浙江省杭州十四中高考数学5月模拟试卷 理（含解析）.doc

2015年浙江省杭州十四中高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知ar，则“a2”是“|x2|x|a有解”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件2若定义在r上的函数f（x）满足：对任意x1，x2r有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）af（x）为奇函数bf（x）为偶函数cf（x）+1为奇函数df（x）+1为偶函数3设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）a12b8c4d24如图所示，边长为1的正方形abcd的顶点a，d分别在边长为2的正方形abcd的边ab和ad上移动，则的最大值是（）a2b1+cd45若关于x的不等式3|xa|x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（）abc3a3d6若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积比为1：2的两部分，则k的一个值为（）abc1d7已知点p为双曲线（a0，b0）的右支上一点，f1、f2为双曲线的左、右焦点，使 （o为坐标原点），且|=|，则双曲线离心率为（）abcd8已知函数，若方程f（x）=x+a在区间2，4内有3个不等实根，则实数a的取值范围是（）aa|2a0ba|2a0ca|2a0或1a2da|2a0或a=1二、填空题：本大题共7小题，共36分9设全集u=r，集合a=x|x23x40，b=x|x50，则ab=；ab=；ua=10已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a9构成等比数列bn的前3项，则=；又若d=2，则数列bn的前n项的和sn=11设函数f（x）=，则f（f（2）=；满足不等式f（x）4的x的取值范围是12若3sin+cos=，则tan的值为；的值为13如图，在等腰三角形abc中，已知ab=ac=1，a=120，e，f分别是边ab，ac上的点，且，其中m，n（0，1）若ef，bc的中点分别为m，n，且m+4n=1，则的最小值为14已知双曲线=1（a0，b0）的渐近线与圆x2+y24x+1=0有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是15在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，点p是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），若满足|pb|+|pd1|=m的点p的个数为6，则m的取值范围是三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知（）求f（x）的最大值及取得最大值时x的值；（）在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若f（c）=1，sina=2sinb，求abc的面积17如图，已知长方形abcd中，ab=2，ad=1，m为dc的中点将adm沿am折起，使得平面adm平面abcm（）求证adbm；（）点e是线段db上的一动点，当二面角eamd大小为时，试确定点e的位置18已知正项数列an的前n项和为sn，且sn=（nn*）（）求数列an的通项公式；（）求证：（nn*）19设点p为圆o：x2+y2=4上的一动点，点q为点p在x轴上的射影，动点m满足： =（1）求动点m的轨迹e的方程；（2）过点f（，0）作直线l交圆o于a、b两点，交（1）中的轨迹e于点c、d两点，问：是否存在这样的直线l，使得=成立？若存在，求出所有的直线l的方程；若不存在，请说明理由20（）定义在r上的奇函数f（x），当x0时，f（x）=x2+2x另一个函数y=g（x）的定义域为a，b，值域为，其中ab，a，b0在xa，b上，g（x）=f（x）求a，b（）b，cr，二次函数f（x）=x2+bx+c在（0，1）上与x轴有两个不同的交点，求c2+（1+b）c的取值范围2015年浙江省杭州十四中高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知ar，则“a2”是“|x2|x|a有解”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】不等式的解法及应用【分析】先求出|x2|x|a有解的a的取值范围：a2，然后判断a2和a2的关系即可【解答】解：|x2|x|x2x|=2，若|x2|x|a有解，只要|x2|x|的最大值大于a，即2a，即2；a2不一定得到a2，即“a2“不是“|x2|x|a“的充分条件；而a2一定能得到a2，“a2“是“|x2|x|a“的必要条件；“a2“是“|x2|x|a“的必要不充分条件故选b【点评】考查绝对值不等式的一个性质：|a|b|ab|，以及充分条件，必要条件，必要不充分条件的概念2若定义在r上的函数f（x）满足：对任意x1，x2r有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，则下列说法一定正确的是（）af（x）为奇函数bf（x）为偶函数cf（x）+1为奇函数df（x）+1为偶函数【考点】函数奇偶性的判断【专题】计算题【分析】对任意x1，x2r有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2r有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可【解答】解：对任意x1，x2r有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，令x1=x2=0，得f（0）=1令x1=x，x2=x，得f（0）=f（x）+f（x）+1