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套子代数上j o r d a n 映射的可加性及双导子 冯 珊 摘要算子代数理论产生于2 0 锻纪3 0 年代，是- i - j 比较年轻的学科它 与量子力学，非交换几何，线性系统，控制理论，数论以及其他一些重要数学分 支都寿着广泛豹联系释相互渗透伴随着它在其豫学科中的应甭，这一理论有了 很火发展，邑经成为现代数学中一个令人关注的分支非自伴算予代数是算子代 数中一个重要的研究领域，丽套代数是一类最重要的菲囱伴算子代数近每来国 内外很多学者专家都对该代数上的映射进行了深入研究，发展了很多新颖柏证明 方法和技巧，并不断的提出新思路，线性保持问题及导子都是被研究的方向本 文主要对因子v o nn e u m a n n 代数中套予代数上的双边僳反零积蠢保单位是的线 性映射，双边保反零积但不保单位元的线性映射，j o r d a n 基本映射的自动可加 性，j o r d a n 映射的自动可加惶，套代数上的双导子及广义双导子进行了讨论。本 文共分四章，其体内容如下： 第一章主要介绍了本文中要用到的一些符号，定义以及后面要用到的一些定 理等海容吴俸介缨了因子y o nn e u m a n n 代数，套代数等概念，弗给出了本文所 需的几个已知结果 第二章烹要对因子v o nn e u m a n n 代数中套子代数上保反零积的线性映射进 行了研究证明了困予v o nn e u m a n n 代数中两个套子代数之闻双边保反零积且 保单位元的线性满射是反同构接着又在去掉保单位元这一条件的情况下，证明 了因子v o nn e u m a n n 代数幸套子代数判骞身懿双边保获零积豹线性满聚是反塞 同构的一个非零常数倍 第三章主要针对套子代数上映射的自动可加性进行了讨论首先对因子v o n n e u m a n n 代数中套子代数上j o r d a n 映射进行了讨论，证明了此类代数上的j o r d a n 双射是自动可加的；然后讨论了因子v o nn e u m a n n 代数中套子代数上j o r d a n 基 本唳射，并证明此类代数上的j o r d a n 慕本满射舆有自动可加性 第四章主要对套代数上的双导子和广义双导子进行了讨论给出了套代数上 每一个双导子是一个内双导子的特征刻凰；并栏类似条件下，证明了套代数上每 一个广义双昂子都是一个鑫广义双导予 关键词：v o nn e u m a n n 代数，保反零积线性映射，j o r d a n 映射，j o r d a n 基 本映射，可加性，双导子，广义双导子 a d d i t i v i t yo fj o r d a nm a p sa n db i d e r i v a t i o n so n n e s ts u b a l g e b r a s s h a nf e n g a b s t r a c tt h es t u d yo fo p e r a t o ra l g e b r ab e g a ni n3 0 t i m e so ft h e2 0 t hc e n t u r y t h o u g hc o m p a r yw i t hs o n i co t h e rt h e o r yi ti sr e l a t i y e l yu e w ，b u ti th a su n e x p e c t e d a p p l i c a t i o ni ns o m em a t h e m a t i ct h e o r ya n do t h e rs u b j e c t s u c ha sq u a n t u mm e - c h a n i c s ，n o n c o m m u t a t i v eg e o m e t r y , l i n e a rs y s t e m ，c o n t r a lt h e o r y , n u m b e rt h e o r y a n ds o m eo t h e ri m p o r t a n tb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s a c c o m p a n yw i t hi t su s i n gi n o t h e rs u b j e c t s ，t h i st h e o r yd e v e l o p e dal o t n o wi th a sb e c o m eah o tb r a n c hi nm o t d a nm a t h e m a t i c s ，t h ec l a s so fn o n s e l f a d j i o n to p e r a t o ra l g e b r a si sa ni m p o r t a n t d o m a i ni no p e r a t o ra l g e b r ar e a s e r c h i n g a n dn e s ta l g e b r a sa r et h em o s ti m p o r t a n t k i n di nn o n s e l f a d j i o n to p e r a t o ra l g e b r a s i nr e c e n ty e a r s ，m a n ys c h o l a rb o t hh e r e a n da b r o a dh a v ef o c u s e do nt h e mal o t t h e yh a v ed o n em a n yw o r k s ，n o to n l y r a i s i n gm a n yn e wt h i n k i n g s ，b u ta l s oi n t r o d u c i n gm a n ya d v a n c e dm e t h o d s i nt h i s p a p e rw ep a yo u ra t t e n t i o no ns o m em a p so nn e s ta l g e b r a sa n dn e s ts u b a l g e b r a so f f a c t o ry o nn e u m a n ua l g e b r a ，s u c ha sl i n e a rm a p st h a tp r e s e r v i n ga n t i - z e r op r o d u c t ，m a p st h a tc a na d d i t i v ea u t o m a t i c a l l y , b i d e r i v a t i o na n dg e n e r a l i z e db i d e r i v a t i o n t h ed a t a i l sa sf o l l o w i n g i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m en o t i o n s ，d e f i n i t i o n sa n ds o m ew e l l - k n o w n t h e o r e m s w ei n t r o d u c e ds o m ec o n c o p t s ，s u c ha sf a c t o ry o nn e u m a n na l g e b r a s ， n e s ta l g e b r a sa n ds oo i l ，a n dg i v es o m ew e l l k n o w nt h e o r e m st h a tw ew i l lu s ei nt h i s p a p e r i nc h a p t e r2 ，w ep u to u ra t t e n t i o no nl i n e a rm a p st h a tp r e s e r v i n ga n t i z e r o p r o d u c to nn e s ts u b a l g e b r a so ff a c t o ry o nn e u m a n na l g e b r a s f i r s t ，w ep r o v e d t h a te v e r yl i n e a rm a p st h a tp r