河北省唐山市高三数学上学期期末考试试题 文（解析版）新人教A版.doc

河北省唐山市2013届高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求1（5分）复数=（）abcidi考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：把要求的式子的分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简可得结果解答：解：复数=i，故选c点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题2（5分）函数的零点个数是（）a0b1c2d3考点：根的存在性及根的个数判断专题：计算题分析：先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f（x）为单调增函数，而f（0）0，f（1）0，由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点解答：解：函数f（x）的定义域为r，y=在定义域上为增函数，y=在定义域上是减函数，函数的零点，就是上面两个函数的图象的交点，而f（0）=10，f（1）=0故函数的零点个数为1个故选b点评：本题主要考查了函数零点的判断方法，零点存在性定理的意义和运用，函数单调性的判断和意义，属基础题3（5分）下列函数中，满足f（x2）=f（x）2的是（）af（x）=lnxbf（x）=|x+1|cf（x）=x3df（x）=ex考点：函数解析式的求解及常用方法专题：函数的性质及应用分析：利用指数的运算性质及对数的运算性质，分别求出f（x2）与f（x）2，比照后，可得答案解答：解：若f（x）=lnx，则f（x2）=lnx2=2lnx，f（x）2=（lnx）2，不满足f（x2）=f（x）2，若f（x）=|x+1|，则f（x2）=|x2+1|，f（x）2=|x+1|2=x2+2x+1，不满足f（x2）=f（x）2，若f（x）=x3，则f（x2）=（x2）3=x6，f（x）2=（x3）2=x6，满足f（x2）=f（x）2，若f（x）=ex，则f（x2）=，f（x）2=（ex）2=e2x，不满足f（x2）=f（x）2，故选c点评：本题考查的知识点函数解析式的求解，熟练掌握指数的运算性质及对数的运算性质，分别求出f（x2）与f（x）2，是解答的关键4（5分）执行如图中的程序框图，输出的结果为（）a15b16c64d65考点：程序框图分析：n=1，a=1，满足条件n4，执行循环体，依此类推，当n=5，不满足条件n4，退出循环体，从而输出此时的a即可解答：解：n=1，a=1，满足条件n4，执行循环体；a=11+1=2，n=1+1=2，满足条件n4，执行循环体；a=22+1=5，n=2+1=3，满足条件n4，执行循环体；a=35+1=16，n=3+1=4，满足条件n4，执行循环体；a=416+1=65，n=4+1=5，不满足条件n4，退出循环体，输出a为：65故选d点评：本题主要考查了直到型循环结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，处理的步骤一般为：分析流程图，从流程图中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型解模5（5分）椭圆的左焦点为f，右顶点为a，以fa为直径的圆经过椭圆的上顶点，则椭圆的离心率为（）abcd考点：椭圆的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出圆的圆心与椭圆的上顶点的距离等于圆的半径，然后求出椭圆的离心率即可解答：解：由题意可知圆的圆心坐标为（，0），椭圆的上顶点（0，b），所以（）2+b2=（）2，即b2=ac，又b2=a2c2，所以a2c2ac=0，即e2+e1=0，解得e=，故选b点评：本题考查椭圆的基本性质的应用，椭圆的离心率的求法，圆与椭圆的位置关系，考查计算能力6（5分）（2013烟台一模）一个三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的体积为（）abcd考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积解答：解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；两两垂直的三条棱长分别为：1，2，1，所以棱锥的体积为：=故选a点评：本题考查三视图，空间想象能力，计算能力，是基础题7（5分）等比数列an中，a1+a3=17，a2+a4=68，则a2a3=（）a32b256c128d64考点：等比数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：两式相除可得公比，代入已知可得首项a1，进而可得a2a3，计算可得答案解答：解：a1+a3=17，a2+a4=68，数列的公比q=4，a1+a3=a1（1+42）=17，解得a1=1，故a2a3=442=64故选d点评：本题考查等比数列的通项公式，属基础题8（5分）已知函数f（x）=x2+mx+1，若命题“x00，f（x0）0”为真，则m的取值范围是（）a（，2b2，+）c（，2）d（2，+）考点：特称命题；命题的否定专题：