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实变函数 复习题 实变函数 复习题 黔南民族师范学院数学系 黔南民族师范学院数学系 2006 年 7 月 2006 年 7 月 1 第一章 集第一章 集 合合 论论 基基 础础 一 填空题一 填空题 1 设1 设 i x i xAi 1 1 1 1 则 则U Ni 1i i A 2 设2 设 8 证明 设8 证明 设A至多可数 至多可数 B是任一无限集 则是任一无限集 则BBA U 第二章 中 点 集 第二章 中 点 集 n R 一 填空题一 填空题 1 设 则1 设 则 QEI1 0 E 0 E E 2 设2 设 x yxyxE 1 cos 0 则 则 E 3 设3 设 n RE 试用邻域描述 是试用邻域描述 是 0 PE的孤立点 的孤立点 EP0 4 设4 设 n RE 若 若 则称 则称E为闭集 若 则称为闭集 若 则称E为自密集 若 为自密集 若 则称 则称E为完备集 为完备集 5 无限个开集的交未必是开集 试写出一个例子 5 无限个开集的交未必是开集 试写出一个例子 3 6 6 1 R上任一非空开集可以表示成上任一非空开集可以表示成 G 的并集 的并集 7 根据闭集结构可断言 7 根据闭集结构可断言 1 R上的完备集必是 上的完备集必是 的闭集 的闭集 8 设8 设 n RE 称 称E为稠密集是指 为稠密集是指 9 设9 设 n RE 称 称E为疏朗集是指 为疏朗集是指 10 设10 设 n RE 在 在 1 REf xfEx 0 连续连续 11 设11 设P为 Cantor 集 则为 Cantor 集 则 P 0 P 12 设12 设P是 Cantor 集 是 Cantor 集 Q是有理数集 是有理数集 NnnA U 2 1 2 1 n nn B 则它们中的闭集有 则它们中的闭集有 开集有 开集有 完备集有 完备集有 稠密集有 疏朗集 稠密集有 疏朗集 有 有 二 证明题 二 证明题 1 证明 1 证明 G为开集 为闭集为开集 为闭集 GG 0 F FF 4 2 证明 开集减闭集后的差集仍是开集 2 证明 开集减闭集后的差集仍是开集 3 证明 3 证明 0 E xx为为E的内点 是开集 的内点 是开集 4 证明 4 证明 n R中任一闭集都可表示成可数个开集的交集 中任一闭集都可表示成可数个开集的交集 5 证明 5 证明 A是包含是包含A的最小闭集 即对任意闭集 若的最小闭集 即对任意闭集 若FAF 那么 那么AF 6 证明 6 证明 CEEC 0 0 CEEC 7 设7 设 1 RA A既是开集又是闭集 证明 既是开集又是闭集 证明 A 或者或者 1 RA 8 证明 在上连续函数对8 证明 在上连续函数对 xf ba 实数 集合实数 集合c cxfxE 1 和和 cxfxE 2 都是 闭集 都是 闭集 9 设 证明 在9 设 证明 在 1 RRf n xf n R上连续上连续 对对 1 R中中 开集 它的原象开集 它的原象G GxfRxxGf n 1 是是 n R中开集 中开集 第三章 测 度 论 第三章 测 度 论 L 一 填空题一 填空题 1 1 设设 n RE L外测度定义 外测度定义 2 设2 设 n RE 为有界集 为有界集 I是任一包含是任一包含E的开区间 则的开区间 则L内测度定义为 内测度定义为 3 设3 设 n RE 根据卡氏条件 若 根据卡氏条件 若 n RT 都有 都有 则则 称称E是是L可测的 可测的 4 4 L测度与测度与L外测度的重要差异在于外测度的重要差异在于 5 5 设5 设 n RE 可测 则对可测 则对 0 闭集闭集EF 使 使 6 设6 设 n RE 可测 则可测 则 G型集 使型集 使 EG 7 7 Borel代数是指代数是指 n R中全体 其元素称为 中全体 其元素称为 8 设为 Cantor 集 则 8 设为 Cantor 集 则 P mP 1 0 Pm 9 取递减可测集列9 取递减可测集列 就有 就有 n E n n n n mEEm lim lim 10 半开闭区间可写成 故它是型集 又可写成 10 半开闭区间可写成 故它是型集 又可写成 ba F 故它也是型集 故它也是型集 G 二 证明题 二 证明题 1 设1 设 n RA 为可测集 为可测集 n RB 为任意集 证明 为任意集 证明 BAmU BAmI Am Bm 2 证明 2 证明 0 1 0 QmI 3 设3 设A可测 证明 可测 证明 0 BmmABAm 4 设为实常数 记4 设为实常数 记a 开集开集EG 