，f（x）+1=f（x）1=f（x）+1，f（x）+1为奇函数故选c【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答3设某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）a12b8c4d2【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是高为2的三棱锥，结合图中数据求出该三棱锥的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是高为2的三棱锥，且底面三角形的底边长为4，高为3；所以该几何体的体积为v三棱锥=（43）2=4故选：c【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目4如图所示，边长为1的正方形abcd的顶点a，d分别在边长为2的正方形abcd的边ab和ad上移动，则的最大值是（）a2b1+cd4【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】令aad=，由边长为1的正方形abcd的顶点a、d分别在x轴、y轴正半轴上，可得出b，c的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的数量积，由二倍角公式和正弦函数的值域，即可得到最大值【解答】解：如图以a为坐标原点，ab所在直线为x轴，建立直角坐标系，令aad=，由于ad=1，故aa=cos，ad=sin，如图bax=，ab=1，故xb=cos+cos（）=cos+sin，yb=sin（）=cos，故=（cos+sin，cos）同理可求得c（sin，cos+sin），即=（sin，cos+sin），=（cos+sin，cos）（sin，cos+sin）=1+sin2，当=时，的最大值是的最大值是2故选：a【点评】本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标5若关于x的不等式3|xa|x2至少有一个负数解，则实数a的取值范围是（）abc3a3d【考点】绝对值不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】由题意可得不等式|xa|3x2，且3x20至少有一个负数解，在同一个坐标系中画出y=3x2 和函数y=|xa|的图象当函数y=|xa|的图象的左支经过点（0，3）时，求得a的值；当函数y=|xa|的图象的右支和y=3x2 的图象相切时，求得a的值，从而得到要求的a的范围【解答】解：关于x的不等式3|xa|x2，即|xa|3x2，且3x20在同一个坐标系中画出y=3x2 和函数y=|xa|的图象，当函数y=|xa|的图象的左支经过点（0，3）时，求得a=3；当函数y=|xa|的图象的右支和y=3x2 的图象相切时，方程组 有唯一解，即 x2+xa2=0有唯一解，故=14（a3）=0，求得a=，故要求的a的范围为（，3），故选：d【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了数形结合、转化的数学思想，属于中档题6若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积比为1：2的两部分，则k的一个值为（）abc1d【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出阴影部分的面积，根据面积比是1：2，即可确定k的值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则a（0，4），b（0，），由，解得c（1，1），则三角形abc的面积s=（4）1=，平面区域被直线y=kx+分成面积比是1：2的两部分，面积较小的面积为，直线y=kx+过定点b（0，），若abd的面积为，则s=，解得xd=，由，解得d（，3），此时bd的斜率k=若abe的面积为，则s=，xe=，由，解得e（，2），此时be的斜率k=1；故k=5或k=1；故选：c【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据三角形的面积公式求出满足条件的直线的位置关系是解决本题的关键7已知点p为双曲线（a0，b0）的右支上一点，f1、f2为双曲线的左、右焦点，使 （o为坐标原点），且|=|，则双曲线离心率为（）abcd【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算【专题】综合题；压轴题【分析】先由：，判断出f1pf2=90，再由|=|，解，求出c，由此得到双曲线离心率【解答】解：（o为坐标原点），|=|=|=c，f1pf2=90，设|pf2|=x，则|pf1|=，解得，=（）a，故选d【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意平面向量数量积的运算8已知函数，若方程f（x）=x+a在区间2，4内有3个不等实根，则实数a的取值范围是（）aa|2a0ba|2a0ca|2a0或1a2da|2a0或a=1【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】函数的性质及应用【分析】作出函数y=f（x）和y=x+a的图象利用两个图象的交点个数问题确定a的取值范围【解答】解：若0x2，则2x20，f（x）=2f（x2）=2（1|x2+1|）=22|x1|，0x2若2x4，则0x22，f（x）=2f（x2）=2（22|x21|）=44|x3|，2x4f（1）=2，f（2）=0，f（3）=4设y=f（x）和y=x+a，则方程f（x）=x+a在区间2，4内有3个不等实根，、等价为函数y=f（x）和y=x+a在区间2，4内有3个不同的零点作出函数f（x）和y=x+a的图象，如图：当直线经过点a（2，0）时，两个图象有2个交点，此时直线y=x+a为y=x2，当直线经过点o（0，0）时，两个图象