河北省唐山一中高二数学上学期期中试题 文（含解析）.doc

2015-2016学年河北省唐山一中高二（上）期中数学试卷（文科）一选择题（共12小题，每小题5分，计60分在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确）1过点（1，2）且与直线2x3y+4=0垂直的直线方程为（）a3x+2y1=0b3x+2y+7=0c2x3y+5=0d2x3y+8=02过原点且倾斜角为60的直线被圆x2+y24y=0所截得的弦长为（）ab2cd23抛物线y=4x2关于直线xy=0对称的抛物线的准线方程是（）ay=by=cx=dx=4已知直线l：xky5=0与圆o：x2+y2=10交于a，b两点且=0，则k=（）a2b2cd5如图，f1、f2分别是双曲线=1（a0，b0）的两个焦点，以坐标原点o为圆心，|of1|为半径的圆与该双曲线左支交于a、b两点，若f2ab是等边三角形，则双曲线的离心率为 （）ab2c1d1+6如图直三棱柱abca1b1c1的体积为v，点p、q分别在侧棱aa1和cc1上，ap=c1q，则四棱锥bapqc的体积为（）abcd7已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆心角为（）a180b120c90d1358圆c1：（x3）2+y2=1，圆c2：（x+3）2+y2=4，若圆m与两圆均外切，则圆心m的轨迹是（）a双曲线的一支b一条直线c椭圆d双曲线9直线l：y=kx1与圆x2+y2=1相交于a、b两点，则oab的面积最大值为（）abc1d10如图，长方体abcda1b1c1d1中，ab=2，ad=aa1=设长方体的截面四边形abc1d1的内切圆为o，圆o的正视图是椭圆o，则椭圆o的离心率等于（）abcd11设点a，b分别在直线3xy+5=0和3xy13=0上运动，线段ab的中点m恒在直线x+y=4上或者其右上方区域则直线om斜率的取值范围是（）a（，1b1，3）c（，1（3，+）d（，1（，+）12已知点a（1，0），b（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点p满足|pa|=m|pb|，则m的最大值为（）a3b2cd二填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆c：x2+y22x15=0的半径，则椭圆的标准方程是14抛物线c：y2=2px（p0）的焦点为f，m是抛物线c上的点，若三角形ofm的外接圆与抛物线c的准线相切，且该圆的面积为36，则p的值为15一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积等于16一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是抛物线y2=2x的内接等腰直角三角形，则这个平面图形的面积是三计算题（共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共计70分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17如图：一个圆锥的底面半径为1，高为3，在其中有一个半径为x的内接圆柱（1）试用x表示圆柱的高；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？18已知直线（a2）y=（3a1）x1 求证：无论a为何值时直线总经过第一象限； 为使这直线不过第二象限，求a的范围19已知关于x，y的方程c：x2+y22x4y+m=0（1）当m为何值时，方程c表示圆；（2）在（1）的条件下，若圆c与直线l：x+2y4=0相交于m、n两点，且|mn|=，求m的值20已知中心在坐标原点o的椭圆c经过点a（2，3），且点f（2，0）为其右焦点（1）求椭圆c的方程；（2）是否存在平行于oa的直线l，使得直线l与椭圆c有公共点，且直线oa与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由21已知椭圆+=1和双曲线=1有公共的焦点（1）求双曲线的渐近线方程；（2）直线l过右焦点且垂直于x轴，若直线l与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方程22已知抛物线e：x2=2py（p0），直线y=kx+2与e交于a、b两点，且=2，其中o为原点（1）求抛物线e的方程；（2）点c坐标为（0，2），记直线ca、cb的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k222k2为定值2015-2016学年河北省唐山一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题（共12小题，每小题5分，计60分在每小题给出的四个选项中只有一个选项正确）1过点（1，2）且与直线2x3y+4=0垂直的直线方程为（）a3x+2y1=0b3x+2y+7=0c2x3y+5=0d2x3y+8=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】直线与圆【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程可设与直线2x3y+4=0垂直的直线方程为3x2y+c=0，再把点（1，2）代入，即可求出c值，得到所求方程【解答】解：所求直线方程与直线2x3y+4=0垂直，设方程为3x2y+c=0直线过点（1，2），3（1）22+c=0c=1所求直线方程为3x+2y1=0故选：a【点评】本题主要考查了互相垂直的两直线方程之间的关系，以及待定系数法求直线方程，属于常规题2过原点且倾斜角为60的直线被圆x2+y24y=0所截得的弦长为（）ab2cd2【考点