5位黑洞数的理论探索.doc

关于5位黑洞数的理论探索在重排求差操作中，凡对经典4位黑洞数感兴趣的人莫不会联想到5位黑洞数。实践中已经发现，5位数不像4位数，它不存在单一的黑洞数，而是只存在由几个数构成的循环黑洞数。随意用几个5位数作重排求差操作找出某个循环黑洞数也许并不困难，但除非用穷举法（包括计算机编程）计算所有99990个5位数，否则仍需要用数学方法论证该循环黑洞数是否唯一和应用条件。本文就是对这个问题所作的探讨。在下面的叙述中，最大数采用大写字母ABCDE的形式表示，最大数减最小数的差采用小写字母mnspk的形式表示。1、基本算式和数间关系按最大数ABCDE的中间3个数字是否相同可将所有5位数的最大数分为2种类型。类型1：BCD不同时相等将最大数减最小数求差的算式写成竖式，能清楚看到各数构成数字之间的关系 ABCDE- EDCBA mn s p km = A-En = B-D-1s = 9p = D-B+9k = E-A+10 m+k = 10 n+p = 8有意思的是，这时的差只是在相似类型的4位数的差数中间插进了“9”。因为相似类型的4位数的差数只有45个，所以本类型的5位数的差数也只有45个，它们都是在4位数差数中间插进9的结果。为便于查阅，现将本类型的所有45个差数罗列如下： 10989 20985 21978 30987 31977 32967 40986 41976 42966 43956 50985 51975 52965 53955 54945 60984 61974 62964 63954 64944 65934 70983 71973 72963 73953 74943 75933 76923 80982 81972 82962 83952 84942 85932 86922 87912 90981 91971 92961 93951 94941 95931 96921 97911 98901类型2：B = C = D，或最大数具有ABBBC 或 AAAAB、ABBBB的形式 ABBBC- CBBBA mn s p k同样将最大数减最小数求差的算式写成竖式，也能清楚看到各数构成数字之间的关系 m = A-C-1 n = s = p = 9 k = C-A+10 m+k = 9同样地，这时的差只是在相似类型的4位数的差数中间插进了“9”。因为相似类型的4位数的差数只有9个，所以本类型的差数也只有9个，它们是 09999 19998 29997 39996 49995 59994 69993 79992 89991可见无论哪种类型，或者说任何一个5位数重排求差的结果都是在4位数的差数中间插进“9”的那些数，一共有54个。2、由差mnspk逆推最大数ABCDE所谓逆推就是重排求差的逆运算，即由差数mnspk反求相减时的最大数ABCDE。由于5位数差数与4位数差数具有承袭关系，故这里的逆推条件与4位数相似。类型1 的逆推：差数mnspk必须满足 m n m+k = 10 n+p = 8 s = 9由基本关系式，可得逆推本类型ABCDE的计算公式： A = m+ （=0、1、29-m） B = n+1+ （=、+1、+2+m-n-1） C=、+1、+2，+n+1 D = E =以mnspk=85932为例，此时m=8，n=5， 的取值规则是，先使从0开始一直取到9-m时为止（A、E由此而定）；对应每个值，可能可取多个值，即从的取值开始一直取到使B=A时为止（B、C由此而定）。将算式和 的取值列成数表可以看得更清楚。注意，对应每组ABDE，C在BD之间（BCD，不同时取等号）可有一系列取值 A = m+=8+= 8 8 8 9 9 9 B= n+1+=+6 = 6 7 8 7 8 9 C = 、+1、+2，+6 D = 0 1 2 1 2 3 E = 0 0 0 1 1 1由于中间多了数字C，所以5位数的逆推结果要比4位数多，可有（10-m）（m-n）（n+2）个，本例共有42个。可将逆推结果写成正规数的形式 86000 86100 96200 86300 86400 86500 86600 87110 87210 87310 87410 87510 87610 87710 88220 88320 88420 88520 88620 88720 88820 97111 97211 97311 97411 97511 97611 97711 98221 98321 98421 98521 98621 98721 98821 99331 98431 98531 98631 98731 98831 99931它们都是最大数的形式，用它们减相应的最小数的结果都是85932，每个数实际都代表了一组构成数字相同、仅排列次序不同的数，所以能用重排求差得到85932的一般5位数的个数远远超过42个。 由逆推公式可以看出，该公式与4位数的逆推公式基本相同，只是在4位数逆推结果中间插进了一个数字，此数字最大可与B相同，最小可与D相同。