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概率论2[1].9 二维随机变量函数的分布 概率论 二维 随机变量 函数 分布

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E mail xuxin 2 9 两个随机变量的函数分布两个随机变量的函数分布 一维随机变量函数的分布在前一章已经讨论过 下面就几个具体的分布来讨论 一维随机变量函数的分布在前一章已经讨论过 下面就几个具体的分布来讨论二维随机变量函数的 分布 二维随机变量函数的 分布 主要就 主要就连续型连续型随机变量随机变量 X Y 来根据具体情况应 用公式 来根据具体情况应 用公式 G dxdyyxfGYXP 至于至于离散型离散型随机变量情况我们做简单介绍随机变量情况我们做简单介绍 E mail xuxin 设设离散型离散型随机变量随机变量 X Y 的的概率分布概率分布为为 kjikji zyx ijji zyx k pyYxXPzZP 3 2 1 jipyYxXP ijji 则随机变量则随机变量Z X Y的的概率分布概率分布为 为 3 2 1 k 特别特别 当当X Y独立时独立时 则则Z X Y的的概率分布概率分布为 为 j zyx iji zyx k ppyYPxXPzZP kjikji 一 离散型随机变量函数的分布一 离散型随机变量函数的分布 E mail xuxin X Y 012 1 2 1 3 12 3 12 1 12 1 0 12 1 12 2 12 2 0 12 2 的分布律为设随机变量的分布律为设随机变量 YX例例1 2 1 的分布律求的分布律求YXYX E mail xuxin 概率概率 YX 2 1 12 1 1 1 12 1 0 1 12 3 2 2 1 12 2 1 2 1 12 1 2 3 12 2 0 3 12 2 X Y 012 1 2 1 3 12 3 12 1 12 1 0 12 1 12 2 12 2 0 12 2 解 等价于 解 等价于 E mail xuxin 概率概率 YX 2 1 12 1 1 1 12 1 0 1 12 3 2 2 1 12 2 1 2 1 12 1 2 3 12 2 0 3 12 2 YX 3 2 1 2 3 2 1 13 YX 1 0 1 2 5 2 3 53 E mail xuxin YX P 3 2 1 2 3 2 1 13 12 1 12 1 12 3 12 2 12 1 12 2 12 2 YX P 01 2 5 2 3 53 12 4 12 1 12 2 12 1 12 2 12 2 的分布律分别为所以的分布律分别为所以YXYX E mail xuxin 值得注意值得注意 二项分布和泊松分布均具有二项分布和泊松分布均具有 可加性可加性 21 pnBYpnBX 21 pnnBYX 21 PYPX 21 PYX E mail xuxin 例例2 设相互独立的两个随机变量设相互独立的两个随机变量 X Y 具有同一 分布律 具有同一 分布律 且且 X 的分布律为的分布律为 X P 10 5 05 0 max 的分布律试求的分布律试求YXZ jYPiXPjYiXP 所以 于是 所以 于是 X Y 10 1 0 2 21 2 21 2 21 2 21 解解 相互独立与因为相互独立与因为YX E mail xuxin max iYXP iYiXP iYiXP 0 max YXP 0 0 P 2 1 2 1 max YXP 1 1 1 0 0 1 PPP 222 2 1 2 1 2 1 2 3 2 的分布律为 故 的分布律为 故 max YXZ Z P 10 4 3 4 1 X Y 10 1 0 2 21 2 21 2 21 2 21 E mail xuxin 二 连续型随机变量函数的分布二 连续型随机变量函数的分布 若已知 X Y 的联合概率密度为若已知 X Y 的联合概率密度为 f x y 欲求 欲求 Zg x y 的概率密度函数的概率密度函数 Z fz 的一般思想是 解决此类问题 1 先求出 的一般思想是 解决此类问题 1 先求出 Zg x y 的分布函数的分布函数 z Z G FzP ZzP g X Yzf x y dxdy z Gx yg x yz 其中 2 在求导 即可得 其中 2 在求导 即可得 Zg x y 的概率密度的概率密度 Z Z dFz fz dz 通常我们称这种方法为通常我们称这种方法为分布函数法分布函数法 E mail xuxin 例3 设随机变量例3 设随机变量 0 1 0 1 XNYN 且X与Y独立 且X与Y独立 22 ZXY 的概率密度 试求 解 先求Z的分布函数 的概率密度 试求 解 先求Z的分布函数 Z Fz 由于随机变量X与Y独立 因而 X Y 的联合概率密度由于随机变量X与Y独立 因而 X Y 的联合概率密度 2222 222 111 222 xyxy XY f x yfx fyeee 因为因为 22 ZXY 非负 故当非负 故当0z 时 时 0 Z Fz 当当0z 时 时 222 22 cos sin 2 22 00 11 22 x r xyr y r x Z xyz FzP Zzedxdyerdrd 22 22 1 2 1 1 2 zz ee E mail xuxin 于是 于是 Z的分布函数为 的分布函数为 2 2 10 0 z Z ez Fz 其它 再求导 可得再求导 可得Z的概率密度的概率密度 