2009年数学解题能力展示(四年级)初赛试题.pdf

杯赛真题 迎春杯 四年级 初赛 1 8 2009 数学解题能力展示 读者评选活动 数学解题能力展示 读者评选活动 四年级组初赛试题四年级组初赛试题 测评时间 测评时间 2008 年年 12 月月 6 日日 11 00 12 00 一 填空题 每题填空题 每题 10 分 共分 共 60 分 分 1 计算 337 300372009 2 老师买了同样数目的田格本 横线本和练习本 他发给每个同学 1 个田格本 3 个横 线本和 5 个练习本 这时横线本还剩 24 个 那么田格本和练习本共剩了 个 3 有 60 名学生 男生 女生各 30 名 他们手拉手围成一个圆圈 如果让原本牵着手的 男生和女生放开手 可以分成 18 个小组 那么 如果原本牵着手的男生和男生放开手 时 分成了 个小组 4 国际象棋中 马 的走法如左图所示 位于 位置 的 马 只能走到标有 的格中 在 5 5 个方格 的国际象棋棋盘上 如右图 放入四枚白马 用 表示 和四枚黑马 用 表示 要求将四枚白马 移至四枚黑马的位置 将四枚黑马移至四枚白马的位置 而且必须按照国际象棋的规 则 棋子只能移动到空格中 每个格最多放一枚棋子 那么最少需要 步 5 小明在桌上将若干个红球排成一排 然后在每相邻的 2 个球之间放 2 个黄球 最后在 每相邻的 2 个球之间再放 2 个蓝球 这时桌上共有 2008 个球 那么其中黄球有 个 6 如图所示 某小区花园的道路为一个长 480 米 宽 200 米的长方形 一个边长为 260 米的菱形和十字交叉的两条道路组成 一天 王大爷 A 处进入花园 走遍花园的 所有道路并从 A 处离开 如果他每分钟走 60 米 那么他从进入花园到走出花园最少 要用 分 A 杯赛真题 迎春杯 四年级 初赛 2 8 二 二 填空题 每题填空题 每题 15 分 共分 共 90 分 分 7 有一类多位数 从左数第 3 位数字开始 每位上的数都等于其左边第 2 个数减去左边 第 1 个数的差 如 74312 6422 那么这类数中最大的是 8 一些奇异的动物在草坪上聚会 有独脚兽 1 个头 1 只脚 双头龙 2 个头 4 只脚 三脚猫 1 个头 3 只脚 和 四脚蛇 1 个头 4 只脚 如果草坪上的动物共有 58 个头 160 只脚 且四脚蛇的数量恰好是双头龙的 2 倍 那么其中 独脚兽有 只 9 如图 请将 1 个 1 2 个 2 3 个 3 7 个 7 8 个 8 填入 6 6 的表格中 使得相同 的数所在的方格都连在一起 相连的两个方格必须有公共边 现在已经给出了其中 8 个方格中的数 并且知道 A B C D E F 各不相同 那么 六位数ABCDEF是 10 老师在黑板上写了三个不同的整数 小明每次先擦掉第 一个数 然后在最后写上另两个数的平均数 如此做了 7 次 这时黑板上三个数的和为 159 如果开始时老师 在黑板上写的三个数之和为 2008 且所有写过的数都是 整数 那么开始时老师在黑板上写的第一个数是 11 请将 1 12 这 12 个自然数分别填入到右图的方框中 每个数只出现 1 次 使得每个等 式都成立 12 一个小正方体印章 每面刻着 1 至 6 中的一个数字 各面数字互 不相同 且相对两面数字之和都是 7 小明用这个小正方体印章在 右图的方格内滚动 每格恰好经过一次 那么所有小方格中印下 的数字之和最多是 56 ABCDEF 12 34 78 杯赛真题 迎春杯 四年级 初赛 3 8 参考答案 2009 数学解题能力展示 读者评选活动 数学解题能力展示 读者评选活动 四年级组初赛试题四年级组初赛试题 测评时间 测评时间 2008 年年 12 月月 6 日日 11 00 12 00 一 填空题 每题填空题 每题 10 分 共分 共 60 分 分 1 计算 337 300372009 解答 解答 2009371003721093757 原式 2 老师买了同样数目的田格本 横线本和练习本 他发给每个同学 1 个田格本 3 个横 线本和 5 个练习本 这时横线本还剩 24 个 那么田格本和练习本共剩了 个 解答 解答 解法 1 取特殊数 假设三种本子各 27 本 共 1 个同学 那么田格本剩下 26 本 练习本剩下 22 本 共剩 48 本 解法 2 发给每个同学的田格本与练习本的数目之和是 6 等于横线本的 2 倍 而全部 田格本与练习本的数目也是全部横线本数目的 2 倍 因此剩余的田格本与练习本也是 剩余横线本的 2 倍 即剩下24248 本 3 有 60 名学生 男生 女生各 30 名 他们手拉手围成一个圆圈 如果让原本牵着手的 男生和女生放开手 可以分成 18 个小组 那么 如果原本牵着手的男生和男生放开手 时 分成了 个小组 解答 解答 每个男生能牵 2 次手 一共牵30260 次 这 60 次牵手有重复计算 当男生与男生牵手时 会将牵手次数计算两次 因此男生与男生的牵手对数共有 6018221 对 则男生和男生放开手时 会分成 21 个小组 4 国际象棋中 马 的走法如左图所示 位于 位置的 马 只能走到标有 的格中 在 5 5 个方格的国际象棋棋盘上 如右图 放入 杯赛真题 迎春杯 四年级 初赛 4 8 四枚白马 用 表示 和四枚黑马 用 表示 要求将四枚白马移至四枚黑马的位 置 将四枚黑马移至四枚白马的位置 而且必须按照国际象棋的规则 棋子只能移动 到空格中 每个格最多放一枚棋子 那么最少需要 