仍以差数85932为例，见下图： 4位数 5位数 差数 8532 85932在4位数中间插入9得5位数86600865008640086300862008610086000 逆推结果 8600 86 00在4位数中间插入6 0得5位数 （以8600为例） （其它仿此）类型2的逆推：差数mnspk必须满足 m 9 m+k = 9 n = s = p = 9这时逆推ABBBC的计算公式为 A = m+1+ （= 0、1、2 8-m） B = （ = 、+1、+2， +m+1） C = 以mnspk=79992为例，此时m=7，可取0和1两个值，由此可确定A和C；对应每个，取值（也就是B的值）可以是A和C间的所有值，写成式子和数表： A = m+1+ = 8+ = 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 B = 可取08 可取19 C = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1数字太多，可有（9-m）（m+2）2 =162个，这里只写出几个，如80000，81110，82220， 88880，91111，92221，93331，99991。与类型1的情况一样，此时的差数和逆推结果也是在相应4位数中间插入了一个数。见下图 4位数 5位数在4位数中间插入9得5位数 差数 7992 79992 逆推结果 8000 80000在4位数中间插入相同的数得5位数（以8000为例） （其它仿此） 上述分析结果说明，可以在4位数逆推结果的基础上，通过插入适当数字的办法得到5位数的逆推结果，这将使处理5位数问题方便不少。3、不存在单一黑洞数的证明假如存在某个单一的5位黑洞数，那么将它重排后的最大数ABCDE减最小数EDCBA所得的差mnspk应该仍是黑洞数，即mnspk与ABCDE的构成数字完全相同，而这样相减所得的差只能是上述54个差数中的一个，但用所有54个差数重排求差后，没有任何一个差数的构成数字与ABCDE相同，这就证明了5位数没有单一的黑洞数。但5位数却存在循环黑洞数。4、循环黑洞数任选一个构成数字不完全相同的5位数（其它位数的数也一样），反复重排求差M+N次后（M1,N1），如果所得差数与第M次求差结果相同，那么第M次的求差结果就进入了循环，循环黑洞数由M及以后的N次求差结果构成，共有N+1个循环黑洞数，可称为N+1次循环。例如，进行了5次重排求差的结果与第3次的结果相同（M=3，N=2），那么循环黑洞数就由第3次和后面两次（即第4、5两次）的结果构成，形成一个3次循环。构成数字不完全相同的5位数共有99990个，是否要将它们都反复作重排求差操作才能找出所有的循环黑洞数呢？当然不必要（即使用计算机编程也不必要）。实际上，由于用任意5位数操作所得的差只有54个可能，所以只需对这54个差数作重排求差就行了。不过，这里并不打算这么做，而是尝试以这54个差数为出发点，仍使用逆推方法解决问题。5、循环黑洞数的逆推由于循环黑洞数是在反复求差过程中出现的，而所得的差中均含有“9”这个数字，所以在逆推结果中，只有那些含有9的逆推结果才有可能继续逆推，而它们是否能继续逆推，还要看它们的构成数字是否能在重排后满足作为差数的条件，以差数85932为例，它是4位数8532中间插入了9的结果，那么逆推也可利用4位数，用插入适当数的办法得到相应结果，8532逆推含9的结果有3个：9711、9821、9931，这里只列出9821的情况，见下图： 4位数 5位数在4位数中间插入9得5位数在4位数中间插入82得5位数 差数 8532 8593298821987219862198521984219832198221 逆推结果 9821 98 21观察所有逆推结果，看看有没有打散重组后能符合差数条件的数，发现98721可重组成87912符合条件，那么下次就可用它再次逆推，总而言之，只要遇到符合条件的数就逆推，一直做下去，直到找不到符合条件的数为止。为使观察更容易，可以不管那个“9”字，只要剩下的4个数字能重排成符合4位数的逆推条件，然后再在中间插入9就是可继续逆推的数了。方法很简单，熟练了可以做得很快，但要注意不能有遗漏，这是最后能否得到正确结论的关键。检查有无遗漏的办法是数数逆推出的所有符合条件的数是否是54个，如果不足54个，那就是有遗漏了。这里将所有逆推结果都表示在后面的步进图中。仿4位数的做法，这里将循环数本身称0步数，只作1次重排求差操作就可进入循环的数称1步数，作2次操作可进入循环的数称2步数，等等。由该图可以看到，5位数共有3个循环黑洞，其中2个4次循环，1个2次循环，它们互相独立，这意味着所有构成数字不全相同的5位数被划分成了3部分，在重排求差过程中，各部分分别向着3个循环步进。但进入循环3的数很少，绝大多数的数都会进入循环1和2。图中还显示，进入循环1和2时，最多的步数是6步，进入循环3时，最多只要2步。但是，如果不看此图，用任意一个5位数操作，如果进入循环1和2，最多要操作10次才能发现进入了循环，这是因为只有循环一圈之后，这个循环才会被看到。 附图 五位差数步进图7296376923329673098743956739538494294941529658296263954循环16197475933709839692165934419768692254945509859296140986649