NBA赛程安排论文.doc

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）NBA赛程的分析与评价摘要本论文首先综合分析NBA上个赛季的赛程、赛绩和本赛季的赛程，依据所给的资料并确定出赛程对球队利弊的三个主要影响因素（连续同强队比赛的次数、背靠背的次数、连续客场的次数），并对其进行数据统计与分析。利用Excel统计出30支球队的三个主要因素的对应值，其次再利用偏大型柯西分部隶属函数确定其主要影响因素的权值，一句所给的影响因素的权值和三个主要影响因素得到各球队的的利比指标利弊指数，并求出各球队的利弊指数。由问题一得到的数据结果观察得知火箭利弊指数为0.5365，其排名在第20位，所以本次赛程安排对姚明加盟的火箭队而言是比较不利的，依据问题一得出的数据知其中最有利的球队是凯尔特人队，最不利的是森林狼队。关于问题三，在公平性和观赏性的基础上考虑，NBA中同部不同区球队实力较悬殊的尽可能多打3场的比赛，球队实力接近的尽可能多打4场比赛。依据附件2的数据可以得到比赛3场或比赛4场球队的实力差值，并统计得到的数据。以西南区的球队为例，分别统计出与西北区、太平洋区球队的实力差值，并建立0-1规划模型，再利用lingo软件求解出了比赛3场球队的最优选取方案。比较两差值的大小，最后得知利用0-1规划模型后的选取方法较合理。关键词：隶属函数 利弊指数 0-1规划一、问题重述赛程的安排对于NBA球队实力的发挥和战绩都有一定的影响，但编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情。这个题目主要是要求用数学建模方法对2008年-2009年赛程进行定量的分析与评价：（1）为了分析赛程对某一支球队的利弊，要考虑那些因素，并且根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。（2）按照1的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。（3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。二、问题分析问题1 首先依据上一个赛绩和本次赛季的赛程数据，并确定赛程对球队利弊的主要影响因素，然后要确定影响因素的权值；利用所求的影响因素的权值和影响因素得到各球队的影响指标，根据本赛季各球队的影响指标可对东西联盟的30支球队进行排序。问题2 根据问题1所得的数据结果分析，着重分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并利用所得的数据分析赛程对哪个队最有利的、对哪个队最不利的。问题3 通过对赛程安排的统计，发现比赛3场的4个球队是平均分部在同部不同区的,根据对对手实力的分析发现差异较大,为了比赛的观赏性和公平性，若安排实力相差较大的球队赛3场就可以把此不利因素降到最低，毕竟影响胜负的关键还是实力。三、模型假设1）不考虑各个球队人员变动及伤病因素，即球队实力不变；2）用2007-2008赛季NBA常规赛各球队战况确定各球队实力具有一定的准确性、可信性；3）每一个球队对手实力越接近自己的实力，则说明赛程安排越公平越合理；4）默认排名前15的球队为强队，排名后15的球队为弱队。四、符号说明表示第j个球队连续两天内都有比赛的次数表示第j个球队连续在客场比赛2场或2场以上的次数表示第j个球队连续同2个或2个以上的强队比赛的次数为第i个影响因素权重为某一个球队第i个影响因素值表示选取西南区球队和西北区球队比赛的场次表示选取西南区球队和太平洋区球队比赛的场次表示西南区每个球员对西北区每个球员的实力差矩阵表示西南区每个球员对太平洋区每个球员的实力差矩阵五.模型的建立与求解5.1 确定主要影响因素通过对NBA2007-2008比赛的赛绩进行分析，认为NBA赛程对东西联盟的30支球队的影响是客观存在的，并通过对以往赛程和赛绩的分析确定了主要的客观影响因素包括三个方面，即连续同强队比赛的次数、背靠背的次数及连续客场的次数。1、连续同强队比赛的次数连续同强队比赛指的是连续2场或2场以上同强队比赛，考虑到队员们心理、体力等因素的关系，对手强弱对球队的实力发挥和今后的赛事存在客观的影响。2、背靠背的次数背靠背指的是连续两天都参加比赛，考虑到了球员们的体质、体力的关系，背靠背的多少必定影响到球队最终的赛绩。3、连续客场的次数客场指的是球队在其他球队场地上比赛考虑到天时地利及人和的关系，连续2场或2场以上在客场比赛必定对球队的利弊存在影响。