02拉伸、压缩与剪切-2.doc

第二章 拉伸、压缩与剪切 （2） （3） （4）解（1）（4）式得G点的垂直位移mm解法二 能量法杆BC的轴力杆系的总变形能为应用卡氏定理，得点的垂直位移为mm2.36 试采用另一种解法重解题2.29。图2.36解 由题2.29可知钢索内的张力为N=11.55kN，变形图如图2.36所示，则B、D点沿钢索方向的位移分别为mmmm则C点的位移为mm图2.372.37 试用能量法求例2.9中简易起重机B点的水平位移。解 在P力作用下，分别以d和dH表示B点的垂直和水平位移，N1和N2表示BC和BD的轴力，WP表示P力完成的功。在例2.9中，根据外力作功等于杆系变形能的原则，已经求得 （1）为了求出dH ，设想在作用P力作用前，先在B点加水平力H，则BC和BD因H引起的轴力为N1H=1.41H（拉），N2H=0.518H（压） （2）以WH表示H作的功为，则WH应等于在H作用下杆系的变形，即在已经作用H以后，再作用P。这样，外力所完成的功除（WH+WP）以外，还因B点已先有水平力H，它在P引起的位移dH上，又完成了数量为HdH的功。这里没有系数0.5，是因为在发生位移dH的过程中，H的大小始终未变。于是，外力的功为它应该等于杆系的变形能。注意到这时两根构件的轴力分别为（N1+N1H）和（N2+N2H）,因而令W=U，得从上式中减去（1）、（2）是，得将（2）式中的N1H、N2H和例2.9中的N1、N2、E1A1、EA、l1、l代入上式，即可求出m2.38 简单桁架的三根杆件均为钢件制成，横截面面积均为300mm2，E=200GPa。若P=5kN，试求C点的水平及垂直位移。 （a） （b） （c） （d） （e）图2.38解 整体的受力图如图2.28（d）所示由平衡条件，解上式得C铰链的受力图如图2.38（b）所示几何条件，由平衡条件，解得，B铰链的受力图如图2.38（e）所示，由平衡条件，将代入上式解得杆系的总变形能为应用卡氏定理，C点的垂直位移为= 0.173mmC点无水平力作用，欲求C点水平位移，必须在C点作用一虚载荷F0，C点的受力图如图2.38（c）所示，由平衡条件，解得B铰链的受力图如图2.38（e）所示，由平衡条件，解得杆系的总变形能为C点的水平位移为令F00 =0.0856mm2.39 木制短柱的四角用四个的等边角钢加固。已知角钢的许用应应力MPa，GPa，GPa。木材的许用应应力MPa。试求许可载荷P。 （a） （b）图2.39解 查附录三型钢表得mm2受力图如图2.39（b）所示，这是一个静不定问题，先用平衡条件确定木柱及角钢的轴力，再用强度条件确定许可载荷。由平衡条件， （1）方程（1）不能解出两个未知力，必须利用木柱与角钢的变形协调条件 （2）再应用胡克定律，将未知力N钢、N木与变形联系起来， （3）将（3）式代入（2）式，得补充方程 （4）联立（1）、（4）方程，解得，由角钢的强度条件MPa得kN由木柱的强度条件MPa得kN故许可载荷为 kN图2.402.40 在两端固定的杆件截面C上，沿轴线作用P力（图2.40（a）。试求两端的反力。解 这是个一次静不定问题，杆的受力图如图2.40（b）所示，平衡条件为， （1）由变形协调方程得 （2）应用胡克定律确定AC、BC的伸长量，代入（2）式，得 （3）联立（1）、（3）方程解得， 2.41 两根材料不同但截面尺寸相同的杆件，同时固定联接于两端的刚性板上，且。若使两杆都为均匀拉伸，试求拉力的偏心距e。 （a） （b）图2.41解 这是个一次静不定问题，杆的受力图如图2.41（b）所示，其平衡条件为， （1）， （2）变形协调方程为即 （3）联立（1）、（3）方程解得 2.42 受预拉力10kN拉紧的缆索如图2.42（a）所示。