第一部分联赛讲座基础第一讲数列问题选讲.doc

第一讲 数列问题选讲第1课时 化等比求通项符合条件（其中A、B、C、D为已知的常数且A0，）的递推数列的通项公式的求法，也就是将已知数列转化变形为新的“等比”数列后求通项的方法类型一：递推关系形如 的数列例1、 已知数列满足： ，求数列的通项公式解析：变形为：，就可以转化为一个新的等比数列类型二：递推关系形如 的数列例2、已知数列满足： ，求数列的通项公式解析：变形为：，就可以转化为一个新的等比数列， 类型三：递推关系形如 的数列例3、已知数列满足： ，求数列的通项公式解析：变形为：，就可以转化为一个新的等比数列例4、已知数列满足： ，求数列的通项公式解析：变形为：，转化为一个新的等比数列 类型四：递推关系形如 的数列例5、已知数列满足： ，求数列的通项公式解析：设变形后的形式为，展开整理得，由待定系数法知，所以有 再将代入上面已设的形式：最终的变式：转化为一个新的等比数列。小结：，变形为：，变形为：；，变形为：；，变形为：；，可采用累加法求出数列的通项公式第2课时 特征根法求数列通项公式一、形如是常数）的数列 形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为 若有二异根，则可令是待定常数） 若有二重根，则可令是待定常数） 再利用可求得，进而求得例1 已知数列满足，求数列的通项例2已知数列满足，求数列的通项二、形如的数列对于数列，是常数且）其特征方程为，变形为若有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得若有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值。这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得例3已知数列满足，求数列的通项例4已知数列满足，求数列的通项第一讲 递推数列问题强化练习1、已知中，（）求2、已知的首项，（）求通项公式。3、已知中，且求数列通项公式。4、数列中，求的通项。5、已知：，时，求的通项公式。6、已知中，求。7、已知中，（）求。8、已知中，（）求。9、已知中，其前项和与满足（）（1）求证：为等差数列 （2）求的通项公式10、已知在正整数数列中，前项和满足（1）求证：是等差数列 （2）若，求的前n项和的最小值第一部分 联赛讲座基础 第二讲 竞赛中常用的重要不等式1、柯西不等式：定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即；等式当且仅当时成立。例1、证明均值不等式链：调和平均数算术平均数均方平均数。即：设求证：2、排序不等式：定理设有两组实数，满足，则(倒序积和)（乱序积和）（顺序积和）其中是实数组一个排列，等式当且仅当或时成立。说明：本不等式称排序不等式，俗称：例序积和乱序积和须序积和。例2、利用排序不等式证明柯西不等式：其中等式当且仅当为常数时成立。例3、利用排序不等式证明正数的算术平均数不小于几何平均数。3、契比雪夫不等式：设(i=1,2，n)(i)若则顺序积和的算术平均数不小于这两组数算术平均数之积： ；（）若，则倒序积和的算术平均数不大于这两组数算术平均数之积：例4 、设，求证第一部分 联赛讲座基础 第三讲 数论基础-同余同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容.考虑数学竞赛的需要,下面介绍有关的基本内容.1.同余式及其应用定义:设a、b、m为整数（m0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为或一切整数n可以按照某个自然数m作为除数的余数进行分类，即n=pm+r（r=0，1，m-1），恰好m个数类.于是同余的概念可理解为,若对n1、n2，有n1=q1m+r，n2=q2m+r，那么n1、n2对模m的同余，即它们用m除所得的余数相等.利用整数的剩余类表示,可以证明同余式的下述简单性质:(1) 若,则m|(b-a).反过来,若m|(b-a),则;(2) 如果a=km+b(k为整数),则;(3) 每个整数恰与0,1,，m-1，这m个整数中的某一个对模m同余；(4) 同余关系是一种等价关系： 反身性 ； 对称性，则，反之亦然. 传递性，则；（5）如果，则；特别地应用同余式的上述性质，可以解决许多有关整数的问题.例1、 求使2n+1能被3整除的一切自然数n.例2、求2999最后两位数码.例3、求证31980+41981能被5整除.2不定方程不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.(1) 不定方程解的判定如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.例4、证明方程2x2-5y2=7无整数解.例5、不存在整数x,y使方程例6、满足方程x2+y2=x3的正整数对（x，y）的个数是（ ）.（A）0 （B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对(2) 不定方程的解法不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.例6、求方程的整数解.练习1. 选择题(1)方程x2-y2=105的正整数解有( ).（A） 一组 （B）二组 （C）三组 （D）四组(2)在0,1,2,，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有（ ）.（A） 3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个2填空题(1) 满足不等式104A105的整数A的个数是x104+1，则x的值_.(2) 已知整数y被7除余数为5,那么y3被7除时余数为_.(3) 求出任何一组满足方程x2-51y2=1的自然数解x和y_.3. 求三个正整数x、y、z满足.