不等式的解法及应用分析：根据“命题“x00，f（x0）0”为真”，不等式对应的是二次函数，利用二次的图象与性质加以解决即可解答：解：因为函数f（x）=x2+mx+1的图象过点（0，1），若命题“x00，f（x0）0”为真，则函数f（x）=x2+mx+1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个交点，=m240，且0，即m2，则m的取值范围是：（，2）故选c点评：本题考查特称命题、二次不等式恒成立，解决此类问题要结合二次函数的图象处理9（5分）（2013金华模拟）abc中，点p满足，则abc一定是（）a直角三角形b等腰三角形c等边三角形d钝角三角形考点：三角形的形状判断分析：设d是bc中点，由可得点p在三角形abc的中线ad所在直线上再由，可得，从而得到三角形abc的边bc上的中线与高线重合，可得三角形abc是等腰三角形解答：解：，设d是bc中点，则 ，故点p在三角形abc的中线ad所在直线上 ，=0，即 ，即即 apbc，故三角形abc的边bc上的中线与高线重合，所以，三角形abc是等腰三角形，其中ab=ac，故选b点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量垂直的条件，等腰三角形的判定，属于中档题10（5分）函数的一段图象是（）abcd考点：函数的图象专题：函数的性质及应用分析：令函数的函数值为0，易得函数有唯一零点在区间（1，0）上，即函数图象与x轴有且只有一个交点，且必在区间（1，0），进而得到答案解答：解：令函数=0，则ex+x=0令f（x）=ex+x是一个增函数又f（1）=10，f（0）=10函数有唯一零点在区间（1，0）上故函数图象与x轴有且只有一个交点，且必在区间（1，0）又当x0时，函数0故选b点评：本题考查的知识点是函数的图象，其中分析函数零点的位置，是解答的关键11（5分）四面体abcd的四个顶点在同一球面上，ab=bc=cd=da=3，ac=，bd=，则该球的表面积为（）a14b15c16d18考点：球的体积和表面积专题：空间位置关系与距离分析：取bd中点f，ac中点e，由等腰三角形三线合一，及线面垂直的判定定理，可得bd面afc，及ac面bed由韦达定理可得be=de=，ef=，结合ef=+，可得球的半径r，进而得到球的表面积解答：解：如左图，取bd中点f，ac中点e由ab=bc=cd=da=3，可得cfbd，afbd，又cfaf=f，cf，af平面afc，故bd面afc同理ac面bed故球心o必位于两垂直平面面afc和面bed的交线ef上又ac=，bd=故be=de=，ef=设外接球半径为r，如右图（aeo与bfo不在同一平面）利用ef=+解得r=故该球的表面积s=4r2=14故选a点评：本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出球心o必位于两垂直平面面afc和面bed的交线ef上，是解答的关键12（5分）已如点m（1，0）及双曲线的右支上两动点a，b，当amb最大时，它的余弦值为（）abcd考点：双曲线的简单性质；余弦定理专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据题意，当直线ma、mb分别与双曲线相切于点a、b时，可得amb取得最大值因此设直线am方程为y=k（x1），与双曲线联解并利用根的判别式，解出k=设直线am倾斜角为，得amb=2且tan=，最后利用二倍角的三角函数公式，即可算出amb达到最大值时amb的余弦值解答：解：根据题意，当直线ma与双曲线相切于点a，直线mb与双曲线相切于点b时，amb取得最大值设直线am方程为y=k（x1），与双曲线消去y，得（k2）x2+2k2xk21=0直线ma与双曲线相切于点a，（2k2）24（k2）（k21）=0，解之得k=（舍负）因此，直线am方程为y=（x1），同理直线bm方程为y=（x1），设直线am倾斜角为，得tan=，且amb=2cos2=，即为amb最大时的余弦值故选：d点评：本题给出双曲线方程和点m（1，0），求双曲线右支上两点a、b对m的最大张角的余弦之值，着重考查了双曲线的简单几何性质和直线与双曲线的位置关系等知识，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上13（5分）一组样本数据的茎叶图如图所示：则这组数据的平均数等于25考点：茎叶图专题：概率与统计分析：根据茎叶图得出数据，再运用求平均数公式即可求出，这组数据的平均数解答：解：根据茎叶图得出数据：14，21，22，23，23，24，36，37平均数=（14+21+22+23+23+24+36+37）8=25故答案为：25点评：本题考查的是样本平均数的求法熟记公式是解决本题的关键，为简单题14（5分）已知=考点：二倍角的余弦；两角和与差的正切函数专题：三角函数的求值分析：由条件利用两角和的正切公式求得 tan=，利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系化简要求的式子为，运算求得结果解答：解：=，tan=，cos2=，故答案为 