若在C点再作用向下的载荷15kN，并设缆索不能承受压力，试求在和两种情况下，AC和BC两段内的内力。 图2.42解 在预紧力单独作用下,缆索的内力为拉力N0=10kN，在载荷P单独作用下，杆的受力图如图2.42（b）所示，平衡条件为， （1）变形协调方程为将，代入上式，得 （2）联立方程（1）、（2）解得， 因为是小变形，在预紧力和载荷P同时作用下，应用力的叠加原理，缆索的内力为， （3）由于缆索不能承担压力，所以有解得当时，将，代入（3）式，得kN， kN当时，缆索不能承担压力，故， kN2.43 在图2.43所示结构中，假设AC梁为刚杆，杆1、2、3的横截面面积相等，材料相同。试求三杆的轴力。（a） （b） （c）图2.43解 杆ABC的受力图如图2.43（b）所示，平衡条件为， （1）， （2）变形的几何关系如图2.43（c）所示，变形协调方程为 （3）利用胡克定律将（3）式变为 （4）联立（1）、（2）、（4）方程，解得，2.44 刚杆悬挂于1、2两杆上，1杆的横截面面积为60mm2，2杆为120mm2，且两杆材料相同。若P=6kN，试求两杆的轴力及支座A的反力。图2.44解 杆1、2的受力图如图2.44（b）所示，这是个一次静不定问题，可利用的平衡方程只有一个， （1）变形协调方程为解（1）、（2）式，得kN，kN由平衡条件得 ，解上式得2.45 图2.45（a）所示支架中的三根杆件材料相同，杆1的横截面面积为200mm2，杆2为300mm2，杆3为400mm2。若P=30kN，试求各杆内的应力。 图2.45解 这是个一次静不定问题，B铰链的受力图如图2.45（b）所示，由平衡条件可知， （1）， （2）变形的几何关系如图2.45（c）所示，变形协调条件为 （3）利用胡克定律，代入（3）式，得补充方程 （4）联立（1）、（2）、（4）式解得各杆的内力分别为kN，kN，kN各杆的应力为MPaPaPa图2.462.46 为了说明用螺栓将机器各部分紧固联接的问题，以图2.46所示在铸铁套筒中穿过钢螺栓的情况为例。若螺母旋进圈，求螺栓与套筒间的预紧力。解 螺栓的受力图如图2.46所示，平衡条件为，变形协调条件为各部分的变形由胡克定律可知分别为，解得 2.47 阶梯形钢杆的两端在T1=5C时被固定，杆件上下的横截面面积分别为A上=5cm2，A下 =10cm2当温度升高至T2 = 25C时，试求杆内各部分的温度应力。钢材的a=12.510-61/C，E=200GPa。 图2.47解 阶梯形钢杆的受力图如图2.47（b）所示，平衡条件为， （1）其变形协调方程为 （2）将，及代入（2）式，得 （3）联立（1）、（3）解得kN杆各部分的应力分别为MPaMPa2.48 图2.48（a）所示杆系的两杆同为钢杆，E=200Gpa，a=12.510-61/C。两杆的横截面面积同为A=10cm2。若BC杆的温度降低20C，而BD的温度不变，试求两杆的应力。 图2.48解 B点受力图如图2.48（b）所示，平衡条件为， （1）设变形后，B点移至B1点，由图2.48（a）可见变形协调方程为1杆的变形为2杆的变形为代入变形协调方程中，得 （2）解（1）、（2）得kNkN（压）1、2杆的应力分别为MpaMPa2.49 在图2.49（a）所示结构中，1、2两杆的抗拉刚度同为，3杆为。3杆的长度为，其中d为加工误差。试求将3杆装入AC位置后，1、2、3三杆的内力。（a） （b） （c）图2.49解 这是个典型的装配应力问题。