（江苏专用）高考数学一轮复习 第十一章 概率 11.3 几何概型 文.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十一章 概率 11.3 几何概型 文1几何概型的概念设d是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域d内随机地取一点，区域d内的每一点被取到的机会都一样；随机事件a的发生可以视为恰好取到区域d内的某个指定区域d中的点这时，事件a发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型2几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域d中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件a，则事件a发生的概率p(a).3要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性4随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法这个方法的基本步骤是用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；统计代表某意义的随机数的个数m和总的随机数个数n；计算频率fn(a)作为所求概率的近似值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零()(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()(4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率()(5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关()(6)从区间1,10内任取一个数，取到1的概率是p.()1(教材改编)在线段0,3上任投一点，则此点坐标小于1的概率为_答案解析坐标小于1的区间为0,1，长度为1，0,3区间长度为3，故所求概率为.2(2015山东改编)在区间0,2上随机地取一个数x，则事件“11”发生的概率为_答案解析由11，得x2，0x.由几何概型的概率计算公式得所求概率p.3(2014辽宁改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形abcd中，其中ab2，bc1，则质点落在以ab为直径的半圆内的概率是_答案解析设质点落在以ab为直径的半圆内为事件a，则p(a).4(2014福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_答案0.18解析由题意知，这是个几何概型问题，0.18，s正1，s阴0.18.5(教材改编)如图，圆中有一内接等腰三角形假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为_答案解析设圆的半径为r，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为r，则所求事件的概率为：p.题型一与长度、角度有关的几何概型例1(1)(2015重庆)在区间0,5上随机地选择一个数p，则方程x22px3p20有两个负根的概率为_(2)(2015烟台模拟)在区间，上随机取一个数x，则cos x的值介于0到之间的概率为_答案(1)(2)解析(1)方程x22px3p20有两个负根，则有即解得p2或p1，又p0,5，则所求概率为p.(2)当x时，由0cos x，得x或x，根据几何概型概率公式得所求概率为.(3)如图所示，在abc中，b60，c45，高ad，在bac内作射线am交bc于点m，求bm1的概率解因为b60，c45，所以bac75.在rtabd中，ad，b60，所以bd1，bad30.记事件n为“在bac内作射线am交bc于点m，使bm1”，则可得bambad时事件n发生由几何概型的概率公式，得：p(n).引申探究1本例(2)中，若将“cos x的值介于0到”改为“cos x的值介于0到”，则概率如何？解当x时，由0cos x，得x或x，根据几何概型概率公式得所求概率为.2若本例(3)中“在bac内作射线am交bc于点m”改为“在线段bc上找一点m”，求bm1的概率解依题意知bcbddc1，p(bm1).思维升华求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解要特别注意“长度型”与“角度型”的不同解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)(1)如图，在直角坐标系内，射线ot落在30角的终边上，任作一条射线oa，则射线oa落在yot内的概率为_(2)已知集合ax|1x5，b，在集合a中任取一个元素x，则事件“x(ab)”的概率是_答案(1)(2)解析(1)如题图，因为射线oa在坐标系内是等可能分布的，所以oa落在yot内的概率为.(2)由题意得ax|1x5，b，故abx|2x3由几何概型知，在集合a中任取一个元素x，则x(ab)的概率为p.题型二与面积有关的几何概型命题点1与平面图形面积有关的问题例2(2015福建改编)如图，矩形abcd中，点a在x轴上，点b的坐标为(1,0)，且点c与点d在函数f(x)的图象上若在矩形abcd内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_答案解析由图形知c(1,2)，d(2,2)，s四边形abcd6，s阴31.p.命题点2与线性规划知识交汇命题的问题例3(2014重庆)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：307：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_答案解析设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x分钟，第y分钟，根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(5030)2400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件a(x，y)|yx5,30x50,30y50，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为1515，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为p(a).思维升华求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解(1)在区间，内随机取出两个数分别记为a，b，则函数f(x)x22axb22有零点的概率为_(2)(2014湖北改编)由不等式组确定的平面区域记为1，不等式组确定的平面区域为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为_答案(1)1(2)解析(1)由函数f(x)x22axb22有零点，可得(2a)24(b22)0，整理得a2b22，如图所示，(a，b)可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为(a，b)|a，b，其面积s(2)242.