5.1.2 各球队实力的确定根据2007-2008的赛绩表中的胜率指标，对球队实力按从强到弱依次排列表1，为了使球队的强弱指标便于量化，将排名进行简化（排名前15只球队分为强队，排名后15个球队分为弱队）。表1 各球队的实力排名球队名称凯尔特人活塞湖人马刺黄蜂火箭太阳爵士排名12345678球队名称魔术小牛掘金勇士骑士奇才开拓者猛龙排名910111213141516球队名称76人国王老鹰步行者蓝网公牛山猫雄鹿排名1718192021222324球队名称尼克斯快船灰熊森林狼超音速热火排名2526272829305.1.3 球队各影响因素值统计与确定将附录(2008-2009)赛季赛程表转换为便于数学处理的数字格式，再利用EXCEL将影响因素进行统计得到表2 各球队各影响因素值的统计表：表2 各球队各影响因素值的统计表队球素因响影连续与强队比赛次数连续客场次数背靠背勇士1387雄鹿935小牛1244网944太阳1199山猫855森林狼1288热火656骑士756奇才766尼克斯1045魔术875猛龙954马刺1275老鹰866快船14119凯尔特人666开拓者1188爵士1167掘金1065火箭1187活塞1055灰熊1366黄蜂1387湖人13106国王1699公牛1253超音速1177步行者115576人1064为了便于表2中每一列数据做统一的比较，首先用极差规范化方法分别对相应的影响因素值作相应的规范化处理，1）背靠背的次数规范计算： （1）2）连续客场的次数规范计算： （2）3）连续同强队比赛的次数规范计算： （3）其中表示第j个球队连续两天内都有比赛的次数，表示第j个球队连续在客场比赛2场或2场以上的次数，表示第j个球队连续同2个或2个以上的强队比赛的次数。再利用（1）（2）（3）式计算后（Matlab将矩阵规范化）2得规范化后各球队各影响因素值，如表3；表3 各球队各影响因素规范化后值影响因素球队背靠背的次数规范化后的值连续客场的次数规范化后的值连续同强队比赛的次数规范后的值勇士0.50000.62500.7000雄鹿0.400000.3000小牛00.12500.6000网00.12500.3000太阳1.00000.75000.5000山猫00.25000.2000森林狼1.00000.62500.6000热火0.50000.25000骑士0.66670.25000.1000奇才0.40000.37500.1000尼克斯00.12500.4000魔术0.40000.50000.2000猛龙00.25000.3000马刺0.33330.50000.6000老鹰0.40000.37500.2000快船1.00001.00000.8000凯尔特人0.60000.37500开拓者1.00000.62500.5000爵士1.00000.37500.5000掘金0.20000.37500.4000火箭0.50000.62500.5000活塞0.40000.25000.4000灰熊0.50000.37500.7000黄蜂1.00000.62500.7000湖人0.40000.87500.7000国王1.00000.75001.0000公牛00.25000.6000超音速0.75000.50000.5000步行者0.33330.25000.500076人00.37500.40005.1.4 计算并确定各影响因素的权重首先对所确定的主要三个影响因素进行量化处理,从而给出影响因素的量化值,设强度集为很强,较强,强,稍强,不强,对应的数值为5,4,3,2,1。根据实际情况取偏大型柯西分布隶属函数： （4）其中为待定系数，实际上强度为“很强”时，则隶属度为1，即=1；当强度为“强”时，则隶属度为0.8，即；当强度为“不强”时，则认为隶属度为0.01，即；于是可以计算出： （5）将其代入（4）可得隶属函数； （6）经计算则强度集很强,强,较强,稍强,不强的量化值为（1，0.9126，0.8，0.5245，0.01）。利用此量化值对影响因素进行赋权处理结果见表4（影响因素的权值表）；表4 影响因素的权值表影响因素连续2场及以上强队连续2场及以上客场背靠背比赛赋予值很强强比较强隶属值10.80.9126归一后权值0.370.290.345.1.5 建立各球队的利弊指标综合考虑以上影响因素，利用层次分析法可以计算出赛程对球队的利弊指数，于是建立赛程安排对各球队利弊的数量指标利弊指数，将其记为T； （7）其中为第i个影响因素权重，为某一个球队第i个影响因素值。再利用所得的表3数据，建立各球队各影响因素值的矩阵： 其中为第个球队第个影响因素值。取表4归一后的权向量：则赛程对每支球队利弊指数为： （8）则的值越大表示赛程对球队越不利，反之则越有利。