将杆3装配如AC位置后，1、2杆受拉，3杆受压，1、2杆的结点A和3杆的点在A1处结合，如图2.49（b）所示，A1点的受力图如图2.49（c）所示，因结构对称，所以，平衡条件为， （1）变形协调条件为 （2）将，代入（2）式，得 （3）联立（1）、（3）式，解得2.50 图2.50（a）所示杆系的杆6比名义长度略短，误差为d，诸杆的刚度同为EA，试求诸杆内力。 图2.50解 A铰链的受力图如图2.50（b）所示，平衡条件为，因结构对称，则有，杆系总的变形能为应用卡氏定理，A点位移为解上式得，所以2.51 在图2.51（a）所示杆系中，AB杆比名义长度略短，误差为。若各杆材料相同，横截面面积相等，试求装配后各杆的轴力。 图2.51解 A、B点的受力图分别如图2.51（b）、（c）所示，因结构对称有， （1）对于图2.51（c），平衡条件为 （2）变形与位移关系的几何图如图2.51（d）所示，变形协调条件为 （3）杆变形与A、B点位移的关系， （4）由虎克定律有， （5）把（4）、（5）式代入（3）得解上式得2.52 杆1为钢杆，=210GPa，a1=12.510-61/C，=30cm2。杆2为铜杆，=105GPa，a2=1910-61/C，=30cm2。载荷P=50kN。若AB为刚杆，且始终保持水平，试问温度是升高还是降低？并求温度的改变量T。 （a） （b）图2.52解 AB杆的受力图如图2.52（b）所示，平衡条件为，解得 （1）假设温度降低DT度，使得AB杆保持水平，这时变形协调条件为， （2）式中，和分别表示因载荷P和温度T变化产生的变形，将，代入（2）式得， （3）联立（1）、（3）式，解得C= 26.5C2.53 刚性AB横梁悬挂于三根平行杆上。l=2m，P=40kN，a=1.5m，b=1m，c=0.25m，d=0.2mm。1杆由黄铜制成，A1=2cm2，E1=100GPa，a1=16.510-61/C。2杆和3杆由碳铜制成A2=1cm2，A3=3cm2，E2=E3=200GPa，a2= a3=12.510-61/C。设温度升高20C，求各杆的应力。 （a） （b）图2.53解 AB杆的受力图如图2.53（b）所示，平衡条件为， （1）， （2）变形图如图2.53（b）所示，协调方程为 （3）利用叠加原理，各杆变形等于载荷产生的变形于温度变化产生的变形的代数和，所以有将、表达式代入（3）式，得 （4）将a、DT、l、E、A、d的数值代入（4）联立（1）、（2）、（4）式，解得各杆的内力分别为kN，kN，kN各杆的应力分别为MPa MPa MPa2.54 两端固定的杆件如图2.54（a）所示，横截面面积A=12cm2，a=30cm。材料的应力-应变关系见图2.25（b）。试分别求P=60kN和P=210kN时，杆件的应力。 （a） （b）图2.54解 杆的受力图如图2.54（b）所示，平衡条件为 ， （1）kN,以P= 120kN为分界点，外力小于120kN时，计算变形用E1，外力大于120kN时，计算变形应分段从0到120kN时，用E1；从120kN到210kN时，用E2。当P=60kN时，变形协调条件为 （2）由（1）、（2）得RA= 40kN， kN 20kN两部分的应力分别为MPaMPa（压）当P= 210kN时，变形协调方程为 （3）联立（1）、（3），解得解得83.33kN， RA=PRB127kN两部分的应力为2.55 试确定图2.55（a）、（b）、（c）所示联接或接头中的剪切面和挤压面。图2.55解 图2.55（a）AB、CD面为剪切面，、面为挤压面。图2.55（b）AB面为剪切面，BC面为挤压面。