2 2 0 0 z ZZ zez fzFz 其它 E mail xuxin 1 和分布 和分布Z X Y 设设连续型连续型随机变量随机变量 X Y 的的概率密度概率密度为为 zZPzFZ 2 Ryxyxf 则随机变量则随机变量Z X Y的的分布函数分布函数为 为 zYXP zyx dxdyyxf dxdyyxf xz 由广义参量积分求导公式得由广义参量积分求导公式得 E mail xuxin zFzf ZZ dxdyyxf dz d xz dxdyyxf dz d xz dxxzxf 由由对称性对称性得 得 dyyyzfdxxzxfzfZ 因此因此 由由联合概率密度联合概率密度求求和分布和分布Z X Y的概率密 度 的概率密 度公式为 公式为 dyyyzfzfZ E mail xuxin 特别 当特别 当X与与Y相互相互独立独立时时 几乎处处有几乎处处有 yfxfyxf YX 于是于是 上述公式变为上述公式变为卷积公式卷积公式 YXYXYXZ ffdyyfyzfdxxzfxfzf 因此因此 一般一般可由可由X与与Y的联合概率密度求和分布的联合概率密度求和分布 Z X Y的概率密度的概率密度 当当X与与Y独立独立时时 可由边缘概率密 度的卷积公式求之 可由边缘概率密 度的卷积公式求之 E mail xuxin 参照 参照D就就z在在 上进行分段上进行分段 对上述各分段中取定的 对上述各分段中取定的z值值 就就x从从 积分至 积分至 实际只需在非零区域实际只需在非零区域D上一段积分上一段积分 卷积计算思路 在 卷积计算思路 在xoz平面上确定被积函数及其非零区域平面上确定被积函数及其非零区域D dxxzfxfzf YXZ 注意 上述也是一般参量积分的计算方法 注意 上述也是一般参量积分的计算方法 E mail xuxin 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X YX Y相互独立相互独立相互独立相互独立 且均服从标准正态分且均服从标准正态分且均服从标准正态分且均服从标准正态分 布布布布 求求求求Z X YZ X Y的概率分布的概率分布的概率分布的概率分布 2 1 2 2 xexf x X 所以由卷积公式得所以由卷积公式得Z X Y概率密度为 解 因为 概率密度为 解 因为X Y独立且其概率密度分别为独立且其概率密度分别为 dxxzfxfzf YXZ dxee xzx 2 2 22 2 1 例4例4 2 1 2 2 yeyf y Y 1 z在在 上取值上取值 2 x在在 上积分上积分 3 考虑被积函数的非零区域 考虑被积函数的非零区域 4 在 在xoz系中综合上述各点 确定 系中综合上述各点 确定z的分段情形的分段情形 1 z在在 上取值上取值 2 x在在 上积分上积分 3 考虑被积函数的非零区域 考虑被积函数的非零区域 4 在 在xoz系中综合上述各点 确定 系中综合上述各点 确定z的分段情形的分段情形 E mail xuxin dxee z x z 2 2 2 4 2 1 4 2 2 1 z e 2 z xt dtee t z 2 2 4 2 1 2 2 2 2 22 1 z e 所以所以Z N 0 2 其它 求求Z X Y的概率分布的概率分布 解解 方法方法1 卷积公式卷积公式 ZXY fzfx fzx dx 欲使欲使 0 XY fx fzx 积分变量积分变量x的变化范围必须满足如下联立不等式的变化范围必须满足如下联立不等式 01 0 x zx 即即 01x xz 这时这时 z x XY fx fzxe E mail xuxin 下面分情况讨论联立不等式下面分情况讨论联立不等式 的解 当 的解 当0z 时 时 无解 即对任意的无解 即对任意的x 有 有 0 XY fx fzx 故故 0f z 当当01z 时 时 的解为的解为0 xz时时 的解为的解为01x 1 0 1 yz f ze dyee 00 101 1 1 z z z f zez eez E mail xuxin 方法方法2 分布函数法分布函数法 y Z x y z Fze dxdy 当当0z 时 时 0 0 Z f x yFz 当当0 1z时 时 11 1 000 1 1 z x yx zzz Z Fzdxe dyedxee 00 101 1 1 z z z f zez eez E mail xuxin 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X YX Y相互独立相互独立相互独立相互独立 且概率密度均为 且概率密度均为 且概率密度均为 且概率密度均为 0 100 50 10 其它 t t tf 解 因为 解 因为X Y独立独立 所以和分布所以和分布概率密度可由概率密度可由卷 积公式 卷 积公式计算计算 dxxzfxfzf YXZ 求求求求Z X YZ X Y概率密度 概率密度 概率密度 概率密度 计算积分计算积分思路思路 1 被积函数非零区域被积函数非零区域 2 z取任意 实数 取任意 实数 3 x在在 上积分上积分 4 综合上述就综合上述就z分段分段 例6例6 E mail xuxin 0 100 50 10 其它 x x xfX 由边缘概率密度确定的表达式 由边缘概率密度确定的表达式 特别是其非零区域特别是其非零区域 xzfxf YX 由题目条件得由题目条件得 0 100 50 10 其它 xz xz xzfY 0 10 100 50 10 50 10 其它其它 xzxx xzx