第一部分 联赛讲座基础 第四讲 复数基础1虚数单位:(1)它的平方等于-1，即; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2与1的关系: 就是1的一个平方根，即方程x2=1的一个根，方程x2=1的另一个根是3的周期性：4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=14复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示5复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式6复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、bR)是实数a；当b0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数05复数集与其它数集之间的关系：NZQRC6两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，dR，那么a+bi=c+dia=c，b=d一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小，也只有当两个复数全是实数时才能比较大小7复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、bR)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数。对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法8复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i9复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i10复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z111复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)12乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成1，并且把实部与虚部分别合并两个复数的积仍然是一个复数13乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3; (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z314除法运算规则：15*。共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数，复数z=a+bi和=abi(a、bR)互为共轭复数16复数加法的几何意义：如果复数z1，z2分别对应于向量、，那么，以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量就是z1+z2的和所对应的向量17复数减法的几何意义：两个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应18复数的模：19复数的模：20复数的辐角及辐角主值：以轴的非负半轴为始边、以所在射线为终边的角在内的辐角就叫做辐角主值，记为argz当时， 0 ， ，21复数的三角形式：其中，；复数三角形式的特征：模0；同一个辐角的余弦与正弦；与之间用加号连结22复数的三角形式的乘法：若，则23复数的三角形式的乘方(棣美弗定理)：若，则24复数的三角形式的除法：若，则25复数代数形式开平方和三角形式开高次方的运算：复数开平方，只要令其平方根为，由，解出有两组解复数的方根为： 共有个值例题选讲例1实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z在第三象限？例2计算（1） （2）例3在复平面内，若所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是A B C D例4设zC，求满足z+R且|z2|=2的复数z例5设z是虚数，=z+是实数，且12（1）求|z|的值及z的实部的取值范围； （2）设u=，求证：u为纯虚数例6已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x, yR，求x, y例7设复数，求：（1） （2） （3） （4）例8复数z1=1+2i，z2=2+i，z3=12i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数例9化下列复数为三角形式：z=+i ;z=1-i z=-1例10下列复数中那些是三角形式？那些不是？为什么？（1） ；（2）；（3）；（4）；（5） ；（6）练习：1数，则在复平面内的对应点位于_象限2已知，则在复平面上与对应的点在_象限3复数对应的点位于复平面的虚轴上，则实数 为_4的值等于_5复数 所对应的点在第二象限则实数的取值范围是_6已知是复数，以下四个结论正确的是_若 若，则若 若，则向量7. i2的共轭复数是_8.计算(2+i)+(3+i3)+(4+i5)+(5+i7)(其中i为虚数单位)的值是_9设复数=+i，则1+等于( )A B。2 C。 D。10设x、yR，且=，则x+y=_11.复数(sin100+icos100)3的三角形式为_12. 设复数2-i和3-i的辐角主值分别为，则等于_13复数的三角形式是_15.设，则|z|的取值范围是_.16.复数z的一个四次方根是2+i, 则z的另三个四次方根分别是_17. 已知zC，且|z|1，则arg(z+2i)的范围是_18. 已知zC，且arg(z+3)=，arg(z5)=，则z_19. 复数z满足|z|=1, 点Z1对应复数z1 ， 且有z1=2z+3-4i ,求点Z1的轨迹20.复平面上的动点Z对应复数z，如果z1=z+是实数，求点Z的轨迹方程第一部分 联赛讲座基础 第五讲 平面几何四大定理四个重要定理：1、梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充要条件是 。