（新课标）高考数学二轮复习 专题4 数列 第1讲 等差数列与等比数列 文.doc

第1讲等差数列与等比数列 等差、等比数列的基本运算1.(2015新课标全国卷)已知an是公差为1的等差数列,sn为an的前n项和.若s8=4s4,则a10等于(b)(a)172(b)192(c)10(d)12解析:设等差数列an的首项为a1,公差为d.由题设知d=1,s8=4s4,所以8a1+28=4(4a1+6),解得a1=12,所以a10=12+9=192,选b.2.(2015辽宁省锦州市质量检测(一)已知各项不为0的等差数列an满足a4-2a72+3a8=0,数列bn是等比数列,且b7=a7,则b2b8b11等于(d)(a)1(b)2(c)4(d)8解析:因为a4-2a72+3a8=0,所以a1+3d-2a72+3(a1+7d)=0,所以4(a1+6d)-2a72=0,即4a7-2a72=0,又a70,所以a7=2,所以b7=2,所以b2b8b11=b1qb1q7b1q10=(b1q6)3=b73=8.故选d.3.(2015河南郑州第二次质量预测)设等比数列an的前n项和为sn,若27a3-a6=0,则s6s3=.解析:设等比数列公比为q(q1),因为27a3-a6=0,所以27a3-a3q3=0,所以q3=27,q=3,所以s6s3=a1(1-q6)1-qa1(1-q3)1-q=1-361-33=(1+33)(1-33)1-33=28.答案:28等差、等比数列的性质及应用4.(2015河南省六市第二次联考)已知数列an为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为(c)(a)10(b)20(c)100(d)200解析:a7(a1+2a3)+a3a9=a1a7+2a3a7+a3a9=a42+2a4a6+a62=(a4+a6)2=102=100.故选c.5.设等比数列an中,前n项和为sn,已知s3=8,s6=7,则a7+a8+a9等于(a)(a)18(b)-18(c)578(d)558解析:因为a7+a8+a9=s9-s6,在等比数列中s3,s6-s3,s9-s6也成等比数列,即8,-1,s9-s6成等比数列,所以有8(s9-s6)=1,即s9-s6=18.故选a.6.(2015新课标全国卷)已知等比数列an满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2等于(c)(a)2(b)1(c)12(d)18解析:法一根据等比数列的性质,结合已知条件求出a4,q后求解.因为a3a5=a42,a3a5=4(a4-1),所以a42=4(a4-1),所以a42-4a4+4=0,所以a4=2.又因为q3=a4a1=214=8,所以q=2,所以a2=a1q=142=12.故选c.法二直接利用等比数列的通项公式,结合已知条件求出q后求解.因为a3a5=4(a4-1),所以a1q2a1q4=4(a1q3-1),将a1=14代入上式并整理,得q6-16q3+64=0,解得q=2,所以a2=a1q=12.故选c.7.(2015哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学第一次联合模拟)设sn是公差不为零的等差数列an的前n项和,且a10,若s5=s9,则当sn最大时,n等于(b)(a)6(b)7(c)8(d)9解析:依题意得s9-s5=a6+a7+a8+a9=0,所以2(a7+a8)=0,所以a7+a8=0,又a10,所以该等差数列的前7项为正数,从第8项开始为负数.所以当sn最大时,n=7.故选b.8.(2015东北三校第一次联合模拟)若等差数列an中,满足a4+a6+a2010+a2012=8,则s2015=.解析:因为a4+a6+a2010+a2012=8,所以2(a4+a2012)=8,所以a4+a2012=4.所以s2015=2015(a1+a2015)2=2015(a4+a2012)2=4030.答案:4030等差、等比数列的综合问题9.(2015甘肃二诊)设等差数列an的前n项和为sn,且满足s170,s180,s18=18(a1+a18)2=9(a10+a9)0,a10+a90,所以a100,s2a20,s9a90,s10a100,s11a110,s15a150,又s1s2a2a9,所以s1a1,s2a2,s15a15中最大的项为s9a9.故选c.10.(2015河北沧州4月质检)等差数列an中,a1=10,公差d=-2,记n=a1a2an(即n表示数列an的前n项之积),则数列n中的最大项是(a)(a)5(b)6(c)5或6(d)4解析:在等差数列an中,a2=8,a3=6,a4=4,a5=2,a6=0,故数列n中的最大项是5.故选a.11.(2015兰州高三诊断)在等比数列an中,已知a1=2,a4=16.(1)求数列an的通项公式;(2)若a3,a5分别为等差数列bn的第3项和第5项,试求数列bn的前n项和sn.解:(1)因为an为等比数列,所以a4a1=q3=8;所以q=2.所以an=22n-1=2n.(2)b3=a3=23=8,b5=a5=25=32,又因为bn为等差数列,所以b5-b3=24=2d,所以d=12,b1=a3-2d=-16,所以sn=-16n+n(n-1)212=6n2-22n. 一、选择题1.(2015云南第二次检测)设sn是等差数列an的前n项和,若a1a2=12,则s1s3等于(d)(a)13(b)14(c)15(d)16解析:s1s3=a1(a1+a2+a3)=a13a2,又a1a2=12,所以s1s3=16.