（教师用书）高考数学一轮总复习 第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形课时训练 理.doc

第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数1. 角的终边过点p(1，2)，则sin_答案：解析：sin.2. 已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若p(4，y)是角终边上一点，且sin，则y_答案：8解析：因为sin，所以y0，且y264，所以y8.3. 已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos0，sin0，则实数a的取值范围是_答案：(2，3解析：由cos0，sin0可知，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以有解得2a3.4. 已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是_答案：1或4解析：设此扇形的半径为r，弧长是l，则解得或从而4或1.5. 已知角的终边过点p(8m，6sin30)，且cos，则m_答案：解析：因为r，所以cos，所以m0，所以，故m.6. 若点p在角的终边上，且|op|2，则点p的坐标是_答案：(1，)解析：的终边在第二象限，设p(x，y)，则sin ， y；cos，x1.7. 若角的终边上有一点p(4，a)，且sincos，则a_答案：4或解析： sincos0， sin、cos同号， 角在第三象限，即p(4，a)在第三象限， a0.根据三角函数的定义，解得a4或.8. 点p从(1，0)出发，沿单位圆x2y21按逆时针方向运动弧长到达点q，则点q的坐标为_答案：解析：由弧长公式l|r，l，r1得点p按逆时针方向转过的角度为，所以点q的坐标为，即.9. (改编题)若的终边落在xy0上，求出在360，360之间的所有角.解：若角的终边落在第二象限，则|2k，kz；若角的终边落在第四象限，则|2k，kz， 终边落在xy0上角的集合为|2k，kz|2k，kz|k，kz令2k2， k2，1，0，1， 所求，10. 已知角的终边经过点p(，m)(m0)且sinm，试判断角所在的象限，并求cos和tan的值解：由题意得，r， sinm. m0， m.故角是第二或第三象限角当m时，r2，点p的坐标为(，)，角是第二象限角， cos，tan；当m时，r2，点p的坐标为(，)，角是第三象限角 cos，tan.综上可知，cos，tan或cos，tan.11. 如图，单位圆(半径为1的圆)的圆心o为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点a，与钝角的终边ob交于点b(xb，yb)，设bao.(1) 用表示；(2) 如果sin，求点b(xb，yb)的坐标；(3) 求xbyb的最小值. 解：(1) aob2，所以2.(2) 由sin，r1，得ybsinsincos22sin2121.由为钝角，知xbcos.所以b.(3) xbybcossincos.又，则，cos.所以xbyb的最小值为.第2课时同角三角函数的基本关系式与诱导公式1. 计算：sin930_答案：解析：sin930sin210sin30.2. 如果sin(a)，那么cos_答案：解析： sin(a)， sina. cossina.3. 已知sin，且，则cos()_答案：解析： sin，又， ， cos.4. 已知cos，则sin_答案：解析：sinsinsincos.5. 已知f()，则f_答案：解析： f()cos， fcoscoscos.6. (2014南京三模)已知tan2，则cossin_答案：解析： tan2， sin2cos，代入sin2cos21，得5cos21，cos2.又， cos.于是sin， cossin.7. 若sin，则cos_答案：解析： ， sinsin()cos()，则cos(2)2cos21.8. 若3sincos0，则_答案：解析：由已知得tan，则.9. 已知为第三象限角，且f().(1) 化简f()；(2) 若cos，求f()的值；(3) 若，求f()的值解：(1) f()cos.(2) 由已知得sin，则cos.又为第三象限角，所以cos.所以f()cos.(3) f()cos()coscos.10. 已知sin(3)，求的值解： sin(3)sin， sin， 原式18.11. 已知0，若cossin，试求的值解： cossin， 12sincos， 2sincos. (sincos)212sincos1. 00)和g(x)3cos(2x)的图象的对称中心完全相同，若x，则f(x)的取值范围是_答案：，3解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故2，所以f(x)3sin，那么当x0，时，2x，所以sin(2x)1，故f(x)，35. (2014南通三模)已知函数f(x)sin(x)的图象如图所示，则f(2)_答案：解析：由题知t2，从而t， .令x1，得1，得，从而f(x)sin，从而f(2).6. (2014无锡期末)已知函数f(x)sin的图象c1向左平移个单位得到图象c2，则c2在0，上的单调减区间是_答案：，解析：由题设可知c2的曲线方程ysin，令2k2x2k，得kxk，令k0得c2在0，上的单减区间为，7. (2014苏北四市期末)已知函数f(x)2sin(0)的最大值与最小正周期相同，则函数f(x)在1，1上的单调增区间为_答案：，解析：由题设2， ， y2sin.