2、塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的充要条件是。3、托勒密(Ptolemy)定理四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。4、西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。例题：1 设AD是ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证：。2 过ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。求证：。3 D、E、F分别在ABC的BC、CA、AB边上，AD、BE、CF交成LMN。求SLMN。题1图 题2图 题3图4 以ABC各边为底边向外作相似的等腰BCE、CAF、ABG。求证：AE、BF、CG相交于一点。5 已知ABC中，B=2C。求证：AC2=AB2+ABBC。6ABC的BC边上的高AD的延长线交外接圆于P，作PEAB于E，延长ED交AC延长线于F。求证：BCEF=BFCE+BECF。题4图 题5图 题6图第二部分 联赛专题讲座 专题一 记忆能力与运算能力一 记忆能力记忆是系统化知识,形成方法,思想的先决条件,因而我们对记忆能力应引起足够的重视.下面来试试你的记忆能力:1求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？2函数与其反函数之间的一个有用的结论：3原函数在区间上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调4判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？5.你知道函数的单调区间吗？（该函数在或上单调递增；在或上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！6.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.7.你知道判断对数符号的快捷方法吗？8.“实系数一元二次方程有实数解”转化为“”，你是否注意到必须；当a=0时，“方程有解”不能转化为若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？9.在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？10.在三角中，你知道1等于什么吗？（ 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用11.你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）12.你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？()13.在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？ 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是. 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是 反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是14.分式不等式的一般解题思路是什么？（移项通分）15.解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.）16.利用重要不等式 以及变式等求函数的最值时，你是否注意到a，b（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和ab其中之一应是定值？17.在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底或）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是18.等差数列中的重要性质：若，则； 等比数列中的重要性质：若，则19.你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论（时，；时，）20.等差数列的一个性质：设是数列的前n项和，为等差数列的充要条件是 （a, b为常数）其公差是2a.21.你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若，其中是等差数列，是等比数列，求的前n项的和）22.用求数列的通项公式时，你注意到了吗？23.你还记得裂项求和吗？（如 .）24.解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合25.解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法26.作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见.27.求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）28.求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）29.你知道三垂线定理的关键是什么吗？（一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键）一面四直线，立柱是关键，垂直三处见30.设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，你是否注意到直线垂直于x轴时，斜率k不存在的情况？（例如：一条直线经过点，且被圆截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解.）31.定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及值可要搞清）32. 