matlab插值与曲线拟合实验报告 湖南大学.doc

湖南大学电气与信息工程学院数值计算课程 上机实验报告姓名：班级：学号：日期：指导老师：本次实验题号：第 次实验1) 实验目的：1) 用MATLAB实现拉格朗日插值和分段线性插值。2) 了解matlab实现曲线拟合方法的实际应用。2. 实验内容：1) 插值算法的应用：题目：用拉格朗日插值程序，分段线形插值函数分别研究f（X）的数据表，计算f(0.472)X0.460.470.480.49Y0.48465550.49375420.50274980.5116683 2) 曲线拟合方法的实际应用用电压V=10V的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压v(t)=V-(V-V0)e(-t/T)，其中V0是电容器的初始电压，T是充电常数。实验测量了一组数据如下，请根据数据表确定V0和T的大小。t0.51234579V(t)6.366.487.268.228.668.999.439.63三.算法介绍或方法基础1.1 拉格朗日插值法1.1.1 算法理论对某个多项式函数，已知有给定的k+1个取值点：其中对应着自变量的位置，而对应着函数在这个位置的取值。假设任意两个不同的xj都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：拉格朗日基本多项式 的特点是在 上取值为1，在其它的点 上取值为0。对于给定的 个点：，拉格朗日插值法的思路是找到一个在一点取值为1，而在其他点取值都是0的多项式。这样，多项式在点取值为，而在其他点取值都是0。而多项式就可以满足在其它点取值为0的多项式容易找到，例如：它在点取值为：。由于已经假定两两互不相同，因此上面的取值不等于0。于是，将多项式除以这个取值，就得到一个满足“在取值为1，而在其他点取值都是0的多项式”：这就是拉格朗日基本多项式。拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差。这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。1.2.2 算法描述对于已给定的点 和待估计的点的横坐标x，如上述理论，将其值代入计算出插值基函数的值，然后根据公式：计算出纵坐标的估计值，由此完成对该点的插值过程，其中k为该点插值的阶数。1.2 线性分段插值1.2.1 算法理论首先介绍线型插值，假设我们已知坐标 与 要得到 区间内某一位置x在直线上的值。根据图中所示，我们得到由于x值已知，所以可以从公式得到 y 的值已知求的过程与以上过程相同，只是与要进行交换。线性插值经常用于已知函数在两点的值要近似获得其它点数值的方法，这种近似方法的误差定义为：其中p表示上面定义的线性插值多项式根据罗尔定理，我们可以证明：如果f有二阶连续导数，那么误差范围是 正如所看到的，函数上两点之间的近似随着所近似的函数的二阶导数的增大而逐渐变差。从直观上来看也是这样：函数的曲率越大，简单线性插值近似的误差也越大。而分段线型插值就是把需要插值的区间依已给定的点 分为k-1段，每段利用其端点进行线型插值。1.2.2 算法描述利用已给定的点 对插值区间分为段，将每段的端点与 作为数据点利用公式在所构成的区间进行线性插值。1.3曲线拟合1.3.1 算法理论令待求的未知量为，它们可由个直接测量通过下列函数关系求得：若为真值，由上述已知函数求出真值，若其测量值为，则对应的误差为 最小二乘法可定量表示为： 将拟合函数取线性函数是一种简单的数据拟合方法，利用数据点确定线性拟合函数 称为对数据的线性拟合。对于线性拟合问题，需要求函数 的最小值点，该问题的几何背景是寻求一条直线，使该直线与数据表所确定的平面散点的纵向距离的平方和最小。由函数对两个变量求导得： 其余等于零，得正规方程组 也可将其矩阵形式写出来即：解得的值，将其代入 即可得到拟合线性函数。为了确定数据拟合问题，选用幂函数作为函数类，则 这就是多项式拟合函数.为了确定拟合函数的系数，需要求解正规方程组 也可以用矩阵形式表示为 解得最优解即可，将其代入即可得到拟合多项式。若用指数函数对数据进行拟合，则使用线性化方法，对等式两边求对数得：令得 对和进行线性拟合求出B， C,由此可进一步求出A。1.3.2 算法描述抛物线拟合数据,令然后对和进行线性拟合，求出参数a， b；用指数曲线拟合数据，先对纵坐标数据取对数，然后如上述理论对 和 进行线性拟合，进一步求出参数a，b。4. 