（江苏专用）高考数学一轮复习 第十章 计数原理 10.3 二项式定理 理.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十章 计数原理 10.3 二项式定理 理1二项式定理二项式定理(ab)ncancan1bcanrbrcbn(nn*)二项展开式的通项公式tr1canrbr，它表示第r1项二项式系数二项展开式中各项的系数c(r0,1,2，n)2.二项式系数的性质(1)0rn时，c与c的关系是cc.(2)二项式系数先增后减中间项最大当n为偶数时，第1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为和.(3)各二项式系数和：cccc2n，cccccc2n1.【知识拓展】二项展开式形式上的特点(1)项数为r1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从c，c，一直到c，c.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)canrbr是二项展开式的第r项()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(4)在(1x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项()(5)若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，则a7a6a1的值为128.()1(教材改编)(xy)n的二项展开式中，第m项的系数是_答案(1)m1c解析(xy)n展开式中第m项的系数为c(1)m1.2(2)8的展开式中，不含x4的项的系数的和为_答案0解析由通项公式，可得展开式中含x4的项为t81c288(1)8x4x4，故含x4的项的系数为1.令x1，得展开式的系数的和s1，故展开式中不含x4的项的系数的和为110.3已知c2c22c23c2nc729，则cccc_.答案63解析逆用二项式定理得c2c22c23c2nc(12)n3n729，即3n36，所以n6，所以cccc26c64163.4(教材改编)5展开式中的常数项为_答案40解析tr1c(x2)5rrc(2)rx105r.令105r0，则r2.常数项为t3c(2)240.5(1x)8(1y)4的展开式中x2y2的系数是_答案168解析(1x)8的通项为cxr，(1y)4的通项为cyt，(1x)8(1y)4的通项为ccxryt，令r2，t2，得x2y2的系数为cc168.题型一二项展开式命题点1求二项展开式中的特定项或指定项的系数例1(1)(2015广东)在(1)4的展开式中，x的系数为_(2)(2015课标全国改编)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为_答案(1)6(2)30解析(1)由题意可知tr1c()4r(1)r，令1解得r2，所以展开式中x的系数为c(1)26.(2)方法一利用二项展开式的通项公式求解(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为t3c(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为cx4xcx5.所以x5y2的系数为cc30.方法二利用组合知识求解(x2xy)5为5个x2xy之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为cc30.命题点2已知二项展开式某项的系数求参数例2(2015课标全国)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.答案3解析设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5，令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)，即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1a3a58(a1)，所以8(a1)32，解得a3.思维升华求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r1，代回通项公式即可(1)(2014课标全国)(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填写答案)(2)(2014课标全国)(xa)10的展开式中，x7的系数为15，则a_.答案(1)20(2)解析(1)x2y7x(xy7)，其系数为c，x2y7y(x2y6)，其系数为c，x2y7的系数为cc82820.(2)设通项为tr1cx10rar，令10r7，r3，x7的系数为ca315，a3，a.题型二二项式系数的和或各项系数的和的问题例3在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和解设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数的和为a0a1a10，奇数项系数和为a0a2a10，偶数项系数和为a1a3a5a9，x的奇次项系数和为a1a3a5a9，x的偶次项系数和为a0a2a4a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数的和为ccc210.(2)令xy1，各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为ccc29，偶数项的二项式系数和为ccc29.(4)令xy1，得到a0a1a2a101，令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a3a10510，得2(a0a2a10)1510，奇数项系数和为；得2(a1a3a9)1510，偶数项系数和为.(5)x的奇次项系数和为a1a3a5a9；x的偶次项系数和为a0a2a4a10.思维升华(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2bxc)m (a、br)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对形如(axby)n (a，br)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.