（浙江通用）高考数学一轮复习 第十章 推理与证明、复数 10.2 数学归纳法.doc

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第十章 推理与证明、复数 10.2 数学归纳法数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0n*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kn*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项.()(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.()(6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.()1.用数学归纳法证明1aa2an1 (a1，nn*)，在验证n1时，等式左边的项是()a.1 b.1ac.1aa2 d.1aa2a3答案c2.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于()a.1 b.2 c.3 d.0答案c解析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n3.3.已知f(n)，则()a.f(n)中共有n项，当n2时，f(2)b.f(n)中共有n1项，当n2时，f(2)c.f(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)d.f(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)答案d4.设sn1，则sn1sn_.答案解析sn11，sn1，sn1sn.5.已知an满足an1anan1，nn*，且a12，则a2_，a3_，a4_，猜想an_.答案345n1题型一用数学归纳法证明等式例1用数学归纳法证明： (nn*).证明(1)当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立.(2)假设nk (kn*)时等式成立，即有，则当nk1时，.所以当nk1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切nn*等式恒成立.思维升华用数学归纳法证明恒等式应注意(1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立.(2)由nk证明nk1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标.(3)掌握恒等变形常用的方法：因式分解；添拆项；配方法.求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nn*).证明(1)当n1时，等式左边2，右边2，故等式成立；(2)假设当nk(kn*)时等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)，那么当nk1时，左边(k11)(k12)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)2k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)(2k1)，所以当nk1时等式也成立.由(1)(2)可知，对所有nn*等式成立.题型二用数学归纳法证明不等式例2已知函数f(x)axx2的最大值不大于，又当x，时，f(x).(1)求a的值；(2)设0a1，an1f(an)，nn*，证明：an.(1)解由题意，知f(x)axx2(x)2.又f(x)max，所以f().所以a21.又x，时，f(x)，所以即解得a1.又因为a21，所以a1.(2)证明用数学归纳法证明：当n1时，0a1，显然结论成立.因为当x(0，)时，0f(x)，所以0a2f(a1).故n2时，原不等式也成立.假设当nk(k2，kn*)时，不等式0ak成立.由(1)知a1，f(x)xx2，因为f(x)xx2的对称轴为直线x，所以当x(0，时，f(x)为增函数.所以由0ak，得0f(ak)f().于是，0ak1f(ak).所以当nk1时，原不等式也成立.根据，知对任何nn*，不等式an1时，对x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上单调递减，(a1)1时，存在x0，使(x)nln(n1).证明如下：上述不等式等价于，x0.令x，nn*，则ln.下面用数学归纳法证明.当n1时，ln 2，结论成立.假设当nk时结论成立，即ln(k1).那么，当nk1时，ln(k1)x4x6猜想：数列x2n是递减数列.下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，已证命题成立.(2)假设当nk时命题成立，即x2kx2k2，易知xk0，那么x2k2x2k40，即x2(k1)x2(k1)2.所以当nk1时命题也成立.结合(1)(2)知，对于任何nn*命题成立.命题点2与数列通项公式、前n项和公式有关的证明例4已知数列an的前n项和sn满足：sn1，且an0，nn*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性.(1)解当n1时，由已知得a11，a2a120.a11(an0).当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a220.a2(an0).同理可得a3.猜想an(nn*).(2)证明由(1)知，当n1,2,3时，通项公式成立.假设当nk(k3，kn*)时，通项公式成立，即ak.由ak1sk1sk，将ak代入上式并整理得a2ak120，解得：ak1(an0).即当nk1时，通项公式也成立.由和可知，对所有nn*，an都成立.8.归纳猜想证明问题典例(14分)数列an满足sn2nan(nn*).(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)证明(1)中的猜想.思维点拨(1)由s1a1算出a1；由ansnsn1算出a2，a3，a4观察所得数值的特征猜出通项公式.(2)用数学归纳法证明.规范解答(1)解当n1时，a1s12a1，a11；当n2时，a1a2s222a2，a2；当n3时，a1a2a3s323a3，a3；当n4时，a1a2a3a4s424a4，a4.4分由此猜想an(nn*).5分(2)证明当n1时，a11，结论成立.6分假设nk(k1且kn*)时，结论成立，即ak，那么nk1时，8分ak1sk1sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.10分ak1.所以当nk1时，结论成立.13分由知猜想an(nn*)成立.14分归纳猜想证明问题的一般步骤第一步：计算数列前几项或特殊情况，观察规律猜测数列的通项或一般结论.