有4个交点，此时直线y=x+a为y=x，当直线经过点b（3，4）和c（1，2）时，两个图象有3个交点，此时直线y=x+a为y=x+1，要使方程f（x）=x+a在区间2，4内有3个不等实根，则a=1或2a0故选：d【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，将方程转化为函数，利用数形结合是解决此类问题的基本方法二、填空题：本大题共7小题，共36分9设全集u=r，集合a=x|x23x40，b=x|x50，则ab=4，5）；ab=r；ua=（1，4）【考点】补集及其运算；并集及其运算；交集及其运算【专题】集合【分析】分别求出a与b中不等式的解集确定出a与b，找出a与b的交集，并集，求出a的补集即可【解答】解：由a中不等式变形得：（x4）（x+1）0，解得：x1或x4，即a=（，14，+），由b中不等式解得：x5，即b=（，5），则ab=4，5），ab=r，ua=（1，4），故答案为：4，5）；r；（1，4）【点评】此题考查了补集及其运算，并集及其运算，以及交集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键10已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a9构成等比数列bn的前3项，则=；又若d=2，则数列bn的前n项的和sn=3n1【考点】等差数列的前n项和【专题】等差数列与等比数列【分析】由题意可得（a1+2d）2=a1（a1+8d），可得a1=d，进而an=nd，由等差数列的通项公式代入化简可得的值；可得等比数列bn的首项为2，公比为3，代入求和公式计算可得【解答】解：由题意a1，a3，a9构成等比数列bn的前3项，a32=a1a9，（a1+2d）2=a1（a1+8d），a1=d，an=nd，=；当d=2时，a1=2，a3=6，a9=18，等比数列bn的首项为2，公比为3，数列bn的前n项的和sn=3n1故答案为：；3n1【点评】本题考查等差数列的求和公式，涉及等比数列的求和公式，属中档题11设函数f（x）=，则f（f（2）=2；满足不等式f（x）4的x的取值范围是x|x1【考点】其他不等式的解法；函数的值【专题】不等式的解法及应用【分析】根据函数的解析式，先求得f（2）的值，可得f（f（2）的值 把不等式f（x）4，转化为与之等价的2个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求【解答】解：根据函数f（x）=，可得f（2）=23=8，f（f（2）=f（8）=1log28=13=2不等式f（x）4，等价于，或解求得1x1；解求得x1，故不等式f（x）4的解集为x|x1，故答案为：2；x|x1【点评】本题主要考查分段函数的应用，求函数的值，指数、对数不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题12若3sin+cos=，则tan的值为3；的值为【考点】同角三角函数基本关系的运用【专题】三角函数的求值【分析】由已知等式，结合sin2+cos2=1，求出sin与cos的值，进而求出tan的值；原式利用同角三角函数间基本关系变形，把tan的值代入计算即可求出值【解答】解：由3sin+cos=，得到cos=3sin，代入sin2+cos2=1得：sin2+（3sin）2=1，这里得：10sin26sin+9=0，即（sin3）2=0，解得：sin=，cos=，则tan=3； =，故答案为：3；【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键13如图，在等腰三角形abc中，已知ab=ac=1，a=120，e，f分别是边ab，ac上的点，且，其中m，n（0，1）若ef，bc的中点分别为m，n，且m+4n=1，则的最小值为【考点】向量在几何中的应用【专题】计算题；平面向量及应用【分析】由等腰abc中，ab=ac=1且a=120，算出=连接am、an，利用三角形中线的性质，得到=（）且=（+），进而得到=（1m）+（1n）将此式平方，代入题中数据化简可得=（1m）2（1m）（1n）+（1n）2，结合m+4n=1消去m，得=n2n+，结合二次函数的性质可得当n=时，的最小值为，所以的最小值为【解答】解：连接am、an，等腰三角形abc中，ab=ac=1，a=120，=|cos120=am是aef的中线，=（）=（+）同理，可得=（+），由此可得=（1m）+（1n）=（1m）+（1n）2=（1m）2+（1m）（1n）+（1n）2=（1m）2（1m）（1n）+（1n）2，m+4n=1，可得1m=4n代入上式得=（4n）24n（1n）+（1n）2=n2n+m，n（0，1），当n=时，的最小值为，此时的最小值为故答案为：【点评】本题给出含有120度等腰三角形中的向量，求向量模的最小值，着重考查了平面向量数量积公式及其运算性质和二次函数的最值求法等知识，属于中档题14已知双曲线=1（a0，b0）的渐近线与圆x2+y24x+1=0有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是（1，2【考点】双曲线的简单性质【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】求得双曲线的渐近线方程，以及圆的圆心和半径，运用直线和圆有公共点的条件：dr，再由离心率公式，即可得到所求范围【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，圆x2+y24x+1=0的圆心为（2，0），半径为，渐近线与圆x2+y24x+1=0有公共点，即有，即为4b23c2，即4c24a23c2，即为c24a2，即有e=2，又e1，则1e2故答案为：（1，2【点评】本题考查双曲线的渐近线方程和离心率的范围，考查直线和圆有公共点的条件，属于中档题15在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，点p是