令2kx2k，解得2kx2k，令k0，得x，8. (2014南京二模)函数f(x)asin(x)(a、为常数，a0，0，0)的图象如图所示，则f_答案：1解析：由题设a2，t，t，从而2，从而f(x)2sin(2x)由图知最高点，从而2，从而，从而f2sin2sin1.9. (2014重庆)已知函数f(x)sin(x)的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1) 求和的值；(2) 若f，求cos的值解：(1) 因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期t，从而2.又f(x)的图象关于直线x对称，所以2k，k0，1，2，.因为，所以.(2) 由(1)得fsin，所以sin.由，得0，所以cos.因为cossinsinsincoscossin.10. 已知函数f(x)sin(x)cos(x)(0，0)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.(1) 求f的值；(2) 求函数yf(x)f的最大值及对应的x的值解：(1) f(x)sin(x)cos(x)2sin(x)cos(x)2sin. f(x)为偶函数， k(kz) k(kz) 0， . f(x)2sin2cosx.由题意得2， 2.故f(x)2cos2x.因此f2cos.(2) y2cos2x2cos22cos2x2cos2cos2x2sin2x2sin.令2x2k(kz)，y有最大值2， 当xk(kz)时，y有最大值2.11. 已知函数f(x)asin(x)(a0，0，|，xr)的部分图象如下图所示(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 当x时，求函数yf(x)f(x2)的最大值与最小值及相应的x的值解：(1) 由图象知a2，t8. t8， .又图象经过点(1，0)， 2sin0. |， ， f(x)2sin.(2) yf(x)f(x2)2sin(x)2sin(x)2sin(x)2cos(x)2sin(x)2cosx. x， x， 当x，即x时，yf(x)f(x2)取最大值为；当x，即x4时，yf(x)f(x2)取最小值为2.第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式1. 计算：sin43cos13sin47cos103_答案：解析：原式sin43cos13cos43sin13sin(4313)sin30.2. 已知cos，则cos_答案：解析：因为，所以，所以sin，coscoscoscossin()sin.3. 计算：_答案：解析：.4. 已知，且cos，则tan_答案：解析：因为(，)，且cos，所以sin，所以tan.所以tan().5. (2014苏州期末)已知sin，sin，则tanx_答案：7解析：由sin，sin(x)，知，知sinx；，知cosx， tanx7.6. 设为锐角，若cos，则sin_答案：解析： 为锐角且cos， sin. sinsin2()sin2()coscos2()sinsin()cos()2cos2()12()21.7. (2014镇江期末)若x，且sin2x，则f(x)sin的值为_答案：解析：设xt，t，则原式sint.又xt， sin2xsin2(t)sin， cos2t12sin2t，即有sin2t.又sint0， sint.从而原式.8. (2014安徽)若将函数f(x)sin2xcos2x的图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小正值是_答案：解析：将f(x)sin的图象向右平移个单位，得到ysin(2x2)的图象由所得图象关于y轴对称，可知sin(2)1，即sin1，故2k，kz，即，kz.又0，所以min.9. 已知函数f(x)2cos(其中0，xr)的最小正周期为10.(1) 求的值；(2) 设、0，f，f，求cos()的值解：(1) 由t10，得.(2) 由得整理得 、， cos，sin. cos()coscossinsin.10. (2014山东)已知向量a(m，cos2x)，b(sin2x，n)，函数f(x)ab，且yf(x)的图象过点和点.(1) 求m、n的值；(2) 将yf(x)的图象向左平移(0)个单位后得到函数yg(x)的图象，若yg(x)图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求yg(x)的单调递增区间解：(1) 由题意知，f(x)msin2xncos2x.因为yf(x)的图象过点和点，所以即解得m，n1.(2) 由(1)知f(x)sin2xcos2x2sin.由题意知，g(x)f(x)2sin(2x2)设yg(x)的图象上符合题意的最高点为(x0，2)由题意知，x11，所以x00，即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)将其代入yg(x)得，sin1.因为0，所以.因此，g(x)2sin2cos2x.由2k2x2k，kz，得kxk，kz，所以函数yg(x)的单调递增区间为k，k，kz.11. (2015徐州期中)在abc中，已知sin(ab)2sin(ab)(1) 若b，求a；(2) 若tana2，求tanb的值解：(1) 由条件，得sin2sin， sinacosa2.化简，得sinacosa， tana.又a(0，)， a.(2) sin(ab)2sin(ab)， sinacosbcosasinb2(sinacosbcosasinb)化简，得3cosasinbsinacosb.又cosacosb0， tana3tanb.又tana2， tanb.第5课时二倍角的正弦、余弦和正切公式1. 已知cos，则cos2_答案：解析：cossin，即sin，所以cos212sin212.2. 设sin，则sin2_答案：解析：sin(sincos)，将上式两边平方，得(1sin2)， sin2.3. 已知，3sin22cos，则cos()_答案：解析：由3sin22cos，得6sincos2cos.