步 解答 解答 每个棋子最少要移动 2 步 因此至少需要 16 步 按照下图即可 右边用同样的 方法移动 5 小明在桌上将若干个红球排成一排 然后在每相邻的 2 个球之间放 2 个黄球 最后在 每相邻的 2 个球之间再放 2 个蓝球 这时桌上共有 2008 个球 那么其中黄球有 个 解答 解答 倒推 每放一次球后球的总数变成了原来的 3 倍少 2 个 因此放蓝球之前的球 数为 200823670 个 再倒推一次 开始红球有 67023224 个 于是黄球 有670224446 个 6 如图所示 某小区花园的道路为一个长 480 米 宽 200 米的长方形 一个边长为 260 米的菱形和十字交叉的两条道路组成 一天 王大爷 A 处进入花园 走遍花园的 所有道路并从 A 处离开 如果他每分钟走 60 米 那么他从进入花园到走出花园最少 要用 分 解答 解答 这是一个一笔画问题 图中共 4 个奇点 要想走遍所有道路 至少需要重复走 两条菱形的边 于是最少要走 4802003260423600 米 那么最少需要 36006060 分钟 二 二 填空题 每题填空题 每题 15 分 共分 共 90 分 分 7 有一类多位数 从左数第 3 位数字开始 每位上的数都等于其左边第 2 个数减去左边 A 杯赛真题 迎春杯 四年级 初赛 5 8 第 1 个数的差 如 74312 6422 那么这类数中最大的是 解答 解答 逆推 从个位看起 个位 十位之和等于百位 十位 百位之和等于千位 一直下去 要使原来数最大 首先要使位数尽量多 那么个位 十位应该尽量 小 而且要使每位都尽量小 取个位为 1 十位为 0 则可以得到 1 0 1 1 2 3 5 8 容易验证 要想得到 8 位数只有这一种可能 因此最大的是 85321101 8 一些奇异的动物在草坪上聚会 有独脚兽 1 个头 1 只脚 双头龙 2 个头 4 只 脚 三脚猫 1 个头 3 只脚 和四脚蛇 1 个头 4 只脚 如果草坪上的动物共 有 58 个头 160 只脚 且四脚蛇的数量恰好是双头龙的 2 倍 那么其中独脚兽有 只 解答 解答 因为四脚蛇是双头龙的 2 倍 因此可以将 2 条四脚蛇和 1 条双头龙合起来看 就有 4 个头和 12 只脚 它相当于 4 只三脚猫 那么我们可以把原来的动物看成只有独 脚兽和三脚猫两种 在这种情况下 独脚兽有 3 581603 17 只 9 如图 请将 1 个 1 2 个 2 3 个 3 7 个 7 8 个 8 填入 6 6 的表格中 使得相同的数所在的方格都连在一起 相连 的两个方格必须有公共边 现在已经给出了其中 8 个方格 中的数 并且知道 A B C D E F 各不相同 那么 六位数 ABCDEF是 解答 解答 容易看出 A B C D E F 中没有 1 和 3 那么它们只能是 2 4 5 6 7 8 因此 2 只能是 D 4 只能是 E 从而 8 只能是 F 此时 6 只能是 C 否则 C 就没法填 了 最后容易看出 A 为 5 B 为 7 因此ABCDEF是 576248 10 老师在黑板上写了三个不同的整数 小明每次先擦掉第一个数 然后在最后写上另两 个数的平均数 如此做了 7 次 这时黑板上三个数的和为 159 如果开始时老师在黑 板上写的三个数之和为 2008 且所有写过的数都是整数 那么开始时老师在黑板上写 的第一个数是 解答 解答 最后一个数为159353 56 ABCDEF 12 34 78 杯赛真题 迎春杯 四年级 初赛 6 8 倒过来想 每相邻三个数中 最后一个数的 2 倍减去中间数就等于前面的数 如果 53 前面的数为 52 可得从后往前的数依次为 53 52 54 50 58 42 74 10 138 由前三个数之和为 2008 知第一个数等于2008101381860 下面说明没有其它答案 如果 53 前面的数为53a 则可依次算出从后往前的数分别为 53 53 53 533 535 5311 5321 5343 5385aaaaaaaa 不能满足要求 如 果 53 前面的数为53a 则可依次算出从后往前的数分别为 53 53 53 533 535 53 11 5321 5343 5385aaaaaaaa 要满足要求只能 1a 11 请将 1 12 这 12 个自然数分别填入到右图的方框中 每个数只出现 1 次 使得每个等式都成立 解答 解答 先考虑第 3 列 由6 知 第一个 除法的除数只能是 1 且第二个除法的被除数至少是 4 再结合第 3 行算式 12 可知这两个算 式只能是8 1426 12340 或 8 1636 12260 之后分别尝试容易得到唯一答案 2 0 0 8 1 2 6 7 11 12 5 9 10 3 6 8 1 4 2 12 一个小正方体印章 每面刻着 1 至 6 中的一个数字 各面数字互 不相同 且相对两面数字之和都是 7 小明用这个小正方体印章 在右图的方格内滚动 每格恰好经过一次 那么所有小方格中印 下的数字之和最多是 杯赛真题 迎春杯 四年级 初赛 7 8 解答 解答 要想每个方格恰好经过一次 只有 3 种走法 一共有 3 组对面分别为 1 6 2 5 3 4 给每种图形标数分别计算 假设第一个图出发的前两个印下的数字为 1 2 那么所有的数均可标出 126 3 1 4235423 1 4 6215 4 2 此时图中一共能配出 7 个相对的面 还剩下 3 个 2 2 个 1 和 1 个 4 由于 1 6