对不重合的两条直线，有； 33.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.34.处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式.一般来说，前者更简捷35.处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.36.在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形.37.还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？38.还记得圆锥曲线方程中的a,b,c,p,的意义吗？39.在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？40离心率的大小与曲线的形状有何关系？（圆扁程度，张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？41.在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式的限制（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.42.椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形（a，b，c）43.通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.44.常用的求导公式有哪些? (1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10),(11),(12).45.解答选择题的特殊方法是什么？(顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法等等)46.解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横联系47.解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提48.解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量,想方设法摆脱参变量的困绕这当中，参变量的分离、集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答这类问题的通性通法二 运算能力 每年高考都说要控制运算量,但结果是每年都控制不了.理由很简单:有数学,就有运算.不厌其繁的运算,可以培养我们的耐性,和坚忍不拔的性格.问题1、已知三角形的三个顶点分别是,求角平分线AM所在直线的方程.问题2、已知正四棱锥的各条棱长均为1,E,F分别为VB,VC的中点.(I)求平面PAB与平面PBC所成的角的大小; (II)求点A到平面PBC的距离;(III)求直线AE与平面PBC所成的角的大小; (IV)求异面直线AE与BF所成的角的大小;问题3、某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)问题4、设直线与椭圆相交于A、B两点，又与双曲线x2y2=1相交于C、D两点,C、D三等分线段AB. 求直线的方程.第二部分 联赛专题讲座 专题二 集合 函数 不等式 导数一 能力培养1,函数与方程思想; 2,数形结合思想; 3,分类讨论思想;4,运算能力; 5,转化能力.二 问题探讨问题1 已知,分别就下面条件求的取值范围: (I);(II).问题2求函数的单调区间,并给予证明.问题3已知. (I)若在定义域R内单调递增,求的取值范围; (II)若在上单调递减,在上单调递增,求的值; (III)设在(II)的条件下,求证的图象恒在图象的下方.问题4设. (I)试判断的单调性; (II)若的反函数为,证明只有一个解; (III)解关于的不等式.三 习题探讨1已知函数,则的单调减区间是A, B, C, D,2已知集合M=,N=,下列法则不能构成M到N的映射的是A, B, C, D,3已知函数，奇函数在处有定义，且时,，则方程的解的个数有A,4个 B,2个 C,1个 D,0个 4如果偶函数在上的图象如右图,则在上,=A, B, C, D,5设函数,已知,则的取值范围为A, B, C, D,6对于函数,有下列命题:是增函数,无极值;是减函数,无极值;的增区间是,的减区间是(0,2);是极大值,是极小值.其中正确的命题有 A,一个 B,二个 C,三个 D,四个7函数的定义域是 .8已知,则 .9函数单调递增区间是 .10若不等式对满足的恒成立,则实数的取值范围是 .11在点M(1,0)处的切线方程是 .12函数的定义域为集合A,函数的定义域 集合B,当时,求实数的取值范围.13已知定点A(0,1),B(2,3),若抛物线与线段AB有两个不同的 交点,求的取值范围.14已知定义在R上的函数,满足:,且时, . (I)求证:是奇函数; (II)求在上的最大值和最小值.15通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用表示学生掌握和接受概念的能力(值越大,表示接受的能力越强),表示提出和讲授概念的时间(单位:分),可有以下公式: (I)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间? (II)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较,学生的接受接受能力何时强一些? (III)一个数学难题,需要55的接受能力以及13分钟时间,老师能否及时在学生一直 达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?16已知函数,其中,为自然对数的底数.(I)讨论函数的单调性;(II)求函数在区间0,1上的最大值.