点评：本题主要考查两角和的正切公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题15（5分）设x，y满足的最大值为考点：简单线性规划专题：计算题；不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的abc及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=，y=时，z=2x+y取得最大值解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的abc及其内部，其中a（，），b（1，3），c（1，1）设z=f（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，当l经过点a时，目标函数z达到最大值z最大值=f（，）=故答案为：点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=2x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题16（5分）数列的前80项的和等于70考点：数列递推式；数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：根据数列的函数特性可知，对于函数y=f（x），由，分析出函数的周期，由此推出数列的项以4为周期周期出现，求出前4项的和，则数列的前80项的和可求解答：解：对于函数y=f（x），由，则，f（x）是周期为4的周期函数，由，则数列an的项以4为周期周期出现，由a1=2，则，s80=20（a1+a2+a3+a4）=故答案为70点评：本题考查了数列的递推式，考查了数列的函数特性，考查了数列的和，解答此题的关键是分析出数列的项以4为周期周期出现，此题是中档题三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，且（i）求角c的大小；（ii）求的最大值考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数专题：解三角形分析：（）化简已知条件可得sin（a+）=sinb，再由大边对大角可得a+b=，从而求得 c的值（）由正弦定理及（）得=2sin（a+），由此可得 的最大值解答：解：（）sina+cosa=2sinb，即 2sin（a+）=2sinb，则 sin（a+）=sinb（3分）因为0a，b，又ab，进而ab，所以a+=b，故a+b=，故 c=（6分）（）由正弦定理及（）得=sina+sin（a+）=sina+cosa=2sin（a+）（10分）故当a=时，取最大值2（12分）点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦定理，正弦函数的定义域和值域，属于中档题18（12分）从某节能灯生产线上随机抽取100件产品进行寿命试验，按连续使用时间（单位：天）共分5组，得到频率分布直方图如图（i）以分组的中点数据作为平均数据，用样本估计该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命；（ii）为了分析使用寿命差异较大的产品，从使用寿命低于200天和高于350天的产品中用分层抽样的方法共抽取6件，求样品a被抽到的概率考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图；众数、中位数、平均数专题：概率与统计分析：（i）由平均数的生意可得1750.05+2250.15+2750.55+3250.15+3750.1，计算即可；（ii）易得应抽取2个，即记使用寿命低于200天的5件产品a，b，c，d，e列举可得总的基本事件数为10，而符合题意的共有4个，由概率公式可得答案解答：解：（）由题意可得样本数据的平均数为：1750.05+2250.15+2750.55+3250.15+3750.1=280因此，该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命为280天（5分）（）使用寿命低于200天的一组中应抽取6=2（7分）记使用寿命低于200天的5件产品a，b，c，d，e从中选出2件的不同情形为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种可能其中某产品a被抽到的概率为p=（12分）点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及平均数的定义，属基础题19（12分）如图，三棱柱abca1b1c1的侧面aa1b1b为正方形，侧面bb1c1c为菱形，cbb1=60，abb1c（i）求证：平面aa1b1b平面bb1c1c；（ii）若ab=2，求三棱柱abca1b1c1体积考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积专题：空间位置关系与距离分析：（i）证ab垂直于平面内的两条相交直线，再由线面垂直面面垂直；（ii）先求得三棱锥b1abc的体积，再利用棱柱是由三个体积相等的三棱锥组合而成来求解解答：解：（）证明：由侧面aa1b1b为正方形，知abbb1又abb1c，bb1b1c=b1，ab平面bb1c1c，又ab平面aa1b1b，平面aa1b1bbb1c1c（）由题意，cb=cb1，设o是bb1的中点，连接co，则cobb1由（）知，co平面ab1b1a，且co=bc=ab=连接ab1，则=co=ab2co=，v三棱柱=2点评：本题考查面面垂直的判定及空间几何体的体积20（12分）设圆f以抛物线p：y2=4x的焦点f为圆心，且与抛物线p有且只有一个公共点（i）求圆f的方程；（）过点m （1，0）作圆f的两条切线与抛物线p分别交于点a，b和c，d，求经过a，b，c，d四点的圆e的方程考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系；抛物线的标准方程专题：计算题；直线与圆分析：（i）设出圆f的方程，利用圆与抛物线p有且只有一个公共点，求出圆的半径，即可得到圆的方程；（）设过点m（1，0）与圆f相切的斜率为正的一条切线的切点为t，连接tf，推出tmf=30，通过直线mt与抛物线的两个交点为a（x1，y1）、b（x2，y2），利用韦达定理求解|ab|，点e到直线ab的距离，求出圆e的半径r，即可求出圆e的方程解答：解：（）设圆f的方程为（x1）2+y2=r2（r0）将y2=4x代入圆方程，得（x+1）2=r2，所以x=1r（舍去），或x=1+r圆与抛物线有且只有一个公共点，当且仅当1+r=0，即r=1故所求圆f的方程为：（x1）2+y2=1（4分） （）设过点m（1，0）与圆f相切的斜率为正的一条切线的切点为t连接tf，则tfmf，且tf=1，mf=2，所以tmf=30（6分）直线mt的方程为x=y1，与y2=4x联立，得y24y+4=0记直线与抛物线的两个交点为a（x1，y1）、b（x2，y2），则y1+y2=4，y1y2=4，x1+x2=（y1+y2）2=10（8分）从而ab的垂直平分线的方程为y2=（x5）令y=0得，x=7由圆与抛物线的对称性可知圆e的圆心为e（7，0）（10分）|ab|=8又点e到直线ab的距离d=4，所以圆e的半径r=4因此圆e的方程为（x7）2+y2=48（12分）点评：本题考查圆的方程的求法，圆与抛物线的位置关系，点到直线的距离公式的应用，考查分析问题解决问题的能力21（12分）已知函数f（x）=a（x21）xlnx（i）当的单调区间；（）当x1时，f（x）0，求a的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：（）把a的值代入函数解析式，然后求函数的导函数，求出导函数的零点，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号求出原函数的单调区间；（）求出原函数的导函数，根据a的不同取值范围对导函数的符号加以判断，只有当a时，f（x）=（2a1）x+（xlnx1）0，f（x）是增函数，此时f（x）f（1）=0，不等式恒成立对于0a和a0都不能满足当x1时，f（x）0恒成立，从而求得a的范围解答：解：（）当时，所以f（x）=xlnx1函数f（x）的定义域为（0，+）设g（x）=xlnx1，则g（x）=1令g（x）=0，得x=1当x（0，1）时，g（x）0，函数g（x）是减函数；当x（1，+）时，g（x）0，函数g（x）是增函数函数g（x）的最小值为g（1）=0所以g（x）=f（x）0（仅当x=1时取等号），f（x）在（0，+）是增函数（）由函数f（x）=a（x21）xlnx，则f（x）=2axlnx1（1）若a，则由（）知，f（x）=（2a1）x+（xlnx1）0，f（x）是增函数，此时f（x）f（1）=0，不等式恒成立（2）若0a，设h（x）=2axlnx1，h（x）=2a当x（1，）时，h（x）0，函数h（x）是减函数则f（x）=h（x）h（1）=2a10，f（x）在（1，）是减函数这时f（x）f（1）=0，不等式不成立（3）若a0时，则当x（1，+）时，f（x）0，f（x）在（1，+）是减函数，此时f（x）f（1）=0，不等式不成立综上所述，a的取值范围是，+）点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减考查了利用导数研究含有参数的不等式恒成立问题，是中档题22（10分）选修41：几何证明选讲如图，o是abc的外接圆，d是的中点，bd交ac于点e（i）求证：cd2de2=aeec；（ii）若cd的长等于o的半径，求acd的大小考点：相似三角形的判定；圆周角定理专题：证明题分析：（i）由d是的中点，可得abd=cbd，根据圆周角定理，可得cbd=ecd，进而可得bcdced，根据相似三角形性质可得cd2=dedb，进而得到cd2de2=aeec（ii）连接oc，od，由已知可知odc为等边三角形，进而根据圆心角定理得到acd的大小解答：解：（）abd=cbd，abd=ecd，cbd=ecd，又cdb=edc，bcdced，=，cd2=dedb，dedb=de（de+be）=de2+debe，debe=aeec，cd2de2=aeec（6分）（）连接oc，od，由已知可知odc为等边三角形，cod=60cbd=cod=30，acd=cbd=30（10分）点评：本题考查的知识点是相似三角形的判定和性质，圆周角定理，圆心角定理，其中（1）的关键是证明bcdced，（2）的关键是求出odc为等边三角形23（10分）选修44：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点d为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线cl的极坐标方程为=2c