由，得cos0，cos0，故sin.cos()cos.4. (2014常州期末)函数y2sin2x3cos2x4的最小正周期为_答案：解析：由降幂公式知y(1cos2x)(1cos2x)4cos2x，所以周期t.5. 已知sin，则cos_答案：解析：由题意知sincos，coscos22cos21.6. (2014盐城三模)若，cos2cos2，则sin2_答案：解析：cos2cos22sin4sin()cos()又，所以cos()0，于是4sin1，sin()，所以sin2cos12sin2().7. 若，且sin2cos2，则tan_答案：解析：由sin2cos2sin212sin21sin2，得cos2.又，所以cos，tan.8. 已知1，tan()，则tan(2)_答案：1解析：由1，得1， tan，从而tan(2)tan()1.9. (2014如皋期末)已知函数f(x)28sin2xcos2x(xr)(1) 求函数yf(x)的周期；(2) 在平面直角坐标系xoy中，将函数yf(x)的图象向左平移个单位，得函数yg(x)的图象，设h(x)f(x)g(x)，求函数yh(x)，x的最小值解：(1) 因为f(x)22(2sinxcosx)222sin22x1cos4x，所以函数f(x)的周期为t.(2) 函数yf(x)f(1cos4x)(cos4xsin4x)22cos(4x)2，又x，所以4x，当x时，f(x)有最小值为2.10. (2014福建)已知函数f(x)cosx(sinxcosx).(1) 若00，由余弦定理得cosc.3. 在abc中，已知bc1，b，abc的面积为，则ac的长为_答案：解析： sacsinb， 1c， c4.又ac2124221413， ac.4. 在abc中，角a、b、c所对边的长分别为a、b、c，且a，b3，sinc2sina，则sina_答案：解析： sinc2sina， c2a2.由余弦定理，得cosa， sina.5. 在abc中，若9cos2a4cos2b5，则_答案：解析：由9cos2a4cos2b5，得9(12sin2a)54(12sin2b)，得9sin2a4sin2b，即3sina2sinb.由正弦定理得.6. 在abc中，角a、b、c所对边长分别为a、b、c，若a2b22c2，则cosc的最小值为_答案：解析：由余弦定理，得cosc，当且仅当ab时取“”7. 在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，若1，则角a的大小为_答案：解析：1sin(ab)2sinccosa.因为sinc0，所以cosa，a.8. 在abc中，a、b、c的对边分别为a、b、c，若其面积s(b2c2a2)，则a_答案：解析：bcsina(b2c2a2)a2b2c22bcsinasinacosa，则a.9. (2014浙江)在abc中，内角a、b、c所对的边分别为a、b、c.已知4sin24sinasinb2.(1) 求角c的大小；(2) 已知b4，abc的面积为6，求边长c的值解：(1) 由已知得21cos(ab)4sinasinb2，化简得2cosacosb2sinasinb，故cos(ab)，所以ab，从而c.(2) 因为sabcabsinc，由sabc6，b4，c，得a3.由余弦定理c2a2b22abcosc，得c.10. (2014安徽)设abc的内角a、b、c所对边的长分别是a、b、c，且b3，c1，a2b.(1) 求a的值；(2) 求sin的值解：(1) 因为a2b，所以sinasin2b2sinbcosb.由余弦定理得cosb，所以由正弦定理可得a2b.因为b3，c1，所以a212，即a2.(2) 由余弦定理得cosa.因为0a，所以sina.故sinsinacoscosasin.11. (2014南京三模)在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，且1.(1) 求角b；(2) 若cos，求sina的值解：(1) 由1及正弦定理，得1，所以，即，则.因为在abc中，sina0，sinc0，所以cosb.因为b(0，)，所以b.(2) 因为0c，所以c.因为cos，所以sin.所以sinasin(bc)sinsinsincoscossin.第8课时解三角形应用举例1. 如图，设a、b两点在河的两岸，一测量者在a所在的同侧河岸边选定一点c，测出ac的距离为50 m，acb45，cab105，由此计算出a、b两点的距离为_m.答案：50解析： acb45，cab105， abc1801054530.在abc中，由正弦定理得， ab50(m)2. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形aob，c是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于ao的小路cd.已知某人从o沿od走到d用了2 min，从d沿着dc走到c用了3 min.若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为_m.答案：50解析：连结oc，在ocd中，od100，cd150，cdo60，由余弦定理可得oc210021502210015017 500，解得oc50(m)3. 如图，一艘船上午9：30在a处测得灯塔s在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达b处，此时又测得灯塔s在它的北偏东75处，且与它相距8 n mile.此船的航速是_n mile/h.答案：32解析：设航速为v n mile/h，在abs中，abv，bs8 n mile，bsa45，由正弦定理，得， v32 n mile/h.4. 要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是_m.