2015年秋季学期公共课程《线性代数》期末复习提纲2.doc

2015年秋季学期公共课线性代数期末复习提纲一、行列式熟练掌握行列式的性质 会用行列式性质和按一行（列）展开定理计算行列式 熟练掌握计算行列式的方法掌握克莱姆法则定义，会用克莱姆法则解简单线性方程组行列式的形式和意义形式：用n2个数排列成的一个n行n列的表格，两边界以竖线，就成为一个n阶行列式。如果行列式的列向量组为1, 2, ,n,则此行列式可表示为|1, 2, n|。意义：是一个算式，把n2个元素（数）按照一定的法则进行运算，得到的数值称为这个行列式的值。注意:所谓的行列式只是一个数,而矩阵则是一组排成一个矩形的一堆数.请注意行列式和矩阵在形式和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.行列式定义(完全展开式)一般地，一个n阶行列式 a11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 ann的值是许多项的代数和，每一项都是取自不同行、不同列的n个元素的乘积，其一般形式为:,这里把相乘的n个元素按照行标的大小顺序排列，它们的列标j1j2jn构成1,2, ,n的一个全排列(称为一个n元排列)，一共有n!个n元排列，每个n元排列对应一项，因此共有n!个项。所谓代数和是在求总和时每项先要乘以该项的符号（+1或-1）。规定(j1j2jn)为全排列j1j2jn的逆序数（即小数排列在大数后面的现象出现的个数，例如6元排列231645有4个逆序:21,31,64,65,因此 (231645)=4)，则所乘的是 于是 a11 a12 a1na21 a22 a2n = an1 an2 ann 这里表示对所有n元排列求和.称上式为n阶行列式的完全展开式.行列式的性质行列式有以下性质: 把行列式转置值不变,即|AT|=|A| . 某一行(列)的公因子可提出. 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量=+ ，则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或 所得到的行列式. 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号. 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0. 如果把一个行(列)向量的倍数加到另一个行(列)向量上,则行列式的值不变.把n阶行列式的第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式称为第(i,j)位元素aij的余子式,记作Mij。 称Aij=(-1)i+jMij为aij的代数余子式.注意:代数余子式是带有符号的.要注意前面的(-1)的幂次. 行列式可对某一行(列)展开,即行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和. 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于0. 如果A与B都是方阵(不必同阶),则 A * = A O =|A|+|B|. O B * B范德蒙行列式:形如 1 1 1 1 a1 a2 a3 an a12 a22 a32 an2 a1n-i a2n-i a3n-i ann-i的行列式(或其转置)。它由a1,a2 ,a3,an所决定,它的值等于 因此范德蒙行列式不等于0 a1,a2 ,a3,an两两不同。 行列式的计算行列式的核心问题是值的计算.(1)用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大。只在有大量元素为0，使得只有少数项不为0时，才可能用它作行列式的计算。例如对角行列式，上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积，因为其它项都为0。(2)化零降阶法：取定一行(列)，先用性质把这行(列)的元素消到只有一个或很少几个不为0，再用性质对这行(列)展开。从而达到降阶的目的，使需要计算的行列式简化。(3)利用性质简化计算,主要应用于元素有规律的行列式,包括n阶行列式.克莱姆法则克莱姆法则 当线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n阶矩阵)时,如果它的系数行列式不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D1/D, D2/D,Dn/D),这里D是系数行列式的值, Di是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.两点说明: 按法则给的公式来求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上.(实际求解方法:对增广矩阵(A|)作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时变为解.) 