（岩土工程专业论文）基于数学规划理论的基础工程优化设计研究.pdf

基于数学规划理论的基础工程优化设计研究 研究生：胡忆华导师：薛国亚 摘要 基于数学规划理论的工程结构优化设计，是根据运筹学中的数学规划理论，将传统 工程结构的设计方法转化为数学模型，然后选择适当的寻优算法进行计算并得到最优解， 从而达到优化设计所预期的目标。本文基于以往基础工程领域的优化设计研究工作，结 合工程经济的相关理论，对优化设计数学模型提出了改进意见并提出了新的优化设计模 型；同时，结合工程实例进行了具体的寻优计算，最后还对计算结果进行了敏感性分析， 其结论可以为后续优化设计工作提供决策上的帮助。 本文的具体研究工作包括， 1 ) 分析传统基础工程优化设计的思路及寻优方法；根据工程经济学中价值工程的理 论，对传统优化设计数学模型提出改进意见并建立新的数学模型； 2 ) 研究遗传算法的原理和特点，结合具体算例，说明一般性遗传算法在解决进行工 程结构优化设计时经常出现的非线性规划问题的适用性和求解效果。 3 ) 研究基坑支护结构的设计理论；根据上述改进的数学模型和遗传算法的特点，建 立基坑支护结构优化设计数学模型；以悬臂式支护结构为具体算例，对其依次进行传统 的成本最小和改进的价值最大的优化设计。最后，对两种优化设计的结果进行了敏感性 分析； 4 ) 研究桩基础的设计理论；根据上述改进的数学模型和遗传算法的特点，建立桩基 础优化设计数学模型。然后以某工程的柱下独立承台桩基础设计为具体算例，对其依次 进行传统的成本最小和改进的价值最大的优化设计。最后，对两种优化设计的结果进行 了敏感性分析； 关键字：基础工程优化设计遗传算法价值工程敏感性分析 i v o p t i m a ld e s i g nf o rf o u n d a t i o ne n g i n e e r i n gb a s e do nt h e t h e o r yo fm a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g a u t h o r ：h uy i h u a a b s t r a c t s u p e r v i s e db y ：x u eg u o y a o p t i m a ld e s i g nd e a l sw i t he n g i n e e r i n gs t r u c t u r ed e s i g nw i t hm a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g a sab r a n c ho f o p e r a t i o nr e s e a r c h ，m a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n gc a nb eu s e dt ot r a n s f o r i l lt r a d i t i o n a ls t r u c t u r ed e s i g ni n t o m a t h e m a t i c a lm o d e l t h r o u g hw o r k i n go nt h em o d e l d e s i g n e r sw i l lt h e nb ea b l et oa c h i e v ee n d i n g st h a t t r a d i t i o n a ld e s i g nm e t h o d sc a n n o t i nt h ea r e ao fo p t i m a ld e s i g nf o rf o u n d a t i o ne n g i n e e r i n g , p r e v i o u s r e s e a r c hw o r k se x c l u s i v e l yf o c u s e do nc o s tm i n i m i z a t i o na n di g n o r e dc o s te m c i e n c y i no r d e rt om a k eu p f o rt h i sd e f i c i e n c y , t h ea u t h o ri m p r o v e st r a d i t i o n a lo p t i m a ld e s i g nm o d e l sw i t hi d e a si n e n g i n e e r i n g e c o n o m i c sa n ds o l v e st h en e wm o d e l su s i n gg e n e t i ca l g o r i t h m s t h ed e t a i lw o r k sa 把a sf o l l o w s 1 t h ea u t h o ra n a l y z e st r a d i t i o n a lo p t i m a ld e s i g nf o rf o u n d a t i o ne n g i n e e r i n ga n