】直线的倾斜角；直线和圆的方程的应用【专题】计算题【分析】本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆x2+y24y=0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为60，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解【解答】解：将圆x2+y24y=0的方程可以转化为：x2+（y2）2=4，即圆的圆心为a（0，2），半径为r=2，a到直线on的距离，即弦心距为1，on=，弦长2，故选d【点评】要求圆到割线的距离，即弦心距，我们最常用的性质是：半径、半弦长（be）、弦心距（oe）构成直角三角形，满足勾股定理，求出半径和半弦长，代入即可求解3抛物线y=4x2关于直线xy=0对称的抛物线的准线方程是（）ay=by=cx=dx=【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求出抛物线y=4x2的准线l，然后根据对称性的求解l关于直线y=x对称的直线，即为抛物线y=4x2关于直线xy=0对称的抛物线的准线方程【解答】解：y=4x2的标准方程为：x2=，其准线方程为y=，y=关于y=x对称方程为x=所以所求的抛物线的准线方程为：x=故选：d【点评】本题主要考查了抛物线的准线，曲线关于直线对称的求解，属于对基础知识的考查4已知直线l：xky5=0与圆o：x2+y2=10交于a，b两点且=0，则k=（）a2b2cd【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系【专题】平面向量及应用【分析】由题意可得弦长ab对的圆心角等于90，故弦心距等于半径的倍，再利用点到直线的距离公式求得k的值【解答】解：由题意可得弦长ab对的圆心角等于90，故弦心距等于半径的倍，等于=，故有=，求得 k=2，故选：b【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于基础题5如图，f1、f2分别是双曲线=1（a0，b0）的两个焦点，以坐标原点o为圆心，|of1|为半径的圆与该双曲线左支交于a、b两点，若f2ab是等边三角形，则双曲线的离心率为 （）ab2c1d1+【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】连结af1，根据圆的直径的性质和等边三角形的性质，证出f1af2是含有30角的直角三角形，由此得到|f1a|=c且|f2a|=c再利用双曲线的定义，得到2a=|f2a|f1a|=（1）c，即可算出该双曲线的离心率【解答】解：连结af1，f1f2是圆o的直径，f1af2=90，即f1aaf2，又f2ab是等边三角形，f1f2ab，af2f1=af2b=30，因此，rtf1af2中，|f1f2|=2c，|f1a|=|f1f2|=c，|f2a|=|f1f2|=c根据双曲线的定义，得2a=|f2a|f1a|=（1）c，解得c=（+1）a，双曲线的离心率为e=+1故选d【点评】本题给出以双曲线焦距f1f2为直径的圆交双曲线于a、b两点，在f2ab是等边三角形的情况下求双曲线的离心率着重考查了双曲线的定义、标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题6如图直三棱柱abca1b1c1的体积为v，点p、q分别在侧棱aa1和cc1上，ap=c1q，则四棱锥bapqc的体积为（）abcd【考点】组合几何体的面积、体积问题【专题】计算题【分析】把问题给理想化，认为三棱柱是正三棱柱，设底面边长a和侧棱长h均为1，p、q分别为侧棱aa，cc上的中点求出底面面积高，即可求出四棱锥bapqc的体积【解答】解：不妨设三棱柱是正三棱柱，设底面边长a和侧棱长h均为1 则v=sabch=111= 认为p、q分别为侧棱aa，cc上的中点 则v bapqc=sapqc= （其中表示的是三角形abc边ac上的高） 所以v bapqc=v故选b【点评】本题考查几何体的体积，考查计算能力，特殊化法，在解题中有独到效果，本题还可以再特殊点，四棱锥变为三棱锥解答更好7已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆心角为（）a180b120c90d135【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】易得圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解【解答】解：圆锥底面半径是3圆锥的底面周长为6设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为n，=6，解得n=90故选：c【点评】本题考查空间几何体的侧面展开图的应用，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长8圆c1：（x3）2+y2=1，圆c2：（x+3）2+y2=4，若圆m与两圆均外切，则圆心m的轨迹是（）a双曲线的一支b一条直线c椭圆d双曲线【考点】轨迹方程【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设动圆圆心m（x，y），则|mc2|mc1|=1，利用双曲线的定义，即可求动圆圆心m的轨迹方程【解答】解：设动圆圆心m（x，y），则|mc2|mc1|=1，又|c1c2|=6，由双曲线定义知：动点m的轨迹是以c1、c2为焦点，中心在原点的双曲线的左支故选：a【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题9直线l：y=kx1与圆x2+y2=1相交于a、b两点，则oab的面积最大值为（）abc1d【