已知f(x)(1x)m(12x)n (m，nn*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值；(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和解(1)由已知得c2c11，m2n11，x2的系数为c22c2n(n1)(11m)2.mn*，m5时，x2的系数取得最小值22，此时n3.(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m5，n3，f(x)(1x)5(12x)3.设这时f(x)的展开式为f(x)a0a1xa2x2a5x5，令x1，a0a1a2a3a4a5253359，令x1，a0a1a2a3a4a51，两式相减得2(a1a3a5)60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.题型三二项式定理的应用例4(1)已知2n23n5na能被25整除，求正整数a的最小值；(2)求1.028的近似值(精确到小数点后三位)解(1)原式46n5na4(51)n5na4(c5nc5n1c52c5c)5na4(c5nc5n1c52)25n4a，显然正整数a的最小值为4.(2)1.028(10.02)8cc0.02c0.022c0.0231.172.思维升华(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式190c902c903c(1)k90kc9010c除以88的余数是_答案1解析190c902c903c(1)k90kc9010c(190)108910(881)108810c889c881，前10项均能被88整除，余数是1.15混淆二项展开式的系数与二项式系数致误典例(14分)(1)已知(x1)6(ax1)2的展开式中含x3的项的系数是20，求a的值；(2)设(5x)n的展开式的各项系数之和为m，二项式系数之和为n，若mn240，求展开式中二项式系数最大的项易错分析解答此题时易将二项式系数之和与各项系数和混淆，从而导致计算错误；另外，也要注意项与项的系数，项的系数与项的系数绝对值的区别与联系规范解答解(1)(x1)6(ax1)2的展开式中x3的系数是cc(2)aca26a230a20，x3的系数为20，6a230a2020，a0，a5.6分(2)依题意得，m4n(2n)2，n2n，于是有(2n)22n240，(2n15)(2n16)0，2n1624，解得n4.10分要使二项式系数c最大，只有r2，12分故展开式中二项式系数最大的项为t3c(5x)2()2150x3.14分温馨提醒(1)对于(axb)n展开式中，第r1项的二项式系数是指c，第r1项的系数是canrbr.(2)对于(axb)n展开式中各项系数之和，令x1即得：(ab)n；(axb)n展开式的二项式系数之和为ccc2n.方法与技巧1通项tr1canrbr是(ab)n的展开式的第r1项，而不是第r项，这里r0,1，n.2二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数是指c，c，c，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关3因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法4运用通项求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系失误与防范1项的系数与a、b有关，二项式系数只与n有关，大于0.2求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”3关于组合式的证明，常采用“构造法”构造函数或构造同一问题的两种算法4展开式中第r1项的二项式系数与第r1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错a组专项基础训练(时间：35分钟)1(2014四川改编)在x(1x)6的展开式中，含x3项的系数为_答案15解析因为(1x)6的展开式的第r1项为tr1cxr，x(1x)6的展开式中含x3的项为cx315x3，所以系数为15.2(2015湖南改编)已知5的展开式中含的项的系数为30，则a_.答案6解析5的展开式通项令r，则r1，ac30，a6.3(4x2x)6(xr)展开式中的常数项是_答案15解析设展开式中的常数项是第r1项，则tr1c(4x)6r(2x)rc(1)r212x2rx2rxc(1)r212x3rx，12x3rx0恒成立，r4，t5c(1)415.4若在(x1)4(ax1)的展开式中，x4的系数为15，则a的值为_答案4解析(x1)4(ax1)(x44x36x24x1)(ax1)，x4的系数为4a115，a4.5若(1x)(1x)2(1x)na0a1(1x)a2(1x)2an(1x)n，则a0a1a2(1)nan_.答案(3n1)解析在展开式中，令x2得332333na0a1a2a3(1)nan，即a0a1a2a3(1)nan(3n1)6(2015安徽)7的展开式中x5的系数是_答案35解析7的展开式的第r1项为tr1c(x3)7rrcx214r，令214r5，得r4，t5cx535x5.7(2015重庆)5的展开式中x8的系数是_答案解析二项展开式通项为tr1c(x3)5rr令158，解得r2，因此x8的系数为2c.8若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.答案10解析f(x)x5(1x1)5，它的通项为tr1c(1x)5r(1)r，t3c(1x)3(1)210(1x)3，a310.9设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m_.答案6解析(xy)2m展开式中二项式系数的最大值为c，ac.同理，bc.13a7b，13c7c.137.m6.10已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0c1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71 094.(3)()2，得a0a2a4a61 093.(4)方法一(12x)7展开式中，a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.方法二|a0|a1|a2|a7|，即(12x)7展开式中各项的系数和，令x1，|a0|a1|a2|a7|372 187.b组专项能力提升(时间：30分钟)11(2015湖北改编)已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为_答案29解析由题意，cc，解得n10.则奇数项的二项式系数和为2n129.12若(xa)2(1)5的展