图2.55（c）AB、CD面为剪切面，E面为挤压面。2.56 试校核图2.56（a）所示联接销钉的剪切强度。已知P=100kN，销钉直径d=30mm，材料的许用剪切力t=60MPa。若强度不够，应改用多大直径的销钉？ （a） （b）图2.56解 销钉每一个剪切面所承受的剪力均为销钉的剪切强度条件为MPa因，故不能安全工作，欲满足强度要求，应有 即 解上式得mm2.57 测定材料剪切强度的剪切器的示意图如图2.57（a）所示。设圆试件的直径d=15mm，当压力P=31.5kN时，试件被剪断，试求材料的名义剪切极限应力。若取剪切许用应力为t=80 MPa，试问安全系数等于多大？ （a） （b）图2.57解 试件被剪断，则其横截面上的剪力为Q=P，材料的名义剪切极限应力为MPa故安全系数为2.58 图2.58所示凸缘联轴节传递的力偶矩为m=200Nm，凸缘之间用四只螺栓联接，螺栓内径d10mm，对称地分布在D0=80mm的圆周上。如螺栓的剪切许用应力t=60MPa，试校核螺栓的剪切强度。图2.58解 假设每只螺栓所承受的剪力相同，都为Q。4螺栓所受的剪力对联轴节中心的力矩和为联轴节所传递的力偶矩m平衡，所以有每只螺栓所承受的剪力为kN每只螺栓所承受的剪应力为MPa因所以螺栓能安全工作。2.59 一螺栓将拉杆与厚为8mm的两块盖板相联接。各零件材料相同，许用应力为s=80 MPa，t=60 MPa，sbs=160 MPa。若拉杆的厚度t=15mm，拉力P=120kN，试设计螺栓直径d及拉杆宽度b。图2.59解 一、按拉杆的强度设计拉杆的宽度拉杆的轴力N=P，其强度条件为解得mm二、按拉杆的剪切强度设计拉杆的直径螺栓所承受的剪力为Q=，应满足剪切强度条件解得mm三、按拉杆的挤压强度设计螺栓的直径挤压强度条件为解得mm经比较取d=50mm图2.602.60 图2.60所示机床花键轴有八个齿。轴与轮的配合长度l=60mm，外力偶矩m=4kNm。轮与轴的挤压许用应力为sbs=140MPa，试校核花键轴的挤压强度。解 由于花键轴的齿位置对称,故每个挤压面上的挤压力相等，均为=20.2 kN键的挤压应力Pa=135MPa图2.61所以，花键满足挤压强度条件要求，能安全工作。2.61 在厚度t=5mm的钢板上，冲出一个形状如图2.61所示的孔，钢板剪断时的剪切极限应力tu=300MPa，求冲床所需的冲力P。解 欲将钢板剪断，剪切面上的剪力应满足剪切强度条件剪切面积为所以冲力为 kN图2.622.62 可倾式压力机为防止过载采用了压环式保险器。当过载时，保险器先被剪断，以保护其它主要的零件。设环式保险器以剪切的形式破坏，且剪切面的高度d=20mm，材料为HT21-40，其剪切极限应力tu=200MPa，压力机的最大许可压力P=630kN。试确定保险器剪切部分的直径D。解 由剪切强度条件可确定保险器的直径m50.1mm2.63 车床的传动光杆上装有安全联轴器，当超过一定载荷时，安全销被剪断。已知安全销的平均直径为5mm，材料为45钢，其剪切极限应力为tu=370MPa。求安全联轴器所能传递的力偶矩m。解 安全联轴器所承受的剪力为图2.63剪切强度条件为解上式得 Nm所以m=145 Nm图2.642.64 图2.64所示螺钉在拉力P作用下。已知材料的许用剪切应力t和拉伸许用应力s之间的关系约为：t=0.6s。试求螺钉直径d与钉头高度h的合理比值。解 当螺钉杆和螺钉内的应力同时达到各自的许用应力时，d与h之比最合理螺钉杆的拉伸强度条件为螺钉头的剪切强度条件为上二式之比，得所以 2.65 木楔接头如图2.65所示。A=b=12cm，h=35cm，c=4.5cm。