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），若满足|pb|+|pd1|=m的点p的个数为6，则m的取值范围是（，【考点】棱柱的结构特征【专题】空间位置关系与距离【分析】利用三角形两边之和大于第三边，以及点p的个数为6个时，短半轴长不大于，能求出m的范围【解答】解：|pa|+|pc1|=m|ac1|=，m，正方体的棱长为1正方体的面的对角线的长为，点p的个数为6，b，短半轴长b=，解得m，m的取值范围是（故答案为：（，【点评】本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题，解题时要注意空间思维能力的培养三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16已知（）求f（x）的最大值及取得最大值时x的值；（）在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若f（c）=1，sina=2sinb，求abc的面积【考点】余弦定理；诱导公式的作用；正弦函数的定义域和值域；正弦定理【专题】解三角形【分析】（）f（x）解析式利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域即可确定出f（x）的最大值及取得最大值时x的值；（）由第一问确定出的f（x）解析式，根据f（c）=1求出c的度数，再由sina=2sinb，利用正弦定理得到a=2b，利用余弦定理列出关系式，将c，cosc及a=2b代入求出a与b的值，再由sinc的值，利用三角形面积公式即可求出三角形abc的面积【解答】解：（）f（x）=sin2x+cos2x+cos2x+sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），当2x+=2k+，即x=k+，kz时，函数f（x）取得最大值2；（）由f（c）=2sin（2c+）=1，得sin（2c+）=，2c+2+，2c+=，解得c=，sina=2sinb，根据正弦定理，得a=2b，由余弦定理，有c2=a2+b22abcosc，即12=4b2+b22b2=3b2，解得：b=2，a=4，则sabc=absinc=42sin=2【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键17如图，已知长方形abcd中，ab=2，ad=1，m为dc的中点将adm沿am折起，使得平面adm平面abcm（）求证adbm；（）点e是线段db上的一动点，当二面角eamd大小为时，试确定点e的位置【考点】与二面角有关的立体几何综合题【专题】综合题；空间角【分析】（）先证明bmam，再利用平面adm平面abcm，证明bm平面adm，从而可得adbm；（）作出二面角eamd的平面角，利用二面角eamd大小为时，即可确定点e的位置【解答】（）证明：长方形abcd中，ab=2，ad=1，m为dc的中点am=bm=bmam平面adm平面abcm，平面adm平面abcm=am，bm平面abcmbm平面admad平面admadbm；（）过点e作mb的平行线交dm于f，bm平面adm，ef平面adm在平面adm中，过点f作am的垂线，垂足为h，则ehf为二面角eamd平面角，即ehf=设fm=x，则df=1x，fh=在直角fhm中，由efh=，ehf=，可得ef=fh=efmb，mb=，当e位于线段db间，且时，二面角eamd大小为【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，正确运用面面垂直的性质，掌握线面垂直的判定方法，正确作出面面角是关键18已知正项数列an的前n项和为sn，且sn=（nn*）（）求数列an的通项公式；（）求证：（nn*）【考点】数列的求和；数列递推式【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】（）由条件，将n换为n1，两式相减，再由等差数列的通项公式，即可得到所求；（）由= （n2），运用裂项相消求和，从第二项放缩，即可得证【解答】解：（）由sn=（nn*），n用n1代，可得sn1=，两式相减得an2an12=2（an+an1），由题意可得，anan1=2，a1=2，得an=2n；（）由= （n2），所以当n2时，+ +=+，又n=1时也符合，所以原不等式成立【点评】本题考查数列的通项和求和之间的关系，考查等差数列的通项公式的运用，同时考查数列不等式的证明：裂项相消求和，考查不等式的性质，属于中档题19设点p为圆o：x2+y2=4上的一动点，点q为点p在x轴上的射影，动点m满足： =（1）求动点m的轨迹e的方程；（2）过点f（，0）作直线l交圆o于a、b两点，交（1）中的轨迹e于点c、d两点，问：是否存在这样的直线l，使得=成立？若存在，求出所有的直线l的方程；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）设点m的坐标为（x，y），则由题意知点p的坐标为（x，2y），根据p在圆上求得m点轨迹方程（2）设其方程为y=k（x+），代入x2+y2=4，整理得，求出|af|，|bf|得到，再将y=k（x+）代入x2+4y2=4，整理得（1+4k2）x2+8k2x+4（3k21）=0，求出|cf|，|df|，得到，根据条件求出k值【解答】解：（1）设点m的坐标为（x，y），则由题意知点p的坐标为（x，2y）因为p在圆o：x2+y2=4，所以x2+4y2=4故所求动点m的轨迹方程为（2）当直线l垂直于x轴时，由于f（）易知|af|=|bf|=1，|cf|=|df|=，所以，不合题意当直线l与x轴不垂直时，设其方程为y=k（x+），代入x2+y2=4，整理得，1=设a（x1，y1），b（x2，y2），则所以|af|=|bf|=从而=将y=k（x+）代入x2+4y2=4，整理得（1+4k2）x2+8k2x+4（3k21）=02=设c（x3，y3）d（x4，y4），则所以|cf|=|df|=从而故综上，存在两条符合条件的直线，其方程为y=【点评】本题主要考查轨迹方程