事实上系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件。注意二三阶行列式定义的掌握，以及熟练计算，并会通过行列式性质并展开的方法进行一系列的计算。另外，高阶行列式的求解一般多通过行列式的展开性质转化为低阶行列式的求解，而直接由行列式定义来求解的情况比较少，因为求解项太多，容易出错，容易漏项多项。练习题一个三阶行列式的值为8，它的第二行的元素是1，2，a，它们的代数余子式依次为A21=2，A22=-1，A23=1，则a =( ).2. a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z. 1 -z x+3 y y-2 x+1 0 z+3 计算行列式的值。032-142-41/2011-13-1/322010112-11/23参考答案1. 8. 2. x=0,y=3,z=-1. 3. -305/4.二、线性方程组掌握线性方程组解的判定方法；掌握解线性方程组的方法：掌握消元法解线性方程组的方法熟练掌握分离系数消元法解线性方程组的方法熟练掌握齐次线性方程组解的判断定理和解法线性方程组的形式线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 矩阵式 AX=，(齐次方程组AX=0)。 向量式 x11+ x22+ +xss= ， (齐次方程组x11+ x22+ ,+xss=0)。这两种形式是等价的.线性方程组解的情况的判别对于方程组AX=,判别其解的情况用三个数：未知数个数n,r(A)，r(A|)。 无解r(A )r(A|)。 有唯一解r(A )=r(A|)=n。(当A是方阵时，就推出克莱姆法则。) 有无穷多解r(A )=r(A|)n。方程的个数m虽然在判别公式中没有出现，但它是r(A)和r(A|)的上限，因此，当r(A)=m时，AX=一定有解；当mn时,一定不是唯一解。对于齐次方程组AX=0，判别解的情况用两个数：n，r(A)。 有非零解 r(A )s，则 1. 2, t 线性相关。推论 如果两个线性无关的向量组互相等价,则它们包含的向量个数相等.向量组的极大无关组和秩 秩是刻画向量组相关“程度”的一个数量概念。它表明向量组可以有多大的线性无关的部分组。秩也是刻画向量组里“有用”的向量的个数一个度量值。所谓“有用”就是不能被其他的表示出来，类似于向量组中比较 “独立“的成分。定义 设 1, 2, , s 是n维向量组，(I)是它的一个部分组。如果 (I) 线性无关。 (I) 再扩大(增加一个向量)就线性相关。 就称(I)为 1, 2, , s 的一个极大线性无关组。条件可更换为：任何 i都可用(I)线性表示。也就是(I)与 1, 2, , s 等价。当 1, 2, s 不全为零向量时，它就存在极大线性无关组，并且任意两个极大线性无关组都等价，从而包含的向量个数相等。定义 如果 1, 2, s 不全为零向量，则把它的极大无关组中所包含向量的个数称为 1, 2, s 的秩，记作r( 1, 2 , s )。如果 1, 2, s 全是零向量，则规定r( 1, 2, s )=0。 秩有以下性质： 1, 2, s 线性无关 r( 1, 2, s )=s. 可用 1, 2, s 线性表示r( 1, 2, s， )=r( 1, 2, s )。 如果r( 1, 2, , s )=k,则i) 1, 2, , s 的每个含有多于k个向量的部分组均线性相关。ii) 1, 2, , s 的每个含有k个向量的线性无关部分组一定是极大无关组。 如果 1, 2, , t可以用 1, 2, s线性表示，则 r( 1, 2, t) r( 1, 2 , s )。 如果 1, 2, , s和 1, 2, t等价，则 r( 1, 2, s ) = r( 1, 2, t)。齐次方程组基础解系、线性方程组的通解(1) 齐次方程组基础解系如果齐次方程组AX=0有非零解，则它的解集(全部解的集合)是无穷集，称解集的每个极大无关组为AX=0的基础解系。于是, 当1, 2, ,s是AX=0的基础解系时，向量是AX=0的解可用1, 2, s线性表出。定理 设AX=0有n个未知数，则它的解集的秩(即基础解系中包含解的个数)等于n-r(A )。于是，判别一组向量1, 2, ,s是AX=0的基础解系的条件为： 1, 2, ,s是AX=0的一组解。 1, 2, ,s线性无关。 r(S)=n-r(A )。（S为解空间）(2) 线性方程组的通解如果1, 2, ,s是齐次方程组AX=0的基础解系，则AX=0的通解(一般解)为c11+ c22+ + css, 其中c1， c2， ,cs，可取任何常数。如果0是非齐次方程组AX=的解，1, 2, ,s是导出组AX=0的基础解系，则AX=的通解(一般解)为0+c11+ c22+ + css, 其中c1， c2， ,cs可取任何常数。齐次线性方程的解的结构是非齐次的基础，因而比较重要，非齐次的方程的解是在齐次的基础解系的基础之上再加上一个特解构成的，这里面线性表示就扮演着重要的作用，齐次方程的解系就是由一组向量线性表示的，而这组向量是相互无关的。