程序1) Lagrange插值程序：function f = Language(x,y,x0)%求已知数据点的拉格朗日插值多项式%已知数据点的x坐标向量: x%已知数据点的y坐标向量: y%插值点的x坐标: x0%求得的拉格朗日插值多项式或在x0处的插值: fx=0.46 0.47 0.48 0.49;%input x datay=0.4846555 0.4937542 0.5027498 0.5116683;%input y datax0=0.472;%input x0 datasyms t l;if(length(x) = length(y) n = length(x);else disp(x和y的维数不相等！); return; %检错endp=sym(0);for (i=1:n) l=sym(y(i); for(k=1:i-1) l=l*(t-x(k)/(x(i)-x(k); end; for(k=i+1:n) l=l*(t-x(k)/(x(i)-x(k); end; p=p+l;endsimplify(p);%简化多项式 f = subs (p,t,x0); %计算插值点的函数值 f = vpa(f,9); %将插值多项式的值化成6位精度的小数end2) 分段线性插值函数：% fd.m 分段线性插值函数 function fdx=0.46 0.47 0.48 0.49;y=0.4846555 0.4937542 0.5027498 0.5116683;xi=0.472;n=length(x); m=length(y); if n=m error(X和Y向量的长度必须相同);return;end for k=1:n-1 if abs(x(k)-x(k+1)eps % x(k)-x(k+1) 的绝对值必须大于e error(数据有误); return;end if x(k)=xi&xi=x(k+1) % 保证 x(k) xi x(k+1) temp=x(k)-x(k+1); yi=(xi-x(k+1)/temp*y(k)+(xi-x(k)/(-temp)*y(k+1);fprintf(f(0.472)=%12.9fn,yi);return; end end 3) 曲线拟合函数：%求正则方程function f = quxiannihe( Vt,t)Vt=6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63;t=0.5 1 2 3 4 5 7 9;n=length(Vt);x=ty=log(10-Vt)q0=5;q1=sum(x,2);p0=sum(x,2);p1=sum(x.*x,2);d0=sum(y,2);d1=0;k=1;while k=nd1=d1+x(1,k)*y(1,k); k=k+1;endfprintf(%fa0+%fa1=%fn%fa0+%fa1=%fn ,q0,q1,d0,p0,p1,d1); end %Gauss消去法解线性方程组A=5 31.5; 31.5 185.25%系数矩阵b= 2.8813 -6.0125 %n维向量y=inv(A)*b ; %matlab的计算结果n=length(b);%方程个数n x=zeros(n,1);%未知向量 %-消去- for k=1:n-1 % if A(k,k)=0; % error(Error); % end for i=k+1:n;% A(i,k)=A(i,k)/A(k,k); Aik=A(i,k)/A(k,k) ; for j=k:n A(i,j)=A(i,j)-Aik*A(k,j); end b(i)=b(i)-Aik*b(k) ; %输出 A b endend%-回代-x(n)=b(n)/A(n,n);for k=n-1:-1:1 S=b(k); for j=k+1:n S=S-A(k,j)*x(j); end x(k)=S/A(k,k) ;endx %程序的计算结果 error=abs(x-ones(n,1)%误差五.实验结果插值算法的应用：1. 拉格朗日插值2. 分段线性插值曲线拟合方法的实际应用：拟合函数为，即 解得 6. 结果分析与解释求x=0.472时的函数近似值，得到3次插值结果为0.495560736,分段线性插值结果为。现在分析两种方法的插值余项：拉格朗日插值法的截断误差为由于随着插值次数的增高，误差项之中所除的阶乘部分快速增大而使误差相对缩小，但是次数过高时由于高阶导数上下界无法确定，而且多项式次数升高也可能会产生龙