重庆市重庆一中高三数学上学期第二次月考试题 理（含解析）(1).doc

重庆市重庆一中2015届高三数学上学期第二次月考试题 理（含解析）【试卷综析】试题紧扣教材，内容全面，题型设计合理、规范，体现了新课程数学教学的目标和要求，能较全面的考查学生对数学思想方法的应用及数学知识的掌握情况。本试题知识点覆盖面广，重视基本概念、基础知识、基本技能的考察，同时也考查了逻辑思维能力，运算能力、空间想象能力以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分）【题文】1已知集合，则可以确定不同映射的个数为( )a. 1 b.2 c. 3 d. 4【知识点】映射b1 【答案解析】d 解析：由映射的定义知a中1在集合b中有1或2与1对应，有两种选择，同理集合a中2也有两种选择，由分步计数原理得从集合a=1，2到集合b=1，2的不同映射共有22=4个，故选d【思路点拨】由映射的定义知集合a中每一个元素在集合b中有唯一的元素和它对应，a中1在集合b中有1或2与1对应，有两种选择，同理集合a中2也有两种选择，由分步计数原理求解即可【题文】2已知集合，若，则实数a的取值范围是( )a b c d 【知识点】交集及其运算a1 【答案解析】a 解析：由m中不等式变形得：x（x2）0，解得：0x2，即m=（0，2），n=x|xa，且mn，a2，则a的范围为2，+）故选：a【思路点拨】求出m中不等式的解集确定出m，根据n以及m为n的子集，确定出a的范围即可【题文】3已知，则是的( ) 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断a2【答案解析】a 解析：，（0，），则+=，=，sin=sin（），即sin=cos成立sin=cos，sin=sin（），=+2k，kz，+=不一定成立所以+=是sin=cos的充分不必要条件，故选；a【思路点拨】运用诱导公式，和充分必要条件的定义判断求解【题文】4函数的部分图象如图所示，则（ ）a b. c. d. 【知识点】由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式c4 【答案解析】b 解析：由图知f（x）在x=时取到最大值，且最小正周期t满足t=+=，a=，t=，=2；由sin（2+）=，得：sin（+）=1，+=2k+，=2k，kzf（x）=sin（2x）故选：b【思路点拨】由y=asin（x+）的部分图象可求得其振幅a及最小正周期t=，继而可得；再由sin（2+）=可求得，从而可得答案【题文】5一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）第5题ab.c. d.【知识点】由三视图求面积、体积g2 【答案解析】c 解析：由三视图可知该几何体，是过一正三棱柱的上底面一边作截面，截去的部分为三棱锥，而得到的几何体原正三棱锥的底面边长为2，高为2，体积v1=sh=2=2截去的三棱锥的高为1，体积v2=1=故所求体积为v=v1v2=，故选a【思路点拨】由三视图可知该几何体，是过一正三棱柱的上底面一边作截面，截去的部分为三棱锥，利用间接法求出其体积【题文】6方程有解，则的最小值为( ) a.2 b.1 c. d.【知识点】函数的零点与方程根的关系b9 【答案解析】b 解析：若方程有解，则=a2x有解，即+2x=a有解，+2x1故a的最小值为1，故选b。【思路点拨】若方程有解，根据将对数式化为指数式后要得+2x=a有解，根据基本不等式求出+2x的最小值，即可得到答案【题文】7函数,（）的图像关于点对称，则的增区间( )a b c d【知识点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性c5 c3 【答案解析】d 解析：f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=2sin（2x+），图象关于点对称，2+=k，（kz），=k，（kz），|，f（x）=2sin（2x+）；由（kz）解得：（kz）函数f（x）的增区间为故选d【思路点拨】利用两角和的正弦公式化成标准形式，根据图象关于点对称，求出的值，然后根据正弦函数的单调增区间求函数f（x）的单调增区间【题文】8( )a. 1 b. c. d. 2【知识点】三角函数的化简求值c7 【答案解析】c 