xzfxf YX 故得故得 E mail xuxin 计算卷积 计算卷积 函数自变量为 函数自变量为z 积分变量为积分变量为x 当当z取值范围确 定后 取值范围确 定后 x由由 积分至 积分至 只需在非零区域内一段上积 分 只需在非零区域内一段上积 分 z Z dx xzx zf 0 50 10 50 10 z dxxzxz 0 2 10100 2500 1 100 z 15000 60600 32 zzz E mail xuxin 2010 z 10 10 50 10 50 10 z Z dx xzx zf 15000 20 3 z 10 10 2 10100 2500 1 z dxxzxz 200 zz或或 0 xzfxf YX 因为 所以 因为 所以 0 zfZ E mail xuxin 0 2010 15000 20 100 15000 60600 3 32 其它 z z z zzz zfZ 综上可得综上可得 E mail xuxin 设二维随机变量的概率密度为设二维随机变量的概率密度为 2 01 01 0 xyxy f x y 其它其它 试求随机变量试求随机变量 X Z Y 的密度函数 解 由商分布的公式可知 的密度函数 解 由商分布的公式可知 2 0 2 y ZXYX fzy fyz fy dyfyzyedy 所以 当所以 当0z 时 时 0 Z fz 当当0z 时 时 2 2 2 00 2 22 2 yyzz y Z fzyeedyyedy z E mail xuxin 即即 X Z Y 的密度函数为的密度函数为 2 2 0 2 0 0 Z z zfz z E mail xuxin 设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量X YX Y相互独立相互独立相互独立相互独立 且概率密度均为 且概率密度均为 且概率密度均为 且概率密度均为 2 1000 1000 0 t f tt 其它 求求求求Z X YZ X Y概率密度 概率密度 概率密度 解 概率密度 解 因为因为X Y独立独立 所以由所以由公式公式 ydyfyzfyzf YXZ 计算商分布的概率密度 计算商分布的概率密度 例8例8 计算积分计算积分思路思路 1 被积函数非零区域被积函数非零区域 2 z取任意 实数 取任意 实数 3 y在在 上积分上积分 4 综合上述就综合上述就z分段分段 计算方法与 卷积类似 计算方法与 卷积类似 计算方法与 卷积类似 计算方法与 卷积类似 E mail xuxin 由边缘概率密度确定的表达式 由边缘概率密度确定的表达式 特别是其非零区域特别是其非零区域 yfyzf YX 由题目条件得由题目条件得 0 1000 1000 1000 1000 22 其它其它 yzy yyz yfyzf YX 故得故得 0 1000 1000 2 其它 yz yz yzf X 0 1000 1000 2 其它 y y yfY E mail xuxin 计算参量积分 函数自变量为 计算参量积分 函数自变量为z 积分变量为积分变量为y 当当z取值范围确 定后 取值范围确 定后 x由由 积分至 积分至 只需在非零区域内一段上积 分 只需在非零区域内一段上积 分 z Z dy yyz yzf 1000 22 1000 1000 10 z 2 1 z 1 1000 22 1000 1000 dy yyz yzfZ 2 1 2 z E mail xuxin 0 z 因为 所以因为 所以 0 yfyzf YX 0 zfZ 综上可得综上可得 1 min 1zYzXPzYXP 1 1 1zYPzXP 1zYPzXP 1 1 1zFzF YX E mail xuxin 1 1 1 min max zFzFzF zFzFzF YX YX 于是 于是 极大极大 小小 分布分布的分布函数为 特别 的分布函数为 特别 当当X Y独立且同分布时独立且同分布时 有有 2 min 2 max 1 1 zFzF zFzF 上述结果可推广到有限个随机变量情形上述结果可推广到有限个随机变量情形 E mail xuxin 的分布函数分别为 及则 的分布函数分别为 及则 min max 2121nn XXXNXXXM 21 max zFzFzFzF n XXX 2 1 21 nixF nXXX iX n i 它们的分布函数分别为量 个相互独立的随机变是设 它们的分布函数分别为量 个相互独立的随机变是设 1 1 1 1 21 min zFzFzFzF n XXX 则 分布函数相互独立且具有相同的若 则 分布函数相互独立且具有相同的若 21 xF XXX n max n zFzF 1 1 min n zFzF E mail xuxin 若若X与与Y 相互独立同分布且为连续型随机变量相互独立同分布且为连续型随机变量 X 的的分布密度为分布密度为f x 则则M与与N的分布密度为 上述结论可以推广到 的分布密度为 上述结论可以推广到n维情形维情形 即若设随机变量 相互独立同分布 即若设随机变量 相互独立同分布 令 则它们的分布函数分别为 令 则它们的分布函数分别为 2 2 1 M N fzF zfz fzF zfz n XXX 21 n zFzFM n 11 zFzFN 它们的概率密度函数分别为它们的概率密度函数分别为 n 1 n 1 n n 1 M N fzF zf z fzF zf z

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