a c t o n 解，凹凸孤立子解等。现在国内外应用非线性色散波模型对不同的非解析解的研 4 江苏大学硕士学位论文 究已经取得巨大的进步，除了上面提到的，新出现的非解析解还有：c u s p o n s 解， t i p o n s 解，r a m p t o n s 解，m e s a o n s 解，等等。t i a n 等人不仅给出了新的凹凸孤立子解的概 念，还给出了广义c h 方程的精确解。各类孤立子解的研究是目前有关的研究主要 内容之一。 第三个方面的研究是关于方程推广到二维以及三维的问题。 s c h e n ，c f o i a s ，d d h o l m 等在粘性管道流的湍流研究中，将c h 方程推广到三维， 并在方程中加入了粘性项，得到了所谓的粘性c h 方程( v c h ) ，用v c h 作为粘性管 道湍流的一个近似。他们进一步的研究，特别是数值实验表明，在一定的条件下， v c h 方程确实是粘性管道湍流的一个好的近似。c f o i a s ，d d h o l m 和e s t i f f 将v c h 方程与n a v i e r - s t o k e s 方程以及湍流研究相联系，发现v i c h 方程也是n a v i e r - s t o k e s 方 程的较好的近似。由他们的研究也可以看出，对v c h 方程的研究可以用作湍流现 象的研究。因此对粘性c h 方程的研究就具有很强的物理和力学意义。 c f o i a s ，d d h o l m 和e s t i t i 还研究了v c h 解的存在性及其吸引子的问题， j v u k a d i n o v i c 贝, l j 研究了2 维周期v c h 方程的b a c k w a r d s 行为。关于c h 方程的研究还 有很多，这里不再一一列举。 对于d p 类方程的研究主要有以下结果： 首 由d e g a s p e r i sa , d dh o l m ，和a n w a h o n e 合作在【5 9 】，【6 0 】中通过反向 变换构造了d p 方程的拉克斯对，证明d - p 方程是可积的，并且讨论了它的双哈密 顿结构，给出了守恒律的两个无限列随后h a n sl u n m a r k 等 6 1 使用反散射方法 求得了d - p 方程的多孤子解，并给出多尖峰波解的形式 甜( x ，f ) = ( f ) p 一卜嘶o x ，m ( x ，r ) = 2 m , ( t ) 6 ( x - x k ( t ) ) k = lk = l 其中万是d i r a ed e l t a 分布。 尖峰波的位置和动量 黾( r ) ，( f ) ) 2 。，满足常微分方程 廊：2 n s g n ( x k - x t ) 口电i ，赢：圭崛e 也一而 i = 1i = 1 v o v a k h n e n k o 等在【6 3 】中研究了d - p 方程的行波解，特别是它的周期尖峰波解和 孤立波解。z h o uy o n g 在【6 2 】中讨论了d - p 方程的爆破现象，并证明了整体解的存 在性余丽琴在【“】中研究了d - p 类方程( 1 6 ) 的精确行波解。 5 江苏大学硕士学位论文 对于弹性杆波动方程( i 1 0 ) 的研究已有很多结果( 见文 7 ， 6 5 ， 6 6 ) 。 如：c a u c h y 问题整体解的存在性，周期边值问题整体解的存在性，解的适定性， 解b l o w - u p ，弱解的存在性等。d a ih u i - h l l i 在【6 5 】中研究了方程( 1 1 1 ) 在7 0 ， 0 o ) 内研究方程( 1 2 6 ) 满足初始条件 ”( x ，0 ) = u 0 ( x ) 的解甜( 而f ) 。 8 江苏大学硕士学位论文 在区域d = ( x , t ) i x ( o ，佃) ，( o ，丁) ) 内研究方程( 1 2 6 ) 满足初始条件及边值 条件 ： i 等二o 的解甜( 马r ) ( c ) 一类有界域上的初边值问题 在区域d = ( x ，r ) 卜( o ，1 ) ，r ( o ，丁) ) 内研究方程( 1 2 6 ) 满足初始条件及边值 条件涨鬻品地“u 一( 1 ，) 似f ) 1 3 3 非线性波动方程的行波解问题 非线性波动方程有一类重要的解，就是形如甜( x ，f ) = 甜( 孝) ，善= x + c t 的行波解。 就数学而言，行波解可以揭示方程本身的许多重要性质。在行波解的研究中不断 产生的新思想和方法，对于数学本身的发展有着相当促进作用。 