解析：2sin10（cot5tan5）=2sin10（）=2sin10=4cos10=2cos30=，故选：c【思路点拨】由条件利用同角三角函数的基本关系把要求的式子化为=4cos10，通分后利用诱导公式、和差化积公式化为2cos30，从而得到结果【题文】9已知函数的导函数为，且满足，则( )a bc d【知识点】导数的运算b11 【答案解析】b 解析：令g（x）=，则g（x）=0，则g（x）=为减函数，g（0）g（1），即，即e2f（0）f（1），故选：b【思路点拨】构造函数g（x）=，利用定义得到函数的单调性，问题得以解决【题文】10给定实数，对任意实数均满足，则的零点的个数（ ）a.0 b. 1 c. 2 d. 3【知识点】根的存在性及根的个数判断b9 【答案解析】a 解析：若f（x）有零点b，则f（b）=0，则f（f（b）=f（0）=bf（b）+a=a，即f（0）=a，则f（f（0）=f（a）=0f（0）+a=a，则f（a）=a，则f（f（a）=f（a）=af（a）+a=a2+a=a，则a2=0，解得，a=0，与题意相矛盾，故f（x）没有零点故选a【思路点拨】假设函数有零点，通过反复利用公式f（f（x）=xf（x）+a，最终可得a=0，与题意相矛盾，从而说明没有零点二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）【题文】11函数的定义域为_【知识点】函数的定义域及其求法b1 【答案解析】 解析：x+10，x1，又x33x+40，即，x3+3x4=（x31）+3（x1）=（x1）（x2+3）0，解得，x1从而，1x1故答案为：（1，1）【思路点拨】由对数函数的真数一定大于0，可以得到x+10，又因为偶次开方被开方数一定非负且分式中分母不能为0，可以得到x33x+40，进而求出x的取值范围【题文】12在中，,则的面积_【知识点】正弦定理c8 【答案解析】 解析：abc中，a=60，ac=4，bc=2，由正弦定理得：，解得sinb=1，b=90，c=30，abc的面积=故答案为：【思路点拨】利用三角形中的正弦定理求出角b，再利用三角形的面积公式求出abc的面积【题文】13已知定义在r上的函数满足：且，则方程在区间，1上的所有实根之和为_【知识点】分段函数的应用b10 【答案解析】 解析：由题意知，函数f（x）的周期为2，则函数f（x），g（x）在区间5，1上的图象如下图所示：由图形可知函数f（x），g（x）在区间5，1上的交点为a，b，c，易知点b的横坐标为3，若设c的横坐标为t（0t1），则点a的横坐标为4t，所以方程f（x）=g（x）在区间5，1上的所有实数根之和为3+（4t）+t=7故答案为：7【思路点拨】化简g（x）的表达式，得到g（x）的图象关于点（2，1）对称，由f（x）的周期性，画出f（x），g（x）的图象，通过图象观察5，1上的交点的横坐标的特点，求出它们的和【题文】14.如图所示，已知ab，bc是o的两条弦，aobc，ab，bc2，则o的半径等于_【知识点】与圆有关的比例线段n1 【答案解析】 解析：设垂足为d，o的半径等于r，则ab，bc是o的两条弦，aobc，ab=，bc=2，ad=1，r2=2+（r1）2，r=1.5故答案为：1.5【思路点拨】设垂足为d，o的半径等于r，先计算ad，再计算r即可【题文】15以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是 (t为参数)，圆c的极坐标方程是，则直线l被圆c截得的弦长为_【知识点】参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化n3 【答案解析】2 解析：圆c的极坐标方程是=4cos，2=4cos，x2+y2=4x，化为（x2）2+y2=4，其圆心c（2，0），半径r=2由直线l的参数方程（t为参数），消去参数可得y=x4圆心c到直线l的距离d=直线l被圆c截得的弦长=2=故答案为：2【思路点拨】圆c的极坐标方程是=4cos，利用可得直角坐标方程，可得圆心c及其半径r由直线l的参数方程（t为参数），消去参数可得y=x4利用点到直线的距离公式可得圆心c到直线l的距离d再利用弦长公式l=2即可得出【题文】16若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是_【知识点】绝对值不等式的解法n4 【答案解析】（，0）2 