df i n d st h e i rs t r e n g t h sa n d w e a k n e s s e s t h e n , n e wo b j e c t i v ef u n c t i o ni ng e n e r a lw a se s t a b l i s h e db a s e do nt h et h e o r yo fv a l u e e n g i n e e r i n gi ne n g i n e e r i n ge c o n o m i c s 2 t h ea u t h o ri n t r o d u c e sa n ds t u d i e st h ep r i n c i p l ea n dc h a r a c t e r i s t i c so f g e n e t i ca l g o r i t h m ( g a ) t h e n , a p r a c t i c a ln o n l i n e a rc o n s t r a i n e dm a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n gp r o b l e mw a sr a i s e da n ds o l v e dt op r o v et h e v a l i d i t ya n de f f i c i e n c yo fg ai nd e a l i n gw i t hs u c hp r o b l e m s ，w h i c hw a su s u a l l ye n c o u n t e r e di ne n g i n e e r i n g s t r u c t u r eo p t i m a ld e s i g n 3 b a s e do nt h ei m p r o v e dm a t h e m a t i c a lm o d e l ，t h ea u t h o rb u i l du pi m p r o v e do p t i m a ld e s i g nm o d e lf o r c a n t i l e v e rs u p p o r t i n gs t r u c t u r e sf o rt h ep u r p o s eo fm i n i m i z i n gi t sc o s ta n dm a x i m i z i n gi t sc o s te f f i c i e n c y r e s p e c t i v e l y f i n a l l y , s e n s i t i v ea n a l y s i si sm a d ef o rt h e s et w oo p t i m a ld e s i g nr e s u l t s 4 b a s e do nt h ei m p r o v e dm a t h e m a t i c a lm o d e l ，o p t i m a ld e s i g nm o d e lf o rp i l e sf o u n d a t i o nw a sa l s o e s t a b l i s h e da n ds o l v e du s i n gg a f i n a l l y , s e n s i t i v ea n a l y s i si sm a d ef o rt h e s et w oo p t i m a ld e s i g nr e s u l t s k e y w o r d s ：f o u n d a t i o ne n g i n e e r i n g ，o p t i m a ld e s i g n ，g e n e t i ca l g o r i t h m ，v a l u ee n g i n e e r i n g ，s e n s i t i v e a n a l y s i s v 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所旱交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所 知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：碰l ! f 乙啤一一日期：纫涅卫l 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件和电 子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相 一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括以电子信息形式刊登) 论文的全部内容或中、英文摘要等部分内容。论文的公布( 包括以电子信息形式刊登) 授权东南大 学研究生院办理。 研究生签名：蹴导师签名l 二墅三日期：兰垒垒2 。