事件a表示函数f(x)有零点，所构成的区域为m(a，b)|a2b22，即图中阴影部分，其面积为sm423，故p(a)1.(2)如图，平面区域1就是三角形区域oab，平面区域2与平面区域1的重叠部分就是区域oacd，易知c(，)，故由几何概型的概率公式，得所求概率p.题型三与体积有关的几何概型例4在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，点o为底面abcd的中心，在正方体abcda1b1c1d1 内随机取一点p，则点p到点o的距离大于1的概率为_答案1解析v正238，v半球13，故点p到o的距离大于1的概率为1.思维升华求解与体积有关问题的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求如图，在长方体abcda1b1c1d1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥aa1bd内的概率为_答案解析因为sabdaa1s矩形abcdaa1v长方体，故所求概率为.12混淆长度型与面积型几何概型致误典例(14分)在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率易错分析不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率规范解答解设x、y表示三段长度中的任意两个因为是长度，所以应有0x1,0y1,0xy1，即(x，y)对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示6分要形成三角形，由构成三角形的条件知所以x，y，故图中阴影部分符合构成三角形的条件10分因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的，故这三条线段能构成三角形的概率为.14分温馨提醒解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误方法与技巧1区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个2转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型失误与防范1准确把握几何概型的“测度”是解题关键；2几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果a组专项基础训练(时间：40分钟)1(2014湖南改编)在区间2,3上随机选取一个数x，则x1的概率为_答案解析在区间2,3上随机选取一个数x，则x1，即2x1的概率为p.2在区间1,4内取一个数x，则2xx2的概率是_答案解析不等式，可化为x2x20，则1x2，故所求概率为.3已知abc中，abc60，ab2，bc6，在bc上任取一点d，则使abd为钝角三角形的概率为_答案解析如图，当be1时，aeb为直角，则点d在线段be(不包含b、e点)上时，abd为钝角三角形；当bf4时，baf为直角，则点d在线段cf(不包含c、f点)上时，abd为钝角三角形所以abd为钝角三角形的概率为.4设不等式组表示的平面区域为d，在区域d内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是_答案1解析如图所示，正方形oabc及其内部为不等式组表示的区域d，且区域d的面积为4，而阴影部分表示的是区域d内到坐标原点的距离大于2的区域易知该阴影部分的面积为4.因此满足条件的概率是1.5已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为_答案解析由题意可知，三角形的三条边长的和为5121330，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3101124，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为.6有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点o为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点p，则点p到点o的距离大于1的概率为_答案解析v圆柱2，v半球13，故点p到o的距离大于1的概率为.7在区间1,5和2,4上分别各取一个数，记为m和n，则方程1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是_答案解析方程1表示焦点在x轴上的椭圆，mn.如图，由题意知，在矩形abcd内任取一点q(m，n)，点q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线mn恰好将矩形平分，所求的概率为p.8随机地向半圆0y(a为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为_答案解析半圆域如图所示：设a表示事件“原点与该点的连线与x轴的夹角小于，由几何概型的概率计算公式得p(a).9随机向边长为5,5,6的三角形中投一点p，则点p到三个顶点的距离都不小于1的概率是_答案解析由题意作图，如图则点p应落在深色阴影部分，s三角形612，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为，故点p到三个顶点的距离都不小于1的概率为.10已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足ab1的概率；(2)若x，y在连续区间1,6上取值，求满足ab0的概率解(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6636(个)；由ab1有2xy1，所以满足ab1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个；故满足ab1的概率为.(2)若x，y在连续区间1,6上取值，则全部基本事件的结果为(x，y)|1x6,1y6；满足ab0的基本事件的结果为a(x，y)|1x6,1y6且2xy0；画出图形如图，矩形的面积为s矩形25，阴影部分的面积为s阴影252421，故满足ab0的概率为.b组专项能力提升(时间：30分钟)11一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽略不计)，可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是_答案解析屋子的体积为54360立方米，捕蝇器能捕捉到的空间体积为133立方米故苍蝇被捕捉的概率是.12(2015湖北改编)在区间0,1上随机取两个数x，y，记p1为事件“xy”的概率，p2为事件“xy”的概率，则下列正确的是_p1p2 p2p1p2p1 p1p2答案解析在直角坐标系中，依次作出不等式组的可行域如图所示：依题意，p1，p2，而，所以p1p2.13.如图，已知