这部分注意重点掌握线性无关，线性相关的定义，后面的很多内容都是围绕着这个定义展开。这部分内容主要也是为了求解线性方程组的方便。由于最后的解通常不唯一，因而就需要用一个通用的式子把他们都表示出来，这里面线性表示就派上用场了。练习题(1) 1,2 ,r线性无关 ( )(A) 存在全为零的实数k1,k2,kr，使得k11+ k22+ krr = 0；(B) 存在不全为零的实数k1,k2,kr，使得k11+ k22+ krr 0；(C) 每个i都不能用其它向量线性表示；(D) 有线性无关的部分组(2) 设A是45矩阵, 1 , 2 , 3, 4, 5是A的列向量组，r(1 ,2 ,3,4,5)=3，则( )(A) A的任何3个行向量都线性无关； (B) 1 , 2 , 3, 4, 5的含有3个向量的线性无关部分组一定是它的极大无关组； (C) A的最下面的行向量是零向量。(D) 1 , 2 , 3, 4, 5的线性相关的部分组一定含有多于3个向量3. 设n维向量组 1, 2 , s的秩等于3，则( )(A) 1, 2 , s中的任何4个向量相关, 任何3个向量无关. (B) 存在含有两个向量的无关的部分组.(C) 相关的部分组包含向量的个数多于3.(D) 如果s 3, 则 1, 2 , s中有零向量.4.设n维向量组 1 , 2 , s 的秩为k，它的一个部分组 1 , 2 , t(t r(1, 2, s).(D) 如果r(1,2, s)r(1, 2, s),则A不可逆.6. 设 1, 2, 3, 4 线性无关,则( )线性无关.(A) 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 , 4 + 1 (B) 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 , 3 - 4 (C) 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 4 , 4 - 1 (D) 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 - 4 , 4 - 17.设n维向量组1,2,s线性相关, 但是2,s线性无关，其中1不是零向量.又设数1,2,s 不全为0，使得 11+ 22+ ss=0 ，则一定有( ).(A) 1 0,2,s全为0； (B) 1 0,2,s不全为0 ；(C) 1 =0，2,s不全为0； (D) s=n.8.设n维向量组 1 , 2 , 3, 4 , 的秩为4，则( )正确.(A) n=4. (B) 可用1,2,3,4线性表示. (C) r(1,2,3,4)3.(D) 1,2,3,4线性无关.9. 设 1=(1+，1，1)， 2=(1，1+，1)， 3=(1，1，1+)， =(0，,2) 为何值时， 可用 1， 2， 3线性表示，并且表示方式唯一？ 为何值时， 可用 1， 2， 3线性表示，并且表示方式不唯一？ 为何值时， 不可用 1， 2， 3线性表示？ 10.当a取何值时向量组 1 =(3，1，2，12)， 2 =(-1，a，1，1)， 3 =(1,-1，0，2)线性相关？ 11如果 1 , 2 , 3 线性无关，而3 1 - 2 + 3 ,2 1 + 2 - 3, 1 + t 2 + 2 3 线性相关,则t= .12. 设A是mn矩阵,它的列向量组为1, 2,n,则（ ）(A) 如果非齐次方程组AX= 有唯一解,则m=n,并且|A|不为0.(B) 如果1, 2,n线性相关,则非齐次方程组AX= 有无穷多解.(C) 总存在m维向量 ,使得方程组AX = 有无解.(D) 如果AX = 有唯一解, 则m n.13.设1,2,3 是齐次方程组AX=0的一个基础解系，则( )也是AX=0的基础解系.(A) 1-3 ,2-1,3-2 .(B) 1,2 -3.(C) 1+2,2-3,1+2+3.(D) 1+2,2+3, 3+1, 1+2+3.14. 求齐次方程组的基础解系和通解: 3x1 + 2x2 + x3 + 3x4 + 5x5 = 0， 6x1 + 4x2 + 3x3 + 5x4 + 7x5 = 0， 9x1 + 6x2 + 5x3 + 7x4 + 9x5 = 0， 3x1 + 2x2 + 4x4 + 8x5 = 0. 15. -x1 + kx2 + 2x3 = 1， 已知方程组 x1 - x2 + kx3 = 2 ，有无穷多个解,求k的值,并求此方程组的通解. -5x1 + 5x2 + 4x3 = -1 16. 1 1 1 1 1 设 A= 2 1 0 4 ，= a 已知线性方程组AX= 有解， 求a,b, 并写出通解. 0 1 2 6 3 5 4 3 -1 b 参考答案C 2. B 3. C 4. , , 5. D 6. B 7. B 8. C9. 不为0和-2. =0. =-2. 10. a=311t=-212. C 13. C 四、矩阵掌握矩阵运算的定义和方法 （重点是乘法运算）了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。