乏；空 第一章绪论 1 1 工程结构优化设计简介 第一章绪论 1 1 1 概念的提出 对于土木工程结构设计，传统的设计思路是首先根据设计者所掌握的理论知识和工程经验对工程进行 判断并提出设计方案，然后依照规范对方案进行计算分析。如果设计出的方案经验算不满足相应的规范要 求，则由设计者对方案进行调整直至满足规范。这种设计思路其实是在验证设计者头脑中的设计方案的可 行性，因而带有很强的主观性。工程结构设计原理的自身特点决定了对于项工程，没有唯一的设计结果。 不同的人可能设计出完全不同的方案。然而，对于任何位设计者而言，都希单在给定的条件下设计出在 技术经济上尽量理想的方案。传统的设计方法无法满足这样的需求，于是，优化设计的概念应运而生。 笔者认为，工程结构优化设计包含两层含义。其一是力学意义上的优化设计。设计者通过总结- t 程经 验，建立力学模型，或者通过工程实验观测等方法，发现已有设计的不足之处，然后对设计参数、设计方 案甚至设计规范提出修改意见，最后得出改进的优化设计方案并加以验证。这种优化设计往往是以改善工 程结构的受力性能，节约成本和便于施工等目的为丰。其成功不仅依赖于工程经验的积累，还有赖于计算 分析手段和实验条件等的发展。例如，有限元的出现就为这种结构优化设计提供了强有力的分析手段。其 二是基于数学规划理论的优化设计。设计者通过结合力学原理和数学规划理论，将结构设计问题抽象成数 学模型，然后利用数学规划中的最优化理论对模型进行求解，从而得出最优设计方案。其优化目标往往以 结构最经济或重量最轻等为主。相比较而言，这种意义上的优化设计更加关注于求解数学意义上的最优解。 其实现取决于两方面凶素，一方面是数学模型的优劣，另一方面是寻优算法和计算机技术的发展。例如， 人工神经网络( a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k ) ，遗传算法( g e n e t i ca l g o r i t h m ) 等一些智能仿生算法在 求解优化设计模型中的应用。 1 1 2 发展历史 “优选”的思想一直存在于t 程设计和施j 二当中。例如，由梁演变到桁架、拱结构；用可以有效节省 工期，减少施_ 亡面的逆作法取代传统的正作法等。早在1 8 6 9 年，m a x w e l l 提出的同时破坏设计原则就带有 很强的优化设计理念。1 9 0 4 芏l 珊i c h e l l e 又提出最小体积桁架的设计问题，使得优化思想应用于土建结构设 计有了一定的理论依据。而实际上，这些方法的意义只有在计算机出现之后( 1 9 5 0 年) 才被认识。因此， 在上世纪5 0 年代之后优化设计才有了很大发展。数学规划是在上世纪4 0 年代后期发展起来的。1 9 6 0 年， s c h m i t t “首先用数学规划理论与有限元法结合，求解多种载荷情况jf 弹性结构的最小重量的设计问题，形 成了全新的结构优化的基本思想，引起了研究者的极大兴趣。它意味着现代结构优化设计的开始。 现如今，优化设计研究的范围已变得十分广泛。从宏观上讲，其被应用的领域涉及航空航天、机械、 土木、水利、汽车、轻工纺织、能源工业以及军事工业等方面，在一些复杂结构系统的优化设计和大规模 的工程建设中，如大坝、桥梁、核电站，或者产量大的汽车、机械和轻工产品以及创新型的产品设计中都 有广泛的应用。t 苊t ：设计的应用研究还扩大到国土开发与资源利用、环境监控与生态保护，以及海洋：【程 等领域。在微观e ，优化设计研究的内容包括尺寸优化问题、形状优化问题1 2 儿3 | 及材料选择、拓扑优化问 题h i 。随着工程分析手段的发展，土木工程结构优化问题已经从简单的杆系结构设计发展到了包括梁、板、 壳等多种结构形式的设计。在数学规划理论方面，目标函数从单目标发展到多目标，设计变量由连续型发 展到离散型，优化算法由传统的解析算法发展到智能和仿生算法等。 l 东南大学硕士学位论文 与一些先进的结构分析方法在优化设计中的应用相比，目前基于数学规划理论的优化设计研究相对比 较薄弱。其存在的问题主要有两个方面。第一是在数学模型的建立和求解方面。实际的结构设计问题十分 复杂，涉及的冈素包括设计方法、材料性质、施工方法等。在模型的建立过程中，往往无法考虑如此多的 因素，而这些因素之间又存在着不可分割的联系。这种复杂性加大了建模的难度。同时，一些先进的上程 分析结论，无法很好的反应在数学模型中。即使可以建立个能考虑多方面因素的数学模型，又会冈为设 计变量和约束条件过多，使得计算寻优存在极大的困难。因而，在实际应用中，往往遵循解决问题主要矛 盾的原则建立模型，忽略很多传统设计中需要考虑的因素。这样优化出的结果在实际应用中往往受到限制。 当模型建立好以后，结构优化设计问题就完全转化为数学问题。在这一阶段，优化设计的研究工作丰要是 寻求有效的算法。数学工作者在这方面的研究主要集中在讨论算法在特定问题下的收敛性，全局性和效率 等。近些年来随着计算机软件技术的发展，一些仿生智能算法，如人工神经网络、遗传算法，模拟退火算 法、蚁群算法及各自相关的改进算法有了长足的发展。这些算法特别适合求解 e 线性多约束的优化问题， 因而很快在工程领域得以广泛应用。此外，计算机软件技术的发展也为工程优化的实现提供了良好的环境， 出现了像l i n g o 、l i a t l a b 等方便的科学计算软件。