定义1 1 ( 2 7 - 1 ) u ( x ，f ) = 甜( 善) ，乡= x + 甜称为非线性波动方程 f ( t ，x ，g t ，畋，u x t ) = 0 ( 1 j2 7 ) 的行波解，如果存在一0 0 缶，受佃使得甜( x ，r ) = 甜( 孝) ，孝= x + 甜满足方程( 1 2 7 ) ， 其中孝( 螽，色) ，“( 磊) = 口，甜( 岛) = ，在( 轰，邑) 的任意子区间( a , b ) 内甜( 孝) 不恒等 于o ，当孝( 一，螽) 时“( 孝) = 口，当善( 彘，佃) 时，“( 孝) = 。其中c 称为波速。 通常来说，对非线性波动方程行波解的研究主要包括行波解的存在性、唯一 性、波速问题以及精确解等。 1 3 4s o b o i e v 空间的定义以及几个重要的定理： 1 s o b o l e v 空间k p ( 固和噼p ( q ) 定义1 2 7 3 设k 为非负整数，p 1 ，q 是r ”中的开集，我们称集合 甜w 。( 固；d 口甜( 固，对满足h 瑚任意口 ，、 赋以范数旷，( n ) = i ，l d “甜i p 出i 后得到的线性赋范空间为 q l 口l 七 s o b o l e v 空间坳( 固，可以证明却( 固在上述范数下是一个b a n a c h 空间。当p = 2 9 江苏大学硕士学位论文 时，常将蛐( 锄记作日( 固，所以空间2 p 僻) 与空间日5 ( 尺) ，s 不能互相包含。 定理1 1 ( 文 7 0 ) 对每一个实数s ，h 5 僻”) 是一个h i l b e r t 空间，且c ? 僻”) 日5 僻”) 中稠密。 定义1 4 1 7 3 ：时炉( 固表示g ( q ) 在t p ( q ) 中的闭包。 定理1 2 1 7 3 ：w t p 俾”) = 嘭p 但“) ，形0 p ( q ) = 联护( 固= r ( q 但对有界区 域q ，当后1 时，嘭，( q ) 是咖( 固的真子空间。 2 加权s o b o l e v 空间 记号：我们把中心在，棱长为2 r 且棱平行于坐标轴的立方体记为： b ( x o ，r ) = p = ( x 1 ，矿) e ”；p 一i r ) 当x o = 0 时，b ，r ) 写为召僻) 。 定义1 51 7 2 m u c k e n h o u p t a p 类函数 设非负函数w 如但”) ，称w a p ( 1 p o ，使得对 任意bc e ”有 ( s u p 【( 所e s b ) 。1 工厂( 挑】) 础) _ l 工h 出 川c 其中上确界是对e ”中的一切球体b 来取的。 曰是e n 中棱平行于坐标轴的立方体，而 三+ ! ：1 ， pg ( m e s b ) 一1 厂 渺是，在召上的积分平均值。 定义1 7 1 7 2 设1 p o o ，w 如，gc - e ”为有界。 定义加权s o b o l e v 空间妇e ( ，g ) 为c 。( 西类函数依范数： 1 ，( 矿，g ) = ( 1 v 甜i ，+ 川，) 形( x ) 出 i 完备化所得到的空间。 定理1 3 1 7 2 ：设1 o 与u ，r 无关，w ( b r ) 2l ( 曲出 定理1 4 1 7 2 设1 o 与“，r 无关，而且 缸2 w l ( b r ) 2l “( 力矽( 力出 在本文中我们取权函数为( 功= p ( 砷= ( 1 + ，) 7 其中r = l ，2 ， 3 几个常用的不等式 1 一致g r o n w a l l 不等式 设g ，h ，yg - + ( t o ，) 上正的局部可积函数，) ，在( 岛，) 局部可积并满足： 象g y 锄，倥岛 i ，t + r g ( s ) 凼 o , b 0 ，p 1 q 1 ，且! + ! 兰1 则有 p q 上上 面生+ 丝 pq 特别地，当p = q = 2 时，上述不等式也称为c a u e h y 不等式。 3 h b i d e r 不等式：设! + ! ：1 p ，q 1 ，则对任何比( 功( q ) 和h 力p ( 固， pq 成立 1 1 江苏大学硕士学位论文 j k 】”( x ) v ( x ) 出l ( j 玉i “( x ) j p 出) 吉( k 1 i v ( x ) i g 出 吉 4 a g n l o n 不等式：设qcr ”是关于每个坐标都是l i p s c h i t z 连续的，则存在 仅依赖q 的非负常数c ，满足： m b ( q ) 丝丝 c m 皇乎( n ) 三乎( 0 ) ，v 甜日2 ( q ) ，刀是偶数 丝盟 c 三孚( q ) i 三譬( q ) ，v 甜日2 ( q ) ，玎是奇数 5 m i n k o w s k i 不等式 设p 1 那么对任何厂( 力，g p ( 固，成立 1 l1 ( l i s ( x ) + g ( x ) i p 出) _ ( l 厂( 刮p 出) ；+ ( 上k ( 刮，威) _ 6 p o i n c a r 6 不等式： 设1 p o , x r u ( x ，0 = h o ( 力，x r 解的适定性。 