掌握矩阵可逆的充分必要条件，熟练掌握可逆矩阵的计算方法 若A为n阶方阵，则下列结论等价：A可逆 |A|0 A满秩 存在 n阶方阵B使得AB=BA=I熟练掌握等价矩阵的判定和运算了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。会解简单的矩阵方程矩阵乘法的定义和性质定义当矩阵A的列数和B相等时，和A和B可以相乘，乘积记作AB 。AB 的行数和A相等，列数和B 相等。AB 的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B 的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和。矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同: 矩阵乘法有条件. 矩阵乘法无交换律. 矩阵乘法无消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A=0推不出或B=C.(无左消去律)由BA=CA和A=0推不出或B=C. (无右消去律)把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来，这是常见错误。矩阵乘法适合以下法则： 加乘分配律 A(B + C)= AB + AC ，( A + B )C = AC + BC. 数乘性质 ( cA )B = c( AB )。 结合律 ( AB )C = A( BC )。 ( AB )T=B TA T.n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B 都可以相乘，乘积AB 仍是n阶矩阵。(1)行列式性质 |AB|=|A|B|。(2)如果AB=BA ,则说A和B可交换。(3)方幂 设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积。规定A 0=E 。显然A 的任何两个方幂都是可交换的，并且方幂运算符合指数法则： A kA h = A k+h. (A k)h = A kh.但是一般地( AB )k A kB k.(4) n阶矩阵的多项式的乘法公式设f(x)=amxm + am-1xm-1 + a1x + a0，对n阶矩阵A规定f(A)=amA m + am-1A m-1 + a1A + a0 + E 。称为A的一个多项式。请特别注意在常数项上加单位矩阵E 。一般地,由于可交换性的问题，乘法公式对于n阶矩阵的多项式不再成立，如果所出现的n阶矩阵互相都是交换的，则乘法公式成立。例如：( A B )2 = A 2 2AB + B 2 A和B 可交换.( A + B )( A - B ) = A 2 - B 2 A和B 可交换.乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是mn矩阵B是ns矩阵。A的列向量组为 1, 2, n ，B 的列向量组为 1, 2, s ，AB 的列向量组为 1, 2, s ，则根据矩阵乘法的定义容易得出: AB 的每个列向量组为 i=Ai,i=1,2,s.即A(1, 2, ,s)= (A1,A2, ,As). =(b1,b2, ,bn)T,则A= b11+b22+ +bnn.应用这两个性质可以得到:乘积矩阵AB的第i个列向量i是A的列向量组为1, 2, ,n的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量I的各分量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A的第i个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调，但只要对矩阵乘法稍加分析就不难看出。然而它们无论在理论上(有助于了解代数学中各部分内容的联系)和解题中都是很有用的。请同学们注意例题中对它们的应用。下面是几个简单结论：用对角矩阵D从左侧乘一个矩阵，相当于用D的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量；用对角矩阵D从右侧乘一个矩阵，相当于用D的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量。单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵。数量矩阵kE 乘一个矩阵相当于用数k乘此矩阵。两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘。求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个作同次方幂。矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法，乘法的逆运算是解下面两中基本形式的矩阵方程。(I) AX=B. (II) XA=B. 其中A必须是行列式不等于0的n阶矩阵，这样这两个方程都是唯一解。 