然而这一阶段的优化设计依然存在问题：数学工作者的 兴趣在于寻求数学模型的精确最优解。相比之下，工程设计者在从事工程设计时带有很强的艺术性。他们 更关心的设计出既安全可靠，又经济的设计方案，而不是数学意义上的最优解。精确的最优解往往在实际 中无法满足和得以应用。这个矛盾一方面反映了科学界与工程界在观念上的差异和价值观的不同，另一方 面也反映了工程师与科学家在解决问题方法上的不同。在数学模型上，优化设计提供的最优解仅仅是在所 选用的约束与评价函数下才是最优的。而在实际中，约束和评价往往不能精确地用数学语言表达。工程师 和群众对于一项工程的评价是多方面的，有时甚至是纯主观的。这就使得用数学规划理论求解出的最优结 构很少得到工程界的认可。总而言之，理论与应用差距较大的原因是多方面的。优化问题本身的性质，理 论研究存在的不足，实际应用中的问题都构成了基于数学规划理论的优化设计发展的障碍。 1 2 基础工程优化设计的发展近况 随着t 程结构优化设计的发展，近些年来基础工程的优化设计也有了长足的发展。按照工程类型的不 同可以将其分为，基坑- t 程优化设计，桩基础优化设计；按照研究对象和方法的不同又可分为结构优化设 计和方案优化设计等。 在基坑：啊呈结构优化设计方面，秦四清惜l 等对基坑工程相关结构的设计理论和优化设计方法做了详细 的论述，其对后续研究t 作具有很强的指导性。周瑞忠和潘是伟崎首先采用遗传算法对深基坑支护结构进 行优化设计，并通过1 程实例证明了该方法的有效性。徐杨清从系统工程的观点出发，提出了深基坑工 程优化设计的新方法，并运用非线性规划理论建立和求解了深基坑优化设计计算的流程和模型。詹建华川 针对深基坑工程优化设计中的多目标优化问题建立相应的数学模型，并用m a t l a b 中优化：【具箱编程并求解 了实际优化问题，得到了多目标优化算法的结果。梅传书旧i 运用了改进的遗传算法c g a 算法对基坑t 程 的优化问题进行求解爿：验证了该算法的有效性。在方案优化设计方面，姚胜0 j 将价值工程理论应用于基坑 支护方案的优选，总结出基坑支护方案优选的步骤，并针对实际的工程项目设计了多个方案并进行优选， 方案实施后取得了较好的经济效益。乾增珍1 利用神经网络b p 模型构建了优选深基坑支护方案的b p 网络模 型，通过大量工程实例学习，形成了优选深基坑支护方案的网络模型。 在桩基础结构优化设计方面，龚晓南、陈明中“引指出从提高设计水平的角度来讲，采用数学优化方法 解决设计问题，可以提高求解的精度，得到较优的设计解。并且，在实际设计过程中，提倡人机交互的设 计方法。陈晓平、茜平一等“引将系统分析的理论方法应用于桩筏基础设计，混合使用多种优化技术，将设 计所追求的目标与应满足的各种条件和工程经验有机地联系，求得最优结果。蒋启平“刖建立了桩箱( 筏) 基 2 第一章绪论 础优化设计数学模型，应用遗传算法求解最优设计值。梅传书旧1 建立了关于成本最小化的桩筏基础优化设 计模型，应用自己设计的g g a 算法，在满足规范的要求下成功优化了桩数、桩径、桩长和筏板厚度等设计 变量。在方案优化设计方面，吕秀杰n 5 1 对嘉兴市区内工程地质条件进行了合理的划分以及分析评价，对区 域内各类的建筑物的天然地基、桩基础的各种类型及地基处理的适宜性进行了分析总结，提出了在本地区 建设各种建筑物最适宜的基础型式或地基处理方法。 1 3 本文研究内容 前人对基础t 程的优化设计研究大都以成本最小化为目标。首先，这些优化设计中大都以混凝土用量 作为评价成本的指标。在实际工程中，一个分部分项1 二徉的费脂远远超过了混凝 ：的费用，采用混凝十来 评价结构成本是不恰当的，应当采用计算工程量并套用相关定额的方法来计算结构成本。其次，成本最小 的优化设计虽然町以最大限度的节约成本，但却牺牲结构的功能，使得成本的利用效率大打折扣。本文创 新陛地将价值上程中价值的思想引入到优化设计当中，以价值工程方法为指导，确立新的评价指标和目标 函数，并建立相应的数学模型，同时结合基础- 程中一些具体的设计问题进行优化设计的分析和求解。 优化设计的i t 作不仅仅局限于最优解的寻求。在得到最优解之后，还需要对数学模型中的设计变量和 参数做进步的分析，找出对优化目标影响最大的因素，为后续的优化设计工作提供指导性的意见。敏感 性分析正是达到这一效果的最佳研究手段。本文在对上程实例进行匕述优化设计之后，还进行了敏感性分 析，得出了一系列的结论。 本文的研究工作主要是结合基础工程设计实例，进行优化设计数学模型的建屯、求解和分析，具体工 作包括， 1 ) 分析传统基础工程优化设计的思路及寻优方法，找出了其中优缺点；根据工程经济学中价值工程 的理论，对传统优化设计数学模型提出改进意见并建立新的数学模型； 2 ) 研究遗传算法的原理和特点，结合具体算例，说明般性遗传算法在解决进行工程结构优化设计 时经常出现的非线性规划问题的适用性和求解效果。 3 ) 研究基坑支护结构的设计理论；根据上述改进的数学模型和遗传算法的特点，建立了基坑支护结 构优化设计数学模型，然后以悬臂式支护结构为具体算例，对其依次进行成本最小和价值最大的优化设计。 最后，对两种优化设计的结果进行了敏感| 生分析； 4 ) 研究桩基础的设计理论；根据上述改进的数学模型和遗传算法的特点，建寺了桩基础优化设计数 学模型。