答案：500解析：由题意画出示意图，设塔高abh m，在rtabc中，由已知得bch m，在rtabd中，由已知得bdh m，在bcd中，由余弦定理bd2bc2cd22bccdcosbcd，得3h2h25002h500，解得h500(m)5. 在abc中，若，则abc的形状是_答案：等边三角形解析：由正弦定理得，又，所以，即tanatanbtanc，所以abc，故abc为等边三角形6. (2014四川)如图所示，从气球a上测得正前方的河流的两岸b、c的俯角分别为67、30，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度bc约为_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，1.73)答案：60解析：过a点向地面作垂线，记垂足为d，则在rtadb中，abd67，ad46 m， ab50(m)在abc中，acb30，bac673037，ab50 m，由正弦定理，得bc60 (m)，故河流的宽度bc约为60 m.7. 已知abc的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则abc的面积为_答案：15解析：不妨设a120，cbc，3b20acosa，则sinasinbsinc_答案：654解析：由abc，得abc.设ac2，bc1，则由3b20acosa，得3(c1)20(c2)，即3(c1)2c10(c1)(c2)(c3)，解得c4，所以a6，b5.sinasinbsincabc654.9. 如图，a、b是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于a点北偏东45，b点北偏西60的d点有一艘轮船发出求救信号，位于b点南偏西60且与b点相距20海里的c点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达d点需要多长时间？解：由题意知ab5(3)(海里)，dba906030，dab904545， adb180(4530)105.在dab中，由正弦定理得， db10(海里)又dbcdbaabc30(9060)60，bc20(海里)，在dbc中，由余弦定理得cd2bd2bc22bdbccosdbc3001 20021020900， cd30(海里)，则需要的时间t1(小时)即该救援船到达d点需要1小时10. (2014南京、盐城二模)如图，经过村庄a有两条夹角为60的公路ab、ac，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂p，分别在两条公路边上建两个仓库m、n(异于村庄a)，要求pmpnmn2(km)如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)解：设amn，在amn中，.因为mn2，所以amsin(120)在apm中，cosampcos(60)ap2am2mp22ammpcosampsin2(120)422sin(120)cos(60)sin2(60)sin(60)cos(60)41cos(2120)sin(2120)4sin(2120)cos(2120)sin(2150)，(0，120)当且仅当2150270，即60时，ap2取得最大值12，即ap取得最大值2.答：设计amn为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小11. (2014宿迁第一次摸底)如图，海上有a、b两个小岛相距10 km，船o将保持观望a岛和b岛所成的视角为60，现从船o上派下一只小艇沿bo方向驶至c处进行作业，且ocbo.设acx km.(1) 用x分别表示oa2ob2和oaob，并求出x的取值范围；(2) 晚上小艇在c处发出一道强烈的光线照射a岛，b岛至光线ca的距离为bd，求bd的最大值解：(1) 在oac中，aoc120，acx，由余弦定理，得oa2oc22oaoccos120x2，又ocbo，所以oa2ob22oaobcos120x2.在oab中，ab10，aob60，由余弦定理，得oa2ob22oaobcos60100.得oa2ob2，得oaob；又oa2ob22oaob，所以2，即x2300.又oaob0，即x2100，所以10x10.(2) 易知soabsoac，故sabc2soab2oaobsin60.又sabcacbd，设bdf(x)，所以f(x)，x(10，10又f(x)，则f(x)在(10，10上是增函数，所以f(x)的最大值为f(10)10，即bd的最大值为10.第9课时三角函数的综合应用1. 若函数f(x)cosxcos(0)的最小正周期为，则_答案：1解析：由于f(x)cosxcossin2x，所以t1.2. 在abc中，内角a、b、c的对边分别是a、b、c，若a2b2bc，sinc2sinb，则a_答案：30解析： sin c2sin b，由正弦定理，得c2b， cos a.又a为三角形的内角， a30.3. 在abc中，a60，ab2，且abc的面积为，则bc的长为_答案：解析：sabacsin 602ac，所以ac1，所以bc2ab2ac22abaccos 603，所以bc.4. (2014南京、无锡调研)已知sin，则sinsin2_答案：解析：因为sin，所以sinsin2sincos21.5. 已知a、b、c分别为abc的三个内角a、b、c的对边若cosb，a10，abc的面积为42，则b_答案：16解析：由cos b，得sin b， sabcacsin b10c42， c14， b2c2a22accos b1421022101419610022472， b6， b6616.6. 已知函数f(x)2sinx，g(x)2sin，直线xm与f(x)、g(x)的图象分别交于m、n两