当B 只有一列时，(I)就是一个线性方程组。由克莱姆法则知它有唯一解。设B有s列，B = ( 1, 2, s)，则 X也有s列，记X = ( 1, 2, s)。得到Ai=i,i=1,2, ,s,这些方程组都是唯一解，从而AX=B唯一解。这些方程组系数矩阵都是A ,可同时求解，即得(I)的解法:将A和B 并列作矩阵(A|B )，对它作初等行变换，使得A 变为单位矩阵，此时B 变为为解X 。(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式：ATXT=BT。再用解(I)的方法求出XT，转置得X.。矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往比较复杂,要用恒等变形简化为下上基本形式再求解.这部分需要多做练习，在练习中掌握具体的方法和思路。(2) 可逆矩阵定义 设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B ,使得AB=E ，BA=E ，则称A为可逆矩阵。此时B 是唯一的，称为A的逆矩阵，通常记作A-1。矩阵可逆性的判别: n阶矩阵A可逆|A|0. n阶矩阵A和B如果满足AB=E ，则A和B 都可逆并且互为逆矩阵。(即 AB = E BA = E)可逆矩阵有以下性质： 如果A可逆,则A-1也可逆，并且(A-1)-1=A,|A-1|=|A|-1.AT也可逆，并且(AT)-1=(A-1)T. 当c0时, cA也可逆，并且(cA)-1=c-1A-1。对任何正整数k ， Ak也可逆，并且(Ak)-1=(A-1)k。(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k = (Ak)-1 = (A-1)k。 如果A和B都可逆，则AB 也可逆，并且( AB )-1=B-1A-1。 如果A可逆，则A在乘法中有消去律AB = 0 B = 0 ， BA = 0 B = 0 . AB = AC B = C ，BA = CA B = C . 如果A可逆，则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边) AB = C B = A-1C ， BA = C B = CA-1 .由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：(I) AX=B的解X=A-1B ; (II) XA=B的解X= BA-1.这种解法自然好记，但是计算量比初等变换方法大(多了一次矩阵乘积运算)。(3) 逆矩阵的计算和伴随矩阵逆矩阵的计算有两种方法。初等变换法A-1是矩阵方程AX=E的解，于是对( A|E )用初等行变换把A化为E , 则E化为A-1。 伴随矩阵法若A是n阶矩阵，记Aij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式，规定A的伴随矩阵为： A11 A21 An1 A*= A12 A22 An2 =(Aij)T A1n A2n Amn 规定伴随矩阵不要求A可逆。但是在A可逆时，A*和A-1有密切关系。基本公式：AA*= A*A= |A|E.于是对于可逆矩阵A ，有：A-1= A*/|A| ，或A*=|A | A-1。因此可通过求A*来计算A-1 ，这就是求逆矩阵的伴随矩阵法。和初等变换法比较，伴随矩阵法的计算量要大得多，除非n=2 ，一般不用伴随矩阵法来求逆矩阵。伴随矩阵的其它性质 如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*. |A*|=|A | n-1. (A-T)*=(A*)T. (cA)*=c n-1A*. (AB)*= B*A*; (Ak)*= (A*)k. (A*)*=|A| n-2 A.伴随矩阵是求方阵的逆矩阵的一种方法。注意弄清楚矩阵和向量之间的区别和联系。练习题1、 设=(1,2,3,4)T,=(1,1/2,1/3/1/4)T, A=T, 求An . 1 1/2 0 一 设A= 2 1 0 ，求An1 1/2 0 2、 设=( 1，-1，2)T ，=(2， 3， 2)T ， -1 2 0 A = 0 1 1 ，B =A T ，求B 5 3 0 -1 3、 已知3阶行列式|,| = 3，求|3- + 2,- + + ,2 + 5 - 7|. 二 已知 3 0 1 A= 1 1 0 ，AB=A+2B，求B 0 1 4 三 已知 0 1 0 1 -1 A= -1 1 1 ，B= 2 0 ，X=AX+B,求X. -1 0 -1 5 3 四 已知 1 -2 0 B= 2 1 0 ，(A- E)B = A，求A. 0 0 2 五 已知 0 1 1 A= 1 0 1 ，A-1BA=6A+BA，求B 0 1 0 六 1 0 0 设 A = -2 3 0 , B=(A+E)-1(A-E),则(B-E)-1= . 0 -4 54、 A是一个3阶矩阵, 3维向量组 1, 2 , 3线性无关,满足A1 = 2 + 3, A2 = 1 + 3, A3 = 1 + 2 .求|A|.