南京航空航天大学《高等数学》6.4平面曲线的弧长.pdf

第四节 平面曲线的弧长第四节 平面曲线的弧长 平面曲线弧长的概念与计算平面曲线弧长的概念与计算 直角坐标情况直角坐标情况 参数方程情况参数方程情况 极坐标情况极坐标情况 xo y 0 MA n MB 1 M 2 M1 n M 设设A B是曲线弧上的两 个端点 在弧上插入分点 是曲线弧上的两 个端点 在弧上插入分点 BMM MMMA nn i 1 10 并依次连接相邻分点得一内接折线 当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时 并依次连接相邻分点得一内接折线 当分点的数目 无限增加且每个小弧段都缩向一点时 此折线的长此折线的长 1 1 n i ii MM的极限存在 则称此极限为 曲线弧 的极限存在 则称此极限为 曲线弧AB的弧长的弧长 一 平面曲线弧长的概念一 平面曲线弧长的概念 设曲线设曲线 xfy bxa 其中 其中 xf在在 ba上有一阶连续导数上有一阶连续导数 a b xdxx 用积分元素法用积分元素法 取积分变量为取积分变量为 x 在 在 ba上取小区间上取小区间 dxxx dy 弧长元素弧长元素dxyds 2 1 曲线段的弧长曲线段的弧长 1 2 dxys b a 二 直角坐标系情形二 直角坐标系情形 以小切线段的长代替小弧段以小切线段的长代替小弧段 s 的长的长 小切线段的长小切线段的长 22 dydx dxy 2 1 y x o 例 1例 1 计算曲线计算曲线 2 3 3 2 xy 上相应于上相应于 x从从 a到到 b的 一段弧的长度 的 一段弧的长度 解解 2 1 xy dxxds 2 1 2 1 1dxx 所求弧长为所求弧长为 dxxs b a 1 1 1 3 2 2 3 2 3 ab a b 例 2例 2 计算曲线计算曲线 dny n x 0 sin 的弧长的弧长 0 nx 解解 nn x ny 1 sin sin n x dxys b a 2 1 dx n x n 0 sin1 ntx ndtt 0 sin1 dt tttt n 0 22 2 cos 2 sin2 2 cos 2 sin dt tt n 0 2 cos 2 sin 4n 曲线弧为曲线弧为 ty tx t 其中其中 tt 在在 上具有连续导数上具有连续导数 22 dydxds 222 dttt dttt 22 弧长弧长 22 dttts 三 参数方程情形三 参数方程情形 例 3 例 3 求星形线求星形线 3 2 3 2 3 2 ayx 0 a的全长的全长 tay tax 3 3 sin cos 20 解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为 t 根据对称性根据对称性 1 4ss dtyx 2 0 22 4dttta 2 0 cossin34 6a 第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长第一象限部分的弧长 例 4例 4 证明正弦线证明正弦线xaysin 20 x的弧长 等于椭圆 的弧长 等于椭圆 tay tx sin1 cos 2 20 t的周长的周长 证证设正弦线的弧长等于设正弦线的弧长等于 1 s dxys 2 0 2 1 1dxxa 2 0 22 cos1 dxxa 0 22 cos1 cos12 0 22 dxxa cos1 2 22 dxxa 2 0 22 2 dtyxs 根据椭圆的对称性知根据椭圆的对称性知 dttats 0 2 2 2 2 cos1sin2 dxxa 0 22 cos12 1 s 故原结论成立故原结论成立 dtta 0 22 cos12 设椭圆的周长为设椭圆的周长为 2 s 曲线弧为曲线弧为 rr 其中其中 r 在在 上具有连续导数上具有连续导数 sin cos ry rx 22 dydxds 22 drr 弧长弧长 22 drrs 四 极坐标情形四 极坐标情形 例 5 求极坐标系下曲线例 5 求极坐标系下曲线 3 3 sin ar的长 的长 0 a 解解 drrs 22 3 1 3 cos 3 sin3 2 ar 3 cos 3 sin 2 a 2 3 a daa 24 2 6 2 3 cos 3 sin 3 sin 3 0 d 2 3 sin 3 0 a 0 3 例 6例 6 求阿基米德螺线求阿基米德螺线 ar 0 a上相应于上相应于 从从0到到 2的弧长的弧长 ar解解 drrs 22 412ln 412 2 22 a 2 0 daa 222 2 0 a d1 2 例例7 求心脏线求心脏线r a 1 cos 的全长 的全长 解 心脏线全长对应于解 心脏线全长对应于r a 1 cos 0 2 2 cos4 cos1 sin sin 22222222 aaarrar adadadrrs8 2 cos4 2 cos 2 0 2 0 2 0 22 平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念 直角坐标系下 参数方程情形下 极坐标系下 弧微分的概念 求弧长的公式 直角坐标系下 参数方程情形下 极坐标系下 弧微分的概念 求弧长的公式 五 小结五 小结 思考题思考题 闭区间闭区间 ba上的连续曲线上的连续曲线 xfy 是否一定可求长 是否一定可求长 思考题解答思考题解答 不一定 仅仅有曲线连续还不够 必须保证 曲线光滑才可求长 不一定 仅仅有曲线连续还不够 必须保证 曲线光滑才可求长 dttadtyxdss tt 2 0 2 0 22 2 0 cos22 a