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】由题意可得，oab的面积为sinaob，再根据正弦函数的值域，求得它的最大值【解答】解：由题意可得oa=ob=1，oab的面积为oaobsinaob=sinaob，故oab的面积最大值为，故选：b【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，正弦函数的值域，属于基础题10如图，长方体abcda1b1c1d1中，ab=2，ad=aa1=设长方体的截面四边形abc1d1的内切圆为o，圆o的正视图是椭圆o，则椭圆o的离心率等于（）abcd【考点】椭圆的简单性质；椭圆的定义【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据题意，画出图形，结合图形，求出椭圆o1的长轴与短轴长，计算离心率e即可【解答】解：根据题意，画出图形，如图所示：椭圆o的长轴长为2a=ab=2，短轴长为2b=aa1=，a=1，b=，c=，离心率为e=故选：b【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了椭圆的几何性质的应用问题，属于基础题11设点a，b分别在直线3xy+5=0和3xy13=0上运动，线段ab的中点m恒在直线x+y=4上或者其右上方区域则直线om斜率的取值范围是（）a（，1b1，3）c（，1（3，+）d（，1（，+）【考点】直线的斜率【专题】直线与圆【分析】设a（x1，y1），b（x2，y2），则3x1y15=0，3x2y213=0，两式相加得3（x1+x2）（y1+y2）8=0，设m（x0，y0），则由中点的坐标公式可得3x0y04=0，又点m在直线x+y=4上或者其右上方区域，画图得到m位于以（2，2）为端点向上的射线上，数形结合可得答案【解答】解：设a，b两点的坐标为a（x1，y1），b（x2，y2），点a，b分别在直线3xy+5=0和3xy13=0上运动，3x1y15=0，3x2y213=0，两式相加得3（x1+x2）（y1+y2）8=0设线段ab的中点m（x0，y0），则x1+x2=2x0，y1+y2=2y03x0y04=0即y0=3x04又m恒在直线x+y=4上或者其右上方区域，线段ab的中点m满足，如图联立，解得m（2，2），m位于以（2，2）为端点向上的射线上，当m（2，2）时，kom=1，直线om斜率的取值范围是1，3）故选：b【点评】本题考查了直线的斜率，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，属于中档题12已知点a（1，0），b（1，0）及抛物线y2=2x，若抛物线上点p满足|pa|=m|pb|，则m的最大值为（）a3b2cd【考点】抛物线的简单性质【专题】不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意可得 m2=1+3，可得 m【解答】解：设p（，y），由题意可得 m2=1+1+=3，m，当且仅当 y2=2时，等号成立，故选：c【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质，基本不等式的应用，运用基本不等式求出m23，是解题的关键二填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆c：x2+y22x15=0的半径，则椭圆的标准方程是+=1【考点】椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用配方化简x2+y22x15=0得到圆的半径为4，所以椭圆的长轴为4，根据离心率求出c，根据勾股定理求出b得到椭圆的解析式即可【解答】解：x2+y22x15=0，（x1）2+y2=16，r=4=2a，a=2，e=，c=1，b2=3则椭圆的标准方程是+=1故答案为： +=1【点评】考查学生会根据条件求圆标准方程，以及灵活运用椭圆简单性质解决数学问题的能力14抛物线c：y2=2px（p0）的焦点为f，m是抛物线c上的点，若三角形ofm的外接圆与抛物线c的准线相切，且该圆的面积为36，则p的值为8【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，再由外接圆的面积求出外接圆的半径，由外接圆圆心在of的垂直平分线上求出外接圆圆心的横坐标，则有，由此求得p的值【解答】解：抛物线y2=2px的焦点f（，0），准线l：x=，设ofm的外心为q，半径为r，面积s=r2=36，则r2=36，r=6，而点q在线段of的垂直平分线上，而圆q与抛物线的准线x=相切，则有，即，p=8故答案为：8【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，训练了数学转化思想方法，是基础题15一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积等于10+2+4【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；数形结合；空间位置关系与距离；立体几何【分析】该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面，根据公式可求表面积【解答】解：由三视图复原几何体，如图所示：它的底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面高为2，故底面梯形abcd的面积为：6，后侧面pad的面积为：2，左侧面pab的面积为：2，前侧面pbc的面积为： =4，右侧面pcd中pd=cd=2，pc=，故pc上的高长为：，则右侧面pcd的面积为： =2，故几何体的表面积s=10+2+4，故答案为：10+2+4【