七 2 0 0 设 A =(1/2) 0 1 3 ,求(A*)-1. 0 2 55、 设n阶矩阵A满足A2+3A- 2E=0，证明A可逆，并求A-1和(A+E )-16、 设n阶矩阵A 满足A2-3A+2E = 0， 并且A不是数量矩阵问a为什么数时A-aE可逆？7、 设A,B是两个n阶矩阵,满足(AB)2 = E ,则( )成立.(A) AB = E .(B) |A|B| = 1.(C) AB = BA.(D)(BA)2 = E .8、 设A,B是两个3阶矩阵,|A-1|=2,|B-1|=3,则|A*B-1 - A-1B*|=( ).(A)36.(B)1/36.(C)-6.(D) 6.9、 已知3阶矩阵A满足:2 1 -3 -5 -3 9 A2= 1 1 -2 , A3= -3 -2 6 , 求A. -3 -2 6 9 6 17 参考答案 (1) 4nA . (2) 2 n-1A. (3) -6 -9 -9 B5=B=A T = 2 3 3 2 3 3(4) -135. (5) 5 -2 -2 B= 4 3 2 . -2 2 3 (6) 3 -1 X= 2 0 . 1 -1(7) 1 1/2 0A= -1/2 1 0 . 0 0 1(8) 2 2 2 B=-3 1 3 2 . 1 1 2 (9) (B-E)-1= -(A+E)/2. (10) 2.(11) (A*)-1=-4A. (12) A-1=(A+3E)/2 ,(A+E)-1= (A+2E)/4.(13) A不等于1和2.(14) (D).(15) (B).(16) -1 0 1 0 0 1 . 1 1 -2五、矩阵的相似熟练掌握矩阵相似的定义和性质 熟练掌握特征值与特征向量的概念和计算方法 定义设A是n阶矩阵.一个n维向量 称为A的特征向量 ，如果(1)0 ；(2)A 与 线性相关。此时，存在唯一数 ，使得A= ，称为 的特征值 (并且说 是属于的特征向量)。例如，对于数量矩阵E ，任何非零向量都是它的特征向量，特征值都是。计算 对等式A = 作恒等变形，得(E -A) = 0 ，即 是齐次方程组(E -A)X = 0的非零解，由此得到对特征向量和特征值的另一种认识： 是A的特征值 | E -A | = 0 ，即(E -A)不可逆。 是属于的特征向量 是齐次方程组(E -A)X = 0的非零解。规定A的特征多项式为| xE -A | ，则A的特征值就是它的特征多项式的根。例如，对角矩阵的特征值即对角线上的各元素。计算特征值和特征向量的具体步骤为：计算特征多项式，求出它的根，即特征值；然后对每个特征值，求齐次方程组(E -A)X = 0的非零解，即属于的特征向量。性质特征值的重数：即作为特征多项式的根的重数。A的特征值共有n个(其中有的相同，有的是虚数)，也就是A的全体不同特征值的重数和等于n 。定理 设是A的特征值，则它的重数 n - r(E -A) 。设1，2， n是A的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到： 1+2+ n = tr(A) (A 的迹数，即主对角线上元素之和)。 12 n =| A | 。和A相关矩阵的特征值命题 如果 是A的特征向量，特征值为，则 对任何常数c， 也是cA的特征向量，特征值为c； 对任何自然数k， 也是Ak的特征向量，特征值为k； 也是A的多项式f(A)的特征向量，特征值为f()； 如果A可逆，则 也是A-1的特征向量，特征值为-1.从特征值方面看，有命题 如果是A的特特征值，则 对任何常数c， c是cA的特征值； 对任何自然数k， k是Ak的特征值； f()是A的 多项式f(A)的特征值； 如果A可逆，则 -1是A-1的特征值.At和A有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.但是它们的特征向量可能不相同.特征向量是与特征值以及矩阵A都有关系。练习题(1) 1 -2 2 设A = -2 -2 4 ，求A的特征值和特征向量 2 4 -2 (2) 1 0 1 已知0是A = 0 2 0 的特征值，求a和A 的别的特征值1 0 a -3 x y (3) 已知 =(0，2，1)T是 A= 0 x 2y 的特征向量,求x,y和的特征值. -1 0 1 2 -1 2(4) 已知 =(1，1，-1)T是 x 2 y 的特征向量 ，求x，y和的特征值0 x 1 (5) 7 4 -1 设A = 4 7 -1 有一个二重特征值3，求x和另一个特征值,以及属于3 的特征向量 -4 x 4(6) 设3阶矩阵A 有3个特征向量1=(1,-1,0)T，2=(1,-1,1)T，3=(0,1,-1)T,它们的特征值分别为-1,1,3，求A2+A对线性代数相关知识做一总结线性代数的学习切入点：线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。系数矩阵和增广矩阵。高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解，若未出现0=d一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数