再利用Matlab软件计算，将计算的结果利用Excel进行从小到大排列，结果见表5；表5 赛程对各支球队利弊指标权向量表利弊指数球队名次利弊指数球队名次0.1465凯尔特人10.3565活塞160.1472网20.3708步行者170.1835猛龙30.4803马刺180.1843尼克斯40.5015灰熊190.2425热火50.5363火箭200.247雄鹿60.585超音速210.256776人70.6102勇士220.2582小牛80.6338爵士230.2818奇才90.6487湖人240.2945公牛100.7063开拓者250.3127山猫110.7425太阳260.3188老鹰120.7432国王270.3247掘金130.7803黄蜂280.3362骑士140.926快船290.355魔术150.9275森林狼305.2 问题二由问题一所得的数据，并且表5（赛程对各支球队利弊指标权向量表）可以显而易见得出归一后量化差值，可知T都存在差异，但是差值幅度不大。从而表明20082009年的赛程安排对于球队而言是比较公平的。1)从表格5可以得到姚明加入的火箭队排名第20，从而表明20082009年的赛程安排对火箭队比较不利的。2)从表格5可以知道对凯尔特人队最有利，对森林狼最不利。5.3 问题三模型建立与求解5.3.1 比赛3场球队的分析据附件2各球队的胜率计算球队间的实力差值如表6，并统计同部不同区各队比赛场次如表7：表6 球队间的实力差值表黄蜂马刺火箭小牛灰熊湖人0.0120.0120.240.0730.427太阳0.0120.01200.0490.403勇士0.0980.0980.0860.0370.317国王080.1590.195快船0.4030.4030.3910.3420.012爵士0.0240.0240.0120.0370.391掘金0.0730.0730.0610.0120.342开拓者0.1830.1830.1710.1220.232森林狼0.4150.4150.4030.3540超音速0.4390.4390.4270.3780.024表7 球队比赛场次黄蜂马刺火箭小牛灰熊湖人43434太阳34343勇士44433国王43344快船34444爵士33444掘金43443开拓者44334森林狼34443超音速44334综合分析20082009年的赛程安排，得出以下结论：1）实力差距有悬殊的、有接近的，判断知NBA赛程安排是由电脑随机抽签产生，这种随机产生比赛赛程的方法，随机性太大。2)同部每支球队与另外两个区的4队之间进行3场比赛，而且每个区正好各2队（为了保持比赛的平衡性）3)通过对赛程安排的统计，知比赛中实力相差很大的球队间，根本没有可打性，在同一水平线上的球队才有可赛性，所以赛程安排中实力相差比较大的球队间安排的赛程相对少才比较公平，赛3场的球队间的实力差值越大，越具有公平合理性。5.3.2 球队实力数据处理现以西部的西南区对西北区、太平洋区比赛3场的队伍选取为例进行设计。1）队实力差值计算：根据附件2各球队的胜率，计算出西南区的球队对西北区和太平洋区的实力差的绝对值矩阵为： 其中表示西南区第i个球队的胜率,表示西北区第j个球队的胜率,表示太平洋区第j个球队的胜率；表示西南区每个球员对西北区每个球员的实力差矩阵，表示西南区每个球员对太平洋区每个球员的实力差矩阵。1 每个球队对西北区每个球队的实力差矩阵计算： （9）图一 西南区与西北区球队实力差值由图一可以明显看出各球队间的实力差值波动较大。2西南区每个球队对太平洋区每个球队的实力差矩阵计算： （10）图二 西南区与太平洋区球队实力差值由图二也明显看出各球队实力差值波动较大。5.3.3 球队选取的模型建立从比赛3场球队的分析可以知道，NBA原先安排的赛程具有随机性，针对随机性的这个缺点，为了比赛的观赏性和公平性，利用0-1规划模型重新安排赛程，使其赛程安排更加合理。利用附件一、二数据，可以计算出西部比赛3场球队的实力差值总和，再利用0-1规划模型得出赛程安排，利用lingo软件计算出规划后比赛3场球队的实力差值总和，比较两差值总和的大小，判断赛程安排是否合理。1）目标函数的建立：现以西部的西南区对西北区、太平洋区比赛3场的队伍选取为例，选取西南区球队和西北区球队比赛3场或选取西南区球队和太平洋区球队比赛3场，建立目标函数： （11）2） 约束条件建立：然后引入0-1变量 和，若选取西南区球队和西北区球队比赛3场，记=1；若选取西南区球队和西北区球队比赛4场则记=0；若选取西南区球队和太平洋区球队比赛3场，记=1；若选取西南区球队和太平洋区球队比赛4场则记=0。