然后以某工程的柱下独立承台桩基础为具体算例，对其依次进行成本最小和价值最大的优化设计。 最后，对两种优化设计的结果进行了敏感性分析； 1 4 论文框架 3 东南大学硕t ：学位论文 论 研究内容： 工程结构优化设计简介 基础工程优化设计的发展近 况 基坑支护结构的优化设计 研究内容： 设计理论 成本最小优化设计致学模型 价值最大优化设i a - 数学模型 敏感性分析 桩基础的优化设计 研究内容： 设计理论 成本最小优化设计数学模型 价值最大优化设计数学模型 敏感性分析 了 结柬语 图1 - 1 论文框架图 4 一一一 i i i i i i一 一 一 一 一 一 一 一 析r l k黼t 曼 腊 鹏鹏 一 一 一瓣 一 一 一 一 ii l l 第二章数学规划理论与优化设计 2 1 概述 第二章数学规划理论与优化设计 自从s c h m i t t 将数学规划理论引入到j t 程结构优化设计中以后，种全新的，以数学规划理论作为基 础的结构优化思想诞生并引起了研究者的极大兴趣。随着1 = 程设计理论的发展，设计者对优化设计的要求 也越米越高，已经从对简单的桁架结构的优化发展到了结构的系统优化。现如今，工程结构优化设计所面 向的问题往往带有高度非线性的约束条件，且含有多个设计变量。这就对数学规划理论提出了新的要求： 适用于工程结构优化设计的数学规划理论应当适合处理带有高度非线性约束条件的，并且i 口j 以有效的解决 复杂空间的全局优化问题；传统的数学规划理论在实际应用时需要对问题的设计变量约束条件加以限制以 符合相关的求解寻优理论，于是用这种方法在处理上述的问题时会遇到巨大的阻力。 多个设计变量以及非线性约束条件的存在增加了用数学规划理论求解问题的难度，传统的寻优算法已 经无法满足新的要求。自上个世纪六十年代以来，一种模仿生物自然进化过程，被称为“进化算法 ( e v o l u t i o n a r ya l g o r i t h m ) ”的随机优化技术在求解新的结构优化设计问题中显示出了优于传统优化算 法的性能。进化算法主要包括三个领域的研究：遗传算法( g e n e t i ca l g o r it h i n ) 、进化规划( e v o l u t i o n a r y p r o g r a m m i n g ) 和进化策略( e v o l u t i o n a r ys t r a t e g i e s ) 1 6 1 0 其中遗传算法是迄今为止进化算法中应用最 广泛的。它是一种基于自然进化规则的随机搜索方法，具有全局性，并行计算和很强的鲁棒性。遗传算法 已经成功解决了作业调度与排序、可靠性设计、参数优化和动态系统最优控制等优化问题。g o l d b e r g u 引 和s a m t a n i n 6 | 首次将简化的遗传算法应用于十字杆桁架的优化设计当中，并取得了良好的效果。此后随着 各种改进的遗传算法相继出现，遗传算法所能处理的问题也逐渐扩展，从平面问题拓展到空间问题，从连 续变量拓展到离散变量。 2 2 数学规划理论介绍 2 2 1 数学规划理论的发展简史 数学规划理论是运筹学的一个分支。运筹学作为一门独立的学科，源自于第二次世界大战期间，英国 人罗伊( 丸p r o w e ) 所做的一些关f 防空作战系统的研究工作n 引。他在份名为“关于整个防空作战系统 的运行研究”的报告中首次运用了“o p e r a t i o n a lr e s e a r c h ”这个词，后来这个词被中译为“运筹学”。 二战期间，各个国家相继出现了很多著名的运筹学研究小组，他们的研究工作不仅为军队作战做了巨大贡 献，也为运筹学的发展奠定了坚实的基础。二战后，运筹学很快深入到了工业、商业、政府部门等，并得 到了迅速的发展。经历了创建、成长、发展普及三个阶段的发展。至今，其内容已经相当丰富，分支也有 很多。根据运筹学所解决问题的主要特征叮以将其分为两人类：确定型模型和概率型模型。确定型模型主 要包括数学规划和图论与网络分析：概率型模型主要包括决策论、对策论、排队论、存贮论等。其中数学 规划理论又包含线性规划、整数规划、目标规划、非线性规划、动态规划、随机规划、多目标规划、两层 规划、多层规划等。 2 2 2 数学规划及其数学模型 在企业的生产管理和经营活动中，管理者经常会遇到这样的问题，即如何利用有限的人力、物力，财 力等资源，以取得最好的效果。例如下料问题、配载问题和生产计划问题等。这些问题有几个共同的特点： 1 ) 问题解决要满足定的条件； 5 东南大学硕上学位论文 2 ) 问题有多个满足条件的解决方案： 3 ) 问题解决有明确的目标要求，对应不同方案有不同的目标值，可表示成目j 示函数。 将这些问题归类为个一般的问题就是“在一定约束条件下，求目标函数的最大或最小值”。这样的 问题被称之为最优化问题或数学规划问题。其解决问题的步骤可大致分为以下几步： 1 ) 分析和提出问题 首先对问题进行定性分析，找出问题的主要矛盾，确定决策目标，辨认哪些是决策的关键因素、关键 约束。 2 ) 建立模型 建模是运筹学方法的精髓。运筹学中的模型有三种基本形式：形象模型、模拟模型、符号或数学模型。 