第二步：验证一般结论对第一个值n0(n0n*)成立.第三步：假设nk(kn0)时结论成立，证明当nk1时结论也成立.第四步：下结论，由上可知结论对任意nn0，nn*成立.温馨提醒解决数学归纳法中“归纳猜想证明”问题及不等式证明时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)归纳整理不到位得不出正确结果，从而给猜想造成困难.(2)证明nk到nk1这一步时，忽略了假设条件去证明，造成使用的不是纯正的数学归纳法.(3)不等式证明过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法来求证.另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧，只有这样，才能快速正确地解决问题.方法与技巧1.数学归纳法的两个步骤相互依存，缺一不可有一无二，是不完全归纳法，结论不一定可靠；有二无一，第二步就失去了递推的基础.2.归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点：(1)归纳假设就是已知条件；(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设.3.利用归纳假设的技巧在推证nk1时，可以通过凑、拆、配项等方法用上归纳假设.此时既要看准目标，又要掌握nk与nk1之间的关系.在推证时，分析法、综合法、反证法等方法都可以应用.失误与防范1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1；2.推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法.a组专项基础训练 (时间：40分钟)1.用数学归纳法证明2n2n1，n的第一个取值应是()a.1 b.2 c.3 d.4答案c解析n1时，212,2113,2n2n1不成立；n2时，224,2215,2n2n1不成立；n3时，238,2317,2n2n1成立.n的第一个取值应是3.2.用数学归纳法证明不等式1 (nn*)成立，其初始值至少应取()a.7 b.8 c.9 d.10答案b解析左边12，代入验证可知n的最小值是8.3.数列an中，已知a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()a.3n2 b.n2c.3n1 d.4n3答案b解析计算出a11，a24，a39，a416.可猜ann2，故应选b.4.对于不等式n1(nn*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立.(2)假设当nk(kn*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1.当nk1时，不等式成立，则上述证法()a.过程全部正确b.n1验得不正确c.归纳假设不正确d.从nk到nk1的推理不正确答案d解析在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法.5.利用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，nn*”时，从“nk”变到“nk1”时，左边应增乘的因式是()a.2k1 b.2(2k1)c. d.答案b解析当nk(kn*)时，左式为(k1)(k2)(kk)；当nk1时，左式为(k11)(k12)(k1k1)(k1k)(k1k1)，则左边应增乘的式子是2(2k1).6.设数列an的前n项和为sn，且对任意的自然数n都有(sn1)2ansn，通过计算s1，s2，s3，猜想sn_.答案解析由(s11)2s1s1，得s1，由(s21)2(s2s1)s2，得s2，依次得s3，s4，猜想sn.7.用数学归纳法证明：“11)”时，由nk(k1)不等式成立，推理nk1时，左边应增加的项数是_.答案2k解析当nk时，要证的式子为1k；当nk1时，要证的式子为12，f(8)，f(16)3，f(32)，则其一般结论为_.答案f(2n)(n2，nn*)解析因为f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以当n2时，有f(2n).故填f(2n)(n2，nn*).9.已知点pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1 (nn*)，且点p1的坐标为(1，1).(1)求过点p1，p2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nn*，点pn都在(1)中的直线l上.(1)解由题意得a11，b11，b2，a21，p2.直线l的方程为，即2xy1.(2)证明当n1时，2a1b121(1)1成立.假设nk(kn*)时，2akbk1成立.则2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，当nk1时，2ak1bk11也成立.由知，对于nn*，都有2anbn1，即点pn都在直线l上.10.在数列an中，a12，an1ann1(2)2n(nn*，0).(1)求a2，a3，a4；(2)猜想an 的通项公式，并加以证明.解(1)a2222(2)222，a3(222)3(2)222323，a4(2323)4(2)233424.(2)由(1)可猜想数列通项公式为：an(n1)n2n.下面用数学归纳法证明：当n1,2,3,4时，等式显然成立，假设当nk(k4，kn*)时等式成立，即ak(k1)k2k，那么当nk1时，ak1akk1(2)2k(k1)k2kk12k12k(k1)k1k12k1(k1)1k12k1，所以当nk1时，猜想成立，由知数列的通项公式为an(n1)n2n(nn*，0).b组专项能力提升(时间：25分钟)11.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”.那么，下列命题总成立的是()a.若f(1)1成立，则f(10)100成立b.若f(2)4成立，则f(1)1成立c.若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立d.若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立答案d解析f(k)k2成立时，f(k1)(k1)2成立，f(4)16时，有f(5)52，f(6)62，f(k)k2成立.12.对于不等式n1 (nn*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立.(2)假设当nk (kn*且k1)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，4时，f(n)_(用n表示).答案5(n1)(n2) (n3)解析f(3)2，f(4)f(3)3235，f(n)f(3)34(n1)234(n1)(n1)(n2) (n3).15.已知f(n)1，g(n)，nn*.(1)