根据结论2，和应该满足以下的约束条件: （12）综上，该问题的0-1规划模型可写作：再利用lingo软件对0-1规划模型的（9）（10）（11）（12）式进行求解，求解过程见附录，具体结果如下表8，为整理后所得的数据：表8 各球队赛次安排表黄蜂马刺火箭小牛灰熊湖人44343太阳44443勇士44444国王33434快船33334爵士44443掘金44443开拓者44444森林狼33334超音速33334从表8找出比赛3场的球队，并得如下图三：西南区对太平洋区： 西南区对西北区： 图三同样再利用此0-1规划模型对东部球队比赛的选择进行计算，得到结果见附录表9东部个球队比赛场数。因为西部的选择原则和东部一样，所以不进行具体的排列。5.3.3对选队的方法进行评价再次利用lingo软件计算出表6的结果，计算出西南区的每个球队对西北区和太平洋区每个球队赛3场的实力差值总和是=8.943，依据0-1规划模型规划结果容易计算出西南区的每个球队对西北区和太平洋区每个球队赛3场的实力差值和是=7.211。则：= 8.943-7.211=1.7320显然2008-2009赛程计算出来的值大于利用0-1规划计算所得的值，所以在考虑到观赏性和公平性的角度下，利用0-1规划计算所得的结果显得更为合理。六.模型的评价优点：NBA赛程的安排对各球队的利弊影响是不确定的，具有模糊性。本论文讨论了赛程安排对各球队的利弊影响的主要因素并进行了定量分析，使用取偏大型柯西分布隶属函数对影响因素进行赋权处理，能够较好的反映赛程安排对各球队的利弊影响的实际情况，是一种实际可行的方法，值得推广应用。缺点：在讨论确定赛程对球队的利弊影响的主要因素时具有一定的局限性和一定的主观性。七参考文献1 NBA赛程的安排表OL. /nbaindex.html2Matlab将矩阵规范化. /blog/static/25131916201195103837154/3 取偏大型柯西分布隶属函数./view/21ef051b6bd97f192279e9e2.html附录LINGO程序：max=0.024*x11+0.073*x12+0.183*x13+0.415*x14+0.439*x15+0.024*x21+0.073*x22+0.183*x23+0.415*x24+0.439*x25 +0.012*x31+0.061*x32+0.171*x33+0.403*x34+0.427*x35 +0.037*x41+0.012*x42+0.122*x43+0.354*x44+0.378*x45 +0.391*x51+0.342*x52+0.232*x53+0*x54+0.024*x55 +0.012*y11+0.012*y12+0.098*y13+0.22*y14+0.403*y15 +0.012*y21+0.012*y22+0.098*y23+0.22*y24+0.403*y25+0.24*y31+0*y32+0.086*y33+0.208*y34+0.391*y35 +0.073*y41+0.049*y42+0.037*y43+0.159*y44+0.342*y45 +0.427*y51+0.403*y52+0.317*y53+0.195*y54+0.012*y55;x11+x12+x13+x14+x15=2;x21+x22+x23+x24+x25=2;x31+x32+x33+x34+x35=2;x41+x42+x43+x44+x45=2;x51+x52+x53+x54+x55=2;y11+y12+y13+y14+y15=2;y21+y22+y23+y24+y25=2;y31+y32+y33+y34+y35=2;y41+y42+y43+y44+y45=2;y51+y52+y53+y54+y55=2;bin(x11);bin(x12);bin(x13);bin(x14);bin(x15);bin(x21);bin(x22);bin(x23);bin(x24);bin(x25);bin(x31);bin(x32);bin(x33);bin(x34);bin(x35);bin(x41);bin(x42);bin(x43);bin(x44);bin(x45);bin(x51);bin(x52);bin(x53);bin(x54);bin(x55);bin(y11);bin(y12);bin(y13);bin(y14);bin(y15);bin(y21);bin(y22);bin(y23);bin(y24);bin(y25);bin(y31);bin(y32);bin(y33);bin(y34);bin(y35);bin(y41);bin(y42);bin(y43);bin(y44);bin(y45);bin(y51);bin