3 ) 求解模型 用各种手段( 数学方法或其他工具) 求解模型。模型的解可以为最优解、次优解和满意解。通常，复 杂模型的求解需要计算机的支持。 4 ) 模型与解的检验 为检验模型和解是否正确，常采用回溯的方法。即将历史资料输入模型，分析研究得到的解与实际的 复合程度，以判别模型是否正确，检查实际问题是否有一些重要因素没有在模型中考虑。 5 ) 解的有效控制 任何模型都有一定的适用范围。模型的解是否有效，首先要注意模型是否继续有效，并依据灵敏度分 析方法，确定最优解保持稳定的参数变化范围，要及时对模型与解作修正。 6 ) 方案实施 只有优化方案实施并获得反馈后，分析、研究成果才算真正有价值、有收获。 上述步骤往往需要交叉反复进行。 2 2 3 数学规划与工程结构优化设计 首先，介绍一些相关术语。 预定参数：在参与结构设计的各个量中，以固定值的形式出现，用来描述结构特性的参数称为预定参 数。例如材料的弹性模量，结构的荷载，材料单价等。 设计变量：以变量的形式参与设计的量称为设计变量。设计变量可以是结构构件的截面参数，如截面 面积、截面隈性矩等，也可以是和结构整体有关的几何参数，如节点坐标、柱的高度、梁的间距等，还可 以是有关结构材料的参数，如材料的弹性模量、混凝土标号等。 目标函数：设计者认为最优的设计方案，以数学的语言反映在关系式上，就形成了优化设计中的目标 函数。目标函数是设计变量的函数。优化设计就是在众多可行解中寻找目标函数的极值。结构的体积、重 量、刚度、造价、变形、承载力、自振频率、振幅等都可以根据需要作为优化设计中的巨i 标函数。 约束条件：在结构设计中需要根据设计规范、构造和施工等各方面的要求对结构的设计变量做各种限 制。这样的限制称为约束条件。 用以上的术语将结构优化问题的般形式表述出来如下， m i n 厂( x ) = f ( x l ，x 2 ，x n ) 彳r ”l s j g ，( x ) 0 ( ，= l ，2 ，伪) ( 2 1 ) ( x ) = 仪k = l ，2 ，1 )i 根据实际工程和需要，计算和查询预订参数，选择设计变量，确定目标函数，列出约束条件，称为建 立结构优化设计的数学模型。最后，有了优化设计模型，还要选择合适的算法，进行结构优化设计的寻优。 6 第- 二章数学规划理论与优化设计 比较简单的算法有图解法和解析法等。 2 3 优化设计思路分析 2 3 1 传统的优化设计思路 在以往基于数学规划理论的工程结构优化设计当中，设计者往往将优化目标设定为使结构的成 本最小，并以结构刚度，变形，构造等要求为约束条件建立数学模型。这些问题一般可以归结为如 下的带约束非线性规划问题， m i n 厂( x ) s t g t ( x ) 0 ( x ) = 0 x ：sx l x ：lif 式中，f ( x ) 成本函数； 甄( j ) ，h 。( 工) 强度约束和挠度约束； 五f 构造约束。 这种优化设计的优点是可以在满足规范要求的前提下，最大限度地节约成本。然而，通过对上 述模型的优化结果进行计算分析可知，当目标函数f ( x ) 减小时，g 。( x ) 中的一些约束条件趋近于零， 当厂( x ) 取最小值时，毋( x ) 中的一些不等式取等号。换句话说，成本的减少导致结构各项指标下降。 这就带来了两个弊端。第一，这种优化设计人为地割裂了结构的功能与经济的关系，难以使综合效 益最大化。传统的观点认为只要设计出的结构其各方面指标在规定的范嗣内，那么结构的功能就保 持不变。而实际上，工程结构作为一种产品，其功能与成本存在着必然的连续关系，即成本投入越 多，结构的功能就越强，如图2 1 。成本投入过多会造成浪费，成本投入过少会牺牲结构安全储备。 这就要求设计者在进行优化设计时寻求经济与安全的平衡点。传统的优化设计由于思路所限，对于 这个问题并没有很好的解决。第二，对结构安全性和可靠性要求很高的工程如基坑工程，如果在设 计时就使结构的某一个约束，如承载力、变形等，达到了临界状态，那么无疑是把结构的安全储备 降到了最低。文献i 憎j 指出如果在设计时就使得安全系数降低到规范要求的底线，那么由于缺乏当地 工程经验，设计参数选取失误和施- t 不当等随机因素的存在，使得基坑事故发生的可能性大大增加。 可见，为了追求成本最小而一味的降低结构的安全储备是一种值得商榷的做法。 能 功 构 结 结构成本 图2 - 1 结构成本与功能的关系 7 乙 、l， 七 甲 以 。 厶乙 彤k l 卫 = = = ：! ：扣 胪 东南大学硕上学位论文 2 3 2 改进的优化设计思路 随着建筑业的不断发展，工程师对结构经济性的要求也越来越高。为了避免上述问题的出现，毫无疑 问需要增加成本投入来提高结构的功能。那么，首先，应该投入多少成本? 成本投入得越多，结构的承载 力和刚度越大，变形越小。但过度投入成本又会造成不必要的浪费。另一方面，如何投入成本? 对于工程 结构，增加结构功能的方法有很多。例如，为了增加支护结构的刚度可以增大桩径，提高混凝七标号和减 少桩间距。这些优化变量如何做出相应的调整才能达到预期的效果? 哪一个变量对优化结果影响最大? 这 些问题都需要进步探讨。 对于第一个问题，设计者对“最优”的理解各有不同造成了优化设计结果的差异。有些人认为“最优” 等于“成本最低”，有些人认为“最优”等于“最安全”。