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状16一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是抛物线y2=2x的内接等腰直角三角形，则这个平面图形的面积是8【考点】斜二测法画直观图【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，斜边长为4，求出直观图的面积，利用原图和直观图的面积关系得到答案【解答】解：由题意，图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，斜边长为4，故直角边长为2，则直观图的面积s=4，则原图的面积s=2s=8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是空间几何体的直观图，熟练掌握原图面积s和直观图的面积s的关系s=2s是解答的关键三计算题（共6小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共计70分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17如图：一个圆锥的底面半径为1，高为3，在其中有一个半径为x的内接圆柱（1）试用x表示圆柱的高；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；点、线、面间的距离计算【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离【分析】（1）由题意作出几何体的轴截面，根据轴截面和比例关系列出方程，求出圆柱的高的表达式（2）由（1）求出的侧面面积的表达式，根据二次函数的性质求出侧面面积的最大值【解答】解：（1）设所求的圆柱的底面半径为x，它的轴截面如图：bo=1，po=3，圆柱的高为：h由图得，即h=33x（2）s圆柱侧=2hx=2（33x）x=6（xx2），当x=时，函数取得最大值为：当圆柱的底面半径为时，它的侧面积最大为【点评】本题的考点是简单组合体的面积问题，关键是作出轴截面，求出长度之间的关系式，表示出面积后利用函数的思想求出最值，考查了数形结合思想和函数思想18已知直线（a2）y=（3a1）x1 求证：无论a为何值时直线总经过第一象限； 为使这直线不过第二象限，求a的范围【考点】确定直线位置的几何要素【专题】直线与圆【分析】将方程整理为a（3xy）+（x+2y1）=0，对任意实数a恒过直线3xy=0 与x2y+1=0 的交点，解方程组求得交点的坐标a=2时，直线x= 不过第二象限当a2时直线方程化为：y=，此直线不过第二象限的充要条件为，由此解得a的范围综合求得a的范围【解答】解：应用过定点的直线系方程，将方程整理为a（3xy）+（x+2y1）=0，对任意实数a恒过直线3xy=0 与x2y+1=0 的交点为（，），直线系恒过第一象限内的定点为（，）a=2时直线x= 不过第二象限，当a2时直线方程化为：y=，此直线不过第二象限的充要条件为，解得a2总上：a2时，直线不过第二象限【点评】本题主要考查直线过定点问题，确定直线位置关系的几何要素，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题19已知关于x，y的方程c：x2+y22x4y+m=0（1）当m为何值时，方程c表示圆；（2）在（1）的条件下，若圆c与直线l：x+2y4=0相交于m、n两点，且|mn|=，求m的值【考点】直线和圆的方程的应用【专题】直线与圆【分析】（1）求出圆的标准方程形式，即可求出m的值；（2）根据直线和圆的位置关系即可得到结论【解答】解：（1）方程c可化为（x1）2+（y2）2=5m，显然只要5m0，即m5时方程c表示圆（2）因为圆c的方程为（x1）2+（y2）2=5m，其中m5，所以圆心c（1，2），半径r=，则圆心c（1，2）到直线l：x+2y4=0的距离为d=，因为|mn|=，所以|mn|=，所以5m=（）2+（）2，解得m=4【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据圆的标准方程求出圆心和半径是解决本题的关键20已知中心在坐标原点o的椭圆c经过点a（2，3），且点f（2，0）为其右焦点（1）求椭圆c的方程；（2）是否存在平行于oa的直线l，使得直线l与椭圆c有公共点，且直线oa与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【专题】计算题【分析】（1）先设出椭圆c的标准方程，进而根据焦点和椭圆的定义求得c和a，进而求得b，则椭圆的方程可得（2）先假设直线存在，设出直线方程与椭圆方程联立消去y，进而根据判别式大于0求得t的范围，进而根据直线oa与l的距离求得t，最后验证t不符合题意，则结论可得【解答】解：（1）依题意，可设椭圆c的方程为（a0，b0），且可知左焦点为f（2，0），从而有，解得c=2，a=4，又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆c的方程为（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，由得3x2+3tx+t212=0，因为直线l与椭圆有公共点，所以有=（3t）243（t212）0，解得4t4，另一方面，由直线oa与l的距离4=，从而t=2，由于24，4，所以符合题意的直线l不存在【点评】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想21已知椭圆+=1和双曲线=1有公共的焦点（1）求双曲线的渐近线方程；（2）直线l过右焦点且垂直于x轴，若直线l与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为，求双曲线的方