第二部分 联赛专题讲座 专题三 函数 不等式 数列 极限 数学归纳法一 能力培养1,归纳猜想证明 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力二 问题探讨问题1：数列满足,().(I)求的通项公式; (II)求的最小值; (III)设函数是与的最大者,求的最小值.问题2已知定义在R上的函数和数列满足下列条件:, (=2,3,4,),=(=2,3,4,),其中为常数,为非零常数.(I)令(),证明数列是等比数列;(II)求数列的通项公式; (III)当时,求.问题3已知两点M,N,且点P使,成公差小于零的等差数列.(I)点P的轨迹是什么曲线? (II)若点P坐标为,记为与的夹角,求.三 习题探讨1数列的通项公式,若此数列满足(),则的取值范围是A, B, C, D,2等差数列,的前项和分别为,若,则=A, B, C, D,3已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是A, B, C, D,4在等差数列中,第10项开始比1大,记,则的取值范围是A, B, C, D,5设A,B,C是椭圆)上三个点,F为焦点,若成等差数列,则有A, B, C, D,6在中,是以为第三项,4为第七项的等差数列的公差,是以为第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是A,钝角三角形 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对7等差数列前()项和,且前6项和为36,后6项和为180,则 .8,则 .9在等比数列中,则的取值范围是 .10一个数列,当为奇数时,;当为偶数时,.则这个数列的前项之和 .11等差数列中,是它的前项和且,则此数列的公差,是各项中最大的一项,一定是中的最大项,其中正确的是 .12已知,且组成等差数列(为正偶数).又,(I)求数列的通项;(II)试比较与3的大小,并说明理由.13已知函数是偶函数,是奇函数,正数数列满足,.(I)若前项的和为,求;(II)若,求中的项的最大值和最小值.14. 已知等比数列的各项不为1的正数,数列满足(且),设,.(I)求数列的前多少项和最大,最大值是多少?(II)设,求的值.(III)试判断,是否存在自然数M,使当时恒成立,若存在求出相应的M;若不存在,请说明理由.15设函数的定义域为全体实数,对于任意不相等的实数,都有,且存在,使得,数列中,求证:对于任意的自然数,有: (I); (II).第二部分 联赛专题讲座 专题四 专题四 三角 平面向量 复数一 能力培养1,数形结合思想 2,换元法 3,配方法 4,运算能力 5,反思能力二 问题探讨问题1设向量,求证:.问题2设,其中向量,(I)若且,求; (II)若函数的图象按向量平移后得到函数的图象,求实数的值.问题3(1)当,函数的最大值是 ,最小值是 . (2)函数的最大值是 . (3)当函数取得最小值时,的集合是 . (4)函数的值域是 .问题4已知中,分别是角的对边,且,=,求角A.三 习题探讨1在复平面内,复数对应的向量为,复数对应的向量为,那么向量对应的复数是A,1 B, C, D,2已知是第二象限角,其终边上一点P(),且,则=A, B, C, D,3函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是A, B, C, D,4已知向量,向量,向量,则向量与向量的夹角的取值范围是A, B, C, D,5已知,且与的夹角为钝角,则的取值范围是A, B, C, D,6若是三角形的最小内角,则函数的值域是A, B, C, D,7已知,则= .8复数,则在复平面内的对应点位于第 象限9若,则= .10与向量和的夹角相等,且长度为的向量 .11在复数集C内,方程的解为 .12若,求函数的最小值,并求相应的的值.13设函数,若当时,恒成立,求实数的取值范围.14设,且,复数满足,求的最大值与最小值勤.15已知向量,且(I)求及; (II)求函数的最小值.16设平面向量,.若存在实数和角,使向量,且.(I)求函数的关系式; (II)令,求函数的极值.第二部分 联赛专题讲座 专题五 直线 圆锥曲线 平面向量一 能力培养1,函数与方程思想 2,数形结合思想 3,分类讨论思想 4,转化能力 5,运算能力二 问题探讨问题1设坐标原点为O,抛物线与过焦点的直线交于A,B两点,求的值.问题2已知直线L与椭圆交于P,Q不同两点,记OP,OQ的斜率分别为,如果,求PQ连线的中点M的轨迹方程.问题3给定抛物线C:,F是C的焦点,过点F的直线与C相交于A,B两点.(I)设的斜率为1,求与夹角的大小;(II)设,若,求在轴上截距的变化范围.问题4求同时满足下列三个条件的曲线C的方程:是椭圆或双曲线; 原点O和直线分别为焦点及相应准线;被直线垂直平分的弦AB的长为.三 习题探究1已知椭圆的离心率,则实数的值为A,3 B,3或 C, D,或2一动圆与两圆和都外切,则动圆圆心的轨迹为A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线3已知双曲线的顶点为与(2,5),它的一条渐近线与直线平行,则双曲线的准线方程是A, B, C, D,4抛物线上的点P到直线有最短的距离,则P的坐标是A,(0,0) B, C, D,5已知点F,直线:,点B是上的动点.若过B垂直于轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是A,双曲线 B,椭圆 C,圆 D,抛物线6椭圆上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离为,则此椭圆的方程为 .7与方程的图形关于对称的图形的方程是 .8设P是抛物线上的动点,点A的坐标为,点M在直线PA上,且分所成的比为2:1,则点M的轨迹方程是 .9设椭圆与双曲线有共同的焦点,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍, 则椭圆与双曲线的交点轨迹是 .10已知点H,点P在轴上,点Q在轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足,.(I)当点P在轴上移动时,求点M的轨迹C;(II)过点T作直线