本文对“最优”提出一种新的看法，即使成本得 到最优化的利用。为了达到这一效果，引入价值工程中价值的概念。价值工程n 7 1 中价值的定义是“功能” 与“成本”的比值，即单位成本实现的功能，类似于现实生活中“性价比”的概念，其表达式为 v = f c( 2 3 ) 式中，矿产品价值； f 产品功能： c 产品成本。 价值t 程以提高产晶的价值为目标，它不片面地降低成本，也不片面地提高功能，而是寻求价值系 数矿的提高，即追求产品功能与成本之间的最佳匹配关系。为了提高1 = 程价值，般有几下五种方法， 1 ) 降低成本，功能保持不变； 2 ) 成本保持不变，提高功能： 3 ) 成本略有增加，功能提高很多； 4 ) 功能减少一部分，成本大幅度下降； 5 ) 成本降低，功能提高。 成本的计算方法相对同定。而功能的评价方法根据不同类型的工程结构会有所不同。这里暂时不做讨 论，留待后续章节中深入讨论。根据功能评价方法，建立功能评价函数，并建立新的目标函数， m a x y ( x ) = f ( x ) c ( x ) ( 2 4 ) 式中，f ( x 1 功能评价函数； c ( x ) 成本评价函数。 对于第二个问题，需要在建模后找到合适的算法，求解模型并验证解的可行性和最优性。在得 到最优解之后，还需要对模型和结果进行敏感性分析。敏感性分析1 2 0 l 是经济决策中一种常用的不确 定性分析方法。它是通过分析、预测各种不确定冈素发生变化时对方案经济效果的影响，从中找出 对方案经济效果影响程度较人的冈素敏感性因素，并确定其影响程度。在这里，我们需要对各 个优化设计变量，包括参数在内，进行相应的敏感性分析，确定各个设计变量和参数对优化目标的 影响程度，并找出敏感性因素，为将来的优化设计决策提供依据。 2 4 遗传算法理论介绍 2 4 1 遗传算法的产生与发展 美国m i c h i g a n 大- 学的h o ll a n d 1 教授及其学生受到生物模拟技术的启发，创造出了一种基于生物遗传 和进化机制的适合于复杂系统优化的自适应概率优化技术遗传算法( g e n e t i ca l g o r i t l l l n ，简称g a ) 。1 9 6 7 年，l t o ll a n d 的学生b a g l e y 在其博士论文中首次提出了“遗传算法”一词。他发展了复制、交叉、变异、 8 第二章数学规划理论与优化设计 显性、倒位等遗传算子，在个体编码上使用双倍体的编码方法。h o ll a n d 教授用遗传算法的思想对自然和 人工自适应系统进行了研究，提出了遗传算法的基本定理模式定理( s c h e m at h e o r e m ) ，并于1 9 7 5 年 出版了第一本系统论述遗传算法和人工自适应系统的专著( a d a p t a t i o ni nn a t u r a la n da r t i f i c i a l s y s t e m s 。同年，d ej o n g 1 基于遗传算法的思想在计算机匕进行了大量的纯数值函数优化计算实验，建 立了遗传算法的工作框架，得到了一些重要且具有指导意义的结论。他的工作为遗传算法以后的广泛应用 奠定了坚实的基础。1 9 7 5 年被公认是遗传算法的诞生年。1 9 8 5 年，第一届遗传算法国际会议在美国召开， 并成立了国际遗传算法协会( i s g a ) 。1 9 8 9 年，g o l d b e r g 出版了g e n e t i ca l g o r i t h mi ns e a r c h ，o p t i m i z a t i o n a n dl e a r n i n g 一书，系统地总结了遗传算法的主要研究成果，全面完整地论述了遗传算法的基本原理及 其应用。1 9 9 1 年，d a v i s 出版了( h a n d b o o ko fg e n e t i ca l g o r i t h m 一书，介绍了遗传算法在科学计算、 工程技术和社会经济中的大量实例。从遗传算法的整个发展过程来看，2 0 世纪6 0 年代是兴起阶段，2 0 世纪 8 0 年代是发展阶段，2 0 世纪9 0 年代是高潮阶段。遗传算法作为一种实用、高效、鲁棒性强的优化技术，发 展极为迅速，已引起国内学者的高度重视。 2 4 2 遗传算法的原理和特点 达尔文在物种起源中描述了适者生存和自然选择的概念。自然界中，对于有有限个体的种群， 绝大多数生物的进化是通过繁殖、变异、竞争、选择这四个基本过程实现的。繁殖是物种得以生存和延续 的必要条件，变异是生物进化的根本保证，竞争是规模有无限扩人趋势的生物群体分享有限生存资源的直 接结果。在竞争的环境下，自然界不可避免地会对生物的生存进行选择。随着时间的推移，群体中个体的 结构由于自然选择而发生变化。而从孟德尔遗传学的角度来讲，一个生物群体中的个体之间的差别主要体 现在他们的染色体上，染色体的差异导致环境中生物实体的特性和结构的改变，这种改变又反过来影响个 体的生存和冉牛比率：有更好的适应环境能力的个体具有更高的牛存与繁殖率；反之，生存和繁殖率就较 低。经历若干代以后，生物群体逐渐包含了有更多变化的个体，其染色体的结构在环境中表现出更加优良 的性能。这就是遗传算法所模仿的牛物界进化的原理。 