首先，我们讨论了方程( 2 1 ) 在s o b o l e v 牢_ l ；- j w 4 尸似) ，p 2 下解的局部适定性， 以及方；i 旱的解对系数国的依赖性。 江苏大学硕士学位论文 主要结果如f ： ( 1 ) 如果2 ，俾) ，则存在一个仅仅依赖0 w o k ，的常数t o ，使方程 f 嵋+ a ( 叻w = f ( 叻，t o ，x r 【w i 仁o = w o ，工r 有一个唯一的解w 满足：w ec ( 【o ，丁】，w 2 ，p ( 欠”n c l ( 【o ，丁】，p ( r ” 并且，在2 p 范数意义下，w 连续依赖圳 0 ) = w o 。 ( 2 ) 如果u oe w 2 ，僻) ，则存在常数t 0 ，使得初始值问题( 2 1 ) 有一个唯一解 u ( x ，f ) 满足：u ( x ，f ) c ( 【o ，丁】，w 4 p ( r ) ) n c l ( 【o ，丁】，w 2 ，( r ” ( 3 ) 令为初始值问题： mw+心瓮絮纵：嬲一翌一咖刚似啦岛的钽。o(x,0)u ou 0 x o x r 1 4 。i t l r i 【= 屹o ( 功= 一 。 w 为初始值问题： i m + 厂屹“+ 2 y w u ，+ 2 e o u ，+ 3 ( 1 一y ) u u 。= o ，f o ，x r 【w ( x ，o = w o ( x ) = “o o ，) 一u o 。( 功，x 尺 当国= 0 时和带有同样初始值的解。 则当国斗。时，黜0 u e a - - u i i w 3 。p o ( 4 ) 令u m 为初始值问题： f u 耐- - u 。a x x + 2 c o u 嬲+ 3 u 廖“烈= 八知。甜。+ 距口跖删) ，t o ，z r 【m 。o ，o ) = u o ( 力，z r 的一个解， u 为初始值问题： u t u 姒+ 2 a m ，+ 3 u u ，= 八2 u z u 材+ u i x = ) ，t 0 , x r 砧o l 0 = u o ( 力，x r 当国= 0 时的一个解，并且甜和砧。所带的初始值相同。 则有：当国j 。时，船0 u o - u l l 驴，专o 在第二部分，我们主要在加权s o b o l e v 空间日2 ，下研究了下面的初始值问题的局 部适定性： 江苏大学硕士学位论文 吩一“擞+ 2 c o u x + 抛“j2r ( 2 u , u “+ 砧“m ) ，t 0 ，x r u ( x ，o ) = u o ( 功，x r 。 主要结论有： ( 1 ) 令eh 2 v ，其中厂= 1 ，2 ，3 则存在仅仅依赖的日2 ，r 范数的t 0 ，以及 方程( 2 1 ) 的唯一解，使得y c ( 【0 ，丁】，h 2 v ) 并且，映射 巾h 2 v y c ( 【o ，r 】，h 2 v ) 是连续的。 ( 2 ) 令矽且0 - o 乙) u 。0 ( 或者- 0 ) 。则，此方程存在唯一解甜使得 比c ( 【o ，叫，纠 在第三部分，我们主要讨论带耗散项的非线性色散波方程在低阶的s o b o l e v 空间 h 5 ( 1 s 昙) 下解的存在性，其主要结论有： ( 1 ) 假如u o ( 力是s o b o l e v 空间h 。( 1 j 要) 下的一个函数，并且有 峙 0 和一个不依赖于占的c 0 使得：对于任意的fe o ，r ) ，方程： u t 一+ s = - 2 ( o u 工一3 铭叱+ r ( 2 u , u 矗+ “够m ) ，t o ，x r u ( x ，0 ) = u o ( 曲e h 8 俾) ，s 1 相应的解k 满足不等式：i k 。峙c ( 2 ) 令( 力是s o b o l c v 空间h 5 ，s ( 1 ，】下的一个函数，并且满足： 慨，峙 0 ，使得带有初始值“。的柯西问题： 咋一致辑+ 占= 一2 0 u x 一3 “叱+ r ( 2 u , u 搿+ 甜甜础) ，t o , xe r 在分布意义下，存在一个解 i l ( x ，t ) r ( 【0 ，z 】，h 5 ) ， 并且m 工e l 。( 【0 r 】尺) 。 1 4 江苏大学硕士学位论文 第二章非线性色散波方程在s o b o l e v 空间 舻尸下的性质 2 1引言 本文主要应用t k