故选d.2.(2015银川九中月考)已知数列an的前n项和为sn,a1=1,sn=2an+1,则sn等于(b)(a)2n-1(b)（32）n-1(c)(23)n-1(d)12n-1解析:由sn=2an+1得sn=2(sn+1-sn),所以sn+1=32sn.所以sn是以s1=a1=1为首项,32为公比的等比数列.所以sn=(32)n-1.故选b.3.(2015河北石家庄二模)等比数列an的前n项和为sn,已知s3=a2+5a1,a7=2,则a5等于(a)(a)12(b)-12(c)2(d)-2解析:设公比为q,因为s3=a2+5a1,所以a1+a2+a3=a2+5a1,所以a3=4a1,所以q2=a3a1=4,又a7=2,所以a5=a7q2=24=12.故选a.4.已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10等于(d)(a)7(b)5(c)-5(d)-7解析:法一利用等比数列的通项公式求解.由题意得a4+a7=a1q3+a1q6=2,a5a6=a1q4a1q5=a12q9=-8,所以q3=-2,a1=1或q3=-12,a1=-8,所以a1+a10=a1(1+q9)=-7.法二利用等比数列的性质求解.由a4+a7=2,a5a6=a4a7=-8,解得a4=-2,a7=4或a4=4,a7=-2.所以q3=-2,a1=1或q3=-12,a1=-8,所以a1+a10=a1(1+q9)=-7.故选d.5.(2015兰州高三诊断)已知等差数列an的前n项和为sn,若a4=18-a5,则s8等于(d)(a)18(b)36(c)54(d)72解析:因为a4=18-a5,所以a4+a5=18,所以s8=8(a1+a8)2=8(a4+a5)2=8182=72.故选d.6.(2014郑州市第二次质量预测)在数列an中,an+1=can(c为非零常数),前n项和为sn=3n+k,则实数k为(a)(a)-1(b)0(c)1(d)2解析:由an+1=can,可知an是等比数列,设公比为q,由sn=a1(1-qn)1-q得sn=-a11-qqn+a11-q,由sn=3n+k,知k=-1.故选a.7.设an是公差不为零的等差数列,满足a42+a52=a62+a72,则该数列的前10项和等于(c)(a)-10(b)-5(c)0(d)5解析:设等差数列an的首项为a1,公差为d(d0),由a42+a52=a62+a72得,(a1+3d)2+(a1+4d)2=(a1+5d)2+(a1+6d)2,整理得2a1+9d=0,即a1+a10=0,所以s10=10(a1+a10)2=0.故选c.8.(2015北京卷)设an是等差数列,下列结论中正确的是(c)(a)若a1+a20,则a2+a30(b)若a1+a30,则a1+a20(c)若0a1a1a3(d)若a10解析:因为an为等差数列,所以2a2=a1+a3.当a2a10时,得公差d0,所以a30,所以a1+a32a1a3,所以2a22a1a3,即a2a1a3,故选c.9.(2015大连市二模)已知等差数列an的前n项和为sn,a2=4,s10=110,则sn+64an的最小值为(c)(a)7(b)152(c)172(d)8解析:设等差数列an的公差为d,则a2=a1+d=4,s10=10a1+1092d=110,解得a1=2,d=2.所以an=2+2(n-1)=2n,sn=2n+n(n-1)22=n2+n,所以sn+64an=n2+n+642n=n2+32n+122n232n+12=172.当且仅当n2=32n,即n=8时取等号.故选c.10.设数列an,则有(c)(a)若an2=4n,nn*,则an为等比数列(b)若anan+2=an+12,nn*,则an为等比数列(c)若aman=2m+n,nn*,则an为等比数列(d)若anan+3=an+1an+2,nn*,则an为等比数列解析:a.若a1=-2,a2=4,a3=8,满足an2=4n,nn*,但an不是等比数列,故a错;b.若an=0,满足anan+2=an+12,nn*,但an不是等比数列,故b错;c.若aman=2m+n,m,nn*,则有aman+1aman=an+1an=2m+n+12m+n=2.所以an是等比数列,故c正确;d.若an=0,满足anan+3=an+1an+2,nn*,但an不是等比数列,故d错.二、填空题11.(2015黑龙江高三模拟)等差数列an中,a4+a8+a12=6,则a9-13a11=.解析:设等差数列an公差为d,因为a4+a8+a12=6,所以3a8=6,即a8=a1+7d=2,所以a9-13a11=a1+8d-13(a1+10d)=23a1+143d=23(a1+7d)=232=43.答案:4312.(2015宁夏石嘴山高三联考)若正项数列an满足a2=12,a6=132,且an+1an=anan-1(n2,nn*),则log2a4=.解析:因为an+1an=anan-1(n2,nn*),所以an2=an-1an+1,所以数列an为等比数列.又a2=12,a6=132,所以q4=a6a2=116.因为数列为正项数列,所以q0,所以q=12.所以a4=a2q2=1214=18,所以log2a4=log218=-3.答案:-313.(2015安徽卷)已知数列an中,a1=1,an=an-1+12(n2),则数列an的前9项和等于.解析:因为a1=1,an=an-1+12(n2),所以数列an是首项为1、公差为12