解析：令y=|x+1|+|x3|，由绝对值不等式的几何意义可知函数y=|x+1|+|x3|的最小值为4，不等式对任意的实数x恒成立原不等式可化为4解得a=2或a0故答案为：（，0）2【思路点拨】不等式对任意的实数x恒成立转化为a+小于等于函数y=|x+1|+|x3|的最小值，根据绝对值不等式的几何意义可知函数y=|x+1|+|x3|的最小值为4，因此原不等式转化为分式不等式的求解问题三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【题文】17（本题满分13分）已知函数f(x)(1)求f(x)的值域和最小正周期；(2)方程mf(x)20在内有解，求实数m的取值范围【知识点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法c3 c5 【答案解析】(1) 值域为2，2，最小正周期为. (2) 解析：(1)f(x)2sin.1sin1.22sin2，t，即f(x)的值域为2，2，最小正周期为. 7分(2)当x时，2x，故sin，此时f(x)2sin，2.由mf(x)20知，m0，f(x)，即2，即解得m1.即实数m的取值范围是13分【思路点拨】（1）先利用和差公式把函数解析式化成标准形式，然后结合正弦函数的值域求f（x）的值域；（2）根据x的范围求出f（x）+的范围，然后由mf（x）+2=0知，m0，f（x）+=，只须让2即可【题文】18（本题满分13分）已知函数f(x)ax2+bxaab(a0)，当时，f(x)0；当时，f(x)0(1)求f(x)在内的值域；(2)若方程在有两个不等实根,求c的取值范围【知识点】二次函数在闭区间上的最值；函数的值域；函数的零点与方程根的关系b5b9 【答案解析】(1) (2) 解析：(1)由题意，是方程ax2+bxaab=0的两根，可得 则在内的值域为7分 (2)方程即在有两个不等实根， 设则，解得.13分【思路点拨】（1）由题意，1，3是方程ax2+bxaab=0的两根，求得得a和b的值，可得二次函数f（x）的解析式，从而求得f（x） 在（1，2）内的值域（2）由题意可得x22x+c3=0，在0，3有两个不等实根，设g（x）=x22x+c3，则，由此解得c的范围【题文】19.（本题满分13分）如图，在多面体中，四边形是正方形，. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值【知识点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定g5 g11 【答案解析】(1)见解析； (2) 解析：(1)作bc的中点e，连接且，四边形是平行四边形，则/面同理，面面面，面6分(2)四边形为正方形, , ， 由勾股定理可得：， ，同理可得 ,以a 为原点如图建系。 则设面的法向量为，则，令，则设面的法向量为，则则，令，则 所以所以 13分【思路点拨】(1) 取bc中点e，连结ae，c1e，b1e，由已知得四边形ceb1c1是平行四边形，aec1a1是平行四边形，由此能证明ab1面a1c1c (2)由已知得a1a=ab=ac=1，a1aab，a1aac，从而a1a面abc，以a为原点，以ac为x轴建立坐标系，利用向量法能求出二面角ca1c1b的余弦值的大小【题文】20.（本题满分12分）设函数f(x)x3ax，g(x)bx22b1.(1)若曲线yf(x)与yg(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，求实数a，b的值； (2)当a1，b0时，求函数h(x)f(x)g(x)在区间t，t3内的最小值【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值.b12 【答案解析】(1) a，b. (2) 解析：(1)因为f(x)x3ax(a0)，g(x)bx22b1，所以f(x)x2a，g(x)2bx.因为曲线yf(x)与yg(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)，即ab2b1，且1a2b，解得a，b. 5分 (2)当a1，b0时，h(x)x3x1，b，则由(2)可知，函数h(x)的单调递增区间为，单调递减区间为(1，1)因为h(2)，h(1)，所以h(2)h(1)当t31，即t2时，h(x)minh(t)t3t1.当2t0，k0)，设p(x1，kx1)，q(x2，kx2) 由得：(12k2)x28，x2.(6分)由得：(1k2)x2(22k)x0，x1，(x2，kx2)(x1x2k2x1x2)2(k0). (9分)22.设(k)，(k)，令(k)0，得1k0，(k)在上单调递增，在上单调递减当k时，(k)m