使 使 Em Fm 第四章 可 测 函 数 第四章 可 测 函 数 L 一 填空题一 填空题 1 1 1 nfE n I U 1 1 n n afE 2 设可测函数 记2 设可测函数 记 xf 0 max xfxf 0 min xfxf 则 则 xf xf 3 定义在3 定义在 4 4 上的函数列 上的函数列 xxf n n 1 cos L 2 1 n 则 则 infxfn n 4 定义在4 定义在 0上的函数列 上的函数列 xxf 22 1 则 则 L 3 2 cos nxxf n n limxfn n 5 根据叶果洛夫定理 设 5 根据叶果洛夫定理 设 是是 闭集 使在 上连续 且 闭集 使在 上连续 且 EF xf F FEm 则是 则是 xfE上的可测函数 上的可测函数 11 设是可测集11 设是可测集 xf 1 RE 上的可测函数 证明 上的可测函数 证明 一个一个 1 R上的连续函数列上的连续函数列 使得在 使得在 n gE上 上 fg ea n 第五章第五章 积 分 论 积 分 论 L 一 填空题一 填空题 1 1 设在设在0 xf q RE 上可测 定义 其中为 上可测 定义 其中为 n E n nE dxxfdxxf lim n E n xf 2 根据2 根据L积分的绝对连续性 若在积分的绝对连续性 若在 xfE上上L可积 则 可积 则 3 设在3 设在 xfE上上L可积 则可积 则 fmE 4 根据引理 设4 根据引理 设 是可测集是可测集Fatou xfn q RE 上一列非负可测函数 则 上一列非负可测函数 则 9 5 设5 设A B分别为分别为 p R q R中可测集 则中可测集 则BA 是是 qp R 中 且中 且 BAm 6 设是6 设是 xf n RE 上的非负函数 则它的下方图形是 中的点集 可表示成 上的非负函数 则它的下方图形是 中的点集 可表示成 fEG 7 设7 设P为为Cantor集 则 集 则 1 0 Pm Ptgxdx 8 设是8 设是 上的有限函数 则 上的有限函数 则 xf ba f V b a 9 设是9 设是 上的有限函数 若 上的有限函数 若 xFba 则称是 则称是 xF ba 上的绝对连续函数 上的绝对连续函数 10 分解定理表明 上的任一有界变差函数都可以表示为 10 分解定理表明 上的任一有界变差函数都可以表示为 Jordan ba xf 11 根据定理 若是上的单增函数 则11 根据定理 若是上的单增函数 则Lebesgue xf ba x f 在在 ba 上 上 且有 且有 12 设在上12 设在上 xf baL可积 则的一个不定积分可表示为 可积 则的一个不定积分可表示为 xf 13 是上的绝对连续函数13 是上的绝对连续函数 xF ba 10 14 写出一个连续但非有界变差函数的例子 14 写出一个连续但非有界变差函数的例子 15 写出一个使公式不成立的单增函数的例子 15 写出一个使公式不成立的单增函数的例子 LN 二 证明题 二 证明题 1 设在1 设在Cantor集上等于 1 而在的长度为集上等于 1 而在的长度为 xfPP n 3 1 的余区间上等于 试证在 上 的余区间上等于 试证在 上 Nnn xf 1 0 L可积 并求 可积 并求 1 0 dxxf 2 设在2 设在 xfE上非负上非负L可积 且 证明 可积 且 证明 E dxxf0 0 xf 于 于 eaE 3 设 在3 设 在 Em xfE上上L可积 并记可积 并记 nfEEn 证明 证明 0 lim n n Emn 4 设 4 设 是是 必 必 ba 上的连续函数上的连续函数 x 使得 使得 Em xfE上上L可积 证明 若对可积 证明 若对E上任意有界可测函数上任意有界可测函数 x 都有 则 于 都有 则 于 E dxxxf0 0 xf eaE 8 证明 时 8 证明 时 0 a 1 1 1 lim a a n n n e t n t dt 11 9 证明 9 证明 1 2 1 0 12 41 1 1 n n dx x n x x 10 设于10 设于 0 xfnff ea n E 且 常数 证明 在 且 常数 证明 在 E n Kdxxf xfE上上L可积 可积 11 在 2 2 2 2 上定义11 在 2 2 2 2 上定义D 0 0 0 0 0 322 yx yx yx xy yxf 证明 这两个累次积分存在且 相等 但在上非 证明 这两个累次积分存在且 相等 但在上非 yxfDL可积 可积 12 设12 设 为为 上有界变差函数列 且上有界变差函数列 且 xfn ba xfxfn xf