模式定理和积木块假定1 确保了遗传算法是一种高效、并行、全局的搜索方法，它能在搜索过程中自 动获取和积累有关搜索空间的知识，并自适应地控制搜索过程以求得最优解性引。遗传算法使用适者生存的 原则，在潜在的解决方案种群中逐次产生近似最优的方案。在遗传算法的每一代中，根据个体在问题域中 的适应度值和从自然遗传学中借鉴来的再造方法进行个体选择，产生个新的近似解。这个过程导致种群 中个体的进化。得到的新个体比原个体更能适应环境，就像自然界中的改造一样。 遗传算法具有如下优点： 1 ) 遗传算法的处理对象不是设计变量本身，而是经过编码操作而形成的编码集合，即设计变量集进 行编码操作后得到的基因个体。这使得遗传算法町以很好的提取和保存最优解具备的信息。 2 ) 传统的搜索方法基本都是从单点出发并执行点对点的搜索方法。这种搜索方法常常会陷入局部极 值。遗传算法却采用的是同时处理群体中多个个体的方法，即同时对搜索空间中的多个解进行评估，这使 得遗传算法具有较好的全局搜索能力，也使得遗传算法本身易于并行化。 3 ) 相比其他方法，遗传算法不需要太多的辅助信息。它仅用适应度函数的数值大小来评估基因个体， 并在此基础上进行遗传操作。例如，遗传算法不要求目标函数可导，而且设计变量的定义域可以是任意的。 这个特点使得遗传算法的应用范围大大扩展。 4 ) 遗传算法本身属于一种随机搜索方法，但它并不是种盲目的搜索方法。它采用概率变迁规则来 指导它的搜索方向。概率的确定是以各基因体的适应度值为基础，因而包含着最优解的信息，所以遗传算 法的这种随机搜索方式实际上是有着明确方向的搜索，即使得基因个体向可行解空间的最优解部分移动。 这个特点也从另一方面保证了遗传算法可以以很大的概率收敛到全局最优解。 9 东南大学硕七学位论文 但遗传算法也有本身的不足之处： 1 ) 编码不规范及编码存在表示的不准确性； 2 ) 单一的遗传算法编码不能全面地将优化问题的约柬表达出来。一般的做法是采用完全拒绝或者增 加阈值的方法，但这样的计算量必然会加大。 3 ) 遗传算法的随机性决定了它比传统的解析法计算效率更低，往往需要计算机的辅助才可以实现。 4 ) 遗传算法容易出现过早收敛。 5 ) 遗传算法能较快的收敛到全局最优解附近，但往往花费较多的时问甚至不能收敛到精确的全局最 优解。 2 4 3 遗传算法的基本术语2 4 l 表2 1 遗传算法和遗传学中术语对照表 遗传算法术语遗传学术语 解的编码( s t r i n g ) 染色体( c h r o m o s o m e ) 码侥( b i t ) 基冈( g e n e l 特性值( g e n ef e a t u r e ) 等位基冈( a l l e l e ) 串中位置 基因座( l o c u s ) 结构( s t r u c t u r e ) 基冈型( g e n o t y p e ) 非线性( n o n l i n e a r )遗传隐匿 参数集 表现型( p h e n o t y p e ) 解 个体( i n d i v i d u a l ) 适应度函数值 适应i 生( f i t n e s s ) 解集 群体( p o p u l a t i o n ) 选择算子 复伟f ( r e p r o d u c t i o n ) 交叉算子交配( c r o s s o v e r ) 变异算子变异( m u t a t i o n ) 2 4 4 遗传算法的运行流程 般来说，完整的遗传算法流程可用图2 1 来表示嘲1 。 1 0 第一二章数学规划理论与优化设计 实际问题 v 编码 种群i + 一 1 解码t 2 计算目标函数值 适应度值计 3 计算适应度值斗算与评估 4 适应度调整 选择算子- 交叉算子选择与遗传 变异算子 ， 统计结果 ， 种群i + l t 解码 ， 优化方案形成及应用 图2 2 遗传算法流程图 i = i + 1 其中， 1 ) 编码：把个问题的可行解从其解空间转换到遗传算法所能处理的搜索空间的转换方法就称为编 码。遗传算法在进行搜索之前，先将解空间的解数据表示成遗传空间的基因型串结构数据。这些串结构数 据的不同组合就构成了不同的点。而由遗传算法解空间向问题空间的转换称为解码( 或译码) 。对一个具 体应用问题，如何设计一种完美的编码方案一直是遗传算法研究的难点之一。至今人们提出的许多种编码 方法大体可以分为三类：二进制编码方法，符号编码方法和浮点数编码方法。 二进制编码方法是遗传算法中最主要的种编码方法。它使用的编码符号集是由二进制符号o 和1 所组 成的二值符号集 o ，1 ) ，它所构成的个体基冈型是个二进制编码符号串。其优点是编码、解码操作简单 易行；后续的交叉、变异等遗传操作便于实现：便f 用模式定理对算法进行分析；符合最小字符集编码原 则。缺点是二进制编码存在连续函数离散化时的映射误差，并且它不能直接反映出所求问题本身的结构特 征。因此人们提出了格雷编码来弥补这个缺点。格雷编码是种这样的编码，其连续的两个整数所对应的 编码之间仅仅只有个码位不同，其余码位都完全相同。格雷编码的优点是便一服高遗传算法的局部搜索 能力。 表2 2 二进制码和格雷编码 十进制数二进制码格雷码 00 0 0 00 0 0 0 l 0 0 0 l0