上海交大数学分析第1学期期终考试解答.doc

上 海 交 通 大 学 试 卷（A卷） （ 2010 至 2011 学年 第 一 学期 ）班级号_ 学号_ 姓名 课程名称 数学分析（C类）（电院、管院） 成绩 一、填空题（每小题4分，共 16分）1. 极限.2. 极限 .3. 积分 .4. (电院专业同学做此题，不做4*) 设常数，则平面曲线所围图形的面积为 .4*. (管院专业同学做此题，不做4) 设，则在上的最大值为 .二、单项选择题（每小题3分，共12分）1. 考虑下列断语，则有 【 D 】(I) 若，则.(II) 若，则.(A) I正确，II不正确. (B) I不正确，II正确.(C) I，II均不正确. (D) I，II均正确.2. 设常数，则方程在内的实根个数为 【 B 】(A) 3. (B) 2. (C) 1. (D) 0.3. 设为区间上的上凸函数，为上递减的下凸函数，且，则【 A 】(A) 为上的下凸函数. (B) 为上的上凸函数.(C) 必为上的单调函数. (D) 以上结论都不正确.4. 设是在区间上的一个原函数, 则下列命题中, 错误命题个数为【 A 】(I) 在上连续.(II) 若，则，使.(III) 在上没有第一类间断点.(IV) 若，则，使.(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.B卷：1.(A) 2.(C) 3.(B) 4.(D)三、(本题共12分) 全面讨论函数的性态，并列表作图（已知）解 函数定义域：令 令 列表： 0 0 + 0 + + + +单调减上凸 拐点单调减下凸极小值单调增下凸单调减下凸 -（5）拐点 ，极小值点由 得垂直渐近线 ；由 得水平渐近线 . -（8）1-1-1Oxy草图： -（12）四、计算题 (第1小题6分，其它4小题各7分，共34分) 1. 求极限.解 原式= -（2） = = -（6）2. 求极限.解 原式=-（3） = = -（7）3. 求不定积分.解 原式=-（3）= -（7）4. 设函数，且，当时，又，求的表达式.解 由于当时，由可导知也可导. 方程两边对求导，得 -(2)当时，有 方程两边对积分得 = = -（6）再由 得C=. -（7）5. 计算定积分.解 原式= -（3） = -（6） = -（7）五、(本题共10分) 设在上连续，在内可导，且，又对任意的有.试证:在内至少存在一点，使.证 不妨设 则，由，及零点存在定理知使 -（5）构造函数 ，-（8）则，故由Rolle定理知使 即 -（10）六、（本题共10分）设是定义在上的有界函数，和在上取值相异的点构成数列，该数列满足. 证明：(1) 数列收敛，且；(2) ，并计算积分值.证（1）因为 ，故数列单调减，又有界，所以数列收敛。 设极限为，并在递归式两边令即得 -（4）（2）设函数，则在上有界，在数列处间断，因为，故N,有 .在区间上，由于只有有限个间断点，故在区间上可积，所以对上面的及对，在上存在分划使.而在区间上，取分划，也有，故由可积的第二充要条件知. -(8)由于，且除在可列个点间断外取值处处为零，故对上任意的分划，在每个子区间上总可取到点满足，如此便有，即 =0 -（10）七、(本题共6分) 设在上有连续的二阶导数，且，又不恒