e s e r v i n ga n t i - z e r op r o d u c ta n du n i tf r o mo r e ，n e s t s u b a l g e b r ao ff a c t o rv o nn e u m a n na l g e b r at oa n o t h e ri sa na n t i i s o m o r p h i s m t h e n w ep r o v e dt h a te v e r yl i n e a rm a p st h a tp r e s e r v i n ga n t i z e r op r o d u c tb u tw i t h o u tu n i t o nn e s ts u b a i g e b r a so ff a c t o ry o nn e u m a n na l g e b r a st oi t s e l fi san o n z e r os c a l a r m u l t i p l ya n t i a u t o m o r p h i s m i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s ss o m em a p st h a tc a na d d i t i v ea u t o m a t i c a l l y ，f i r s t ， w ep r o v e dj o r d a nm a p sw i t hs o m ec o n d i t i o nt h a t0 nn e s ts u b a l g e b r a so ff a c t o ry o n n e u m a n na l b e b r a sc a na d d i t i v ea u t o m a t i c a l l y t h e nw ep r o v e dj o r d a ne l e m e n t a r y m a p sw i t hs o m ec o n d i t i o nt h a to nn e s ts u b a l g e b r a so ff a c t o rv o nn e u m m m a l g e b r a s c a na d d i t i v ea u t o m a t i c a l l ya l s o i i i nc h a p t e r4 ，w ep a yo u ra t t e n t i o no nb i d e r i v a t i o na n dg e n e r a l i z e db i d e r i v a t i o n s o fn e s ta l g e b r a s w eg i v eac h a r a c t e r i s a t i o ns u c ht h a te v e r yb i d e r i v a t i o no ni ti sa n i n n e rb i d e r i v a t i o n t h e nw ed i s c u s sg e n e r a l i z e db i d e r i v a t i o na n dp r o v et h a te v e r y g e n e r a l i z e db i d e r i v a t i o ni sa ni n n e rg e n e r a l i z e d b i d e r i v a t i o nu n d e rs o u s ec o n d i t i o n s k e y w o r d s v o nn e u m a n na l g e b r a s ，l i n e a rm a p sp r e s e r v i n ga n t i - z e r op r o d u c t ，j o r d a nm a p ，j o r d a ne l e m e n t a r ym a p ，a d d i t i v i t y , b i d e r i v a t i o n ，g e n e r a l i z e db i d e r - i v a t i o n i i i 学位论文独创性声明 v9 0 0 5 7 2 蓝 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指替下进行驰研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已缀注明弓l 罔驰内容外，论文巾不毽含其娃个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学绒其它教育机构的学位 或证书而使用过韵材料。对本文的研究傲出重要贡献的个人和集体，均已在文中 终了明确说明并表示港意。 作者签名：! 丕亟鳗_ 日期：鲤蒸歪 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本入保证毕韭离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名攀位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 予版和纸质版：有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 霞书馆、院系资料室技查阕；有权将学位论文的f 容编入有关数獭库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 前言 算子代数是泛函分析中的一个极其重要的研究领域，宦2 0 世纪3 0 年代， f j m u r r a y 和j v o i ln e u m a n n 创立算子代数理论以来，已得到了迅速发展。它 的研究不仅具有十分震要的理论价值，同时具有广泛的戍用前景现在这一理论 已成为现代数学孛豹一个热辩分支，它与量子力学，菲交换几倍，线性系统葙控 制理论，甚至数论都有着相互的联系和渗透其中非自伴算子代数是算子代数的 一个蓬要分支，其目的是研究点伴算子代数( v o nn e u m a n n 代数和口一代数) 中 非自伴子代数的结构和性质套代数就是一类最重要的非自伴代数，它的有限维 模型就是上三角块矩阵代数，而无限维则要复杂的多 最近十蔻年，缀多学者嫘b r e a r ，k a k e d a ，s a i t 5 ，m o l n 矗r ，j i n c h u a nh o u ， j i a n h u az h a n g ，f a n g - y a hl u 等先后对套代数上的保零积映射，j o r d a n 映射， j o r d a n 基本映射，双导子，广义双导子等几类闯题进行了深入的研究，并提出了 新的研究思路和方法，这些阍题都已成为套代数的重要研究内容 在j i n 。c h u a nh o u 教授等人的文章【1 ，1 3 1 中大量采用了一秩算子的手法来证 明套 弋羧上的线性保持问题，但是因子v o nn e u m a n n 代数豹套予代数上蘸无法使 用逸一手法，主要由于套代数和v o nn e u m a n n 代数中的套子代数有着根本的区 别，如套代数包含丰富的结构清晰的一秩算子，所以在同样问题提出的情况下我 们需要考虑在因子v o nn e u m a n n 代数约套子代数上是否也戚立及如何证明在 文章中我们采用j i a n h u az h a n g 教授的证明办法，成功诞明了一些问题在 2 0 】 孛j i a n - h u az h a n g 教授砑究了因子v o rn e u m a n n 代数的套子代数上双良保零积 的满射，分别得到当映射同时也保单位元及不保单位元两种情况下映射的具体形 式，指出它们分别是一个同构和一个自同构的非零常数倍迄今研究保反零积的 文章鲜有发表，受j i a n h u az h a n g 教授文章中惫想的启发，我f f j 礤究了双向傈反 零积的满射，也得到两种情况下的具体形式，证得了双向保反零积及单位元的映 射是一个反同梅，蔼一个双良保反零积但不保单位元的映射是一个反自同梅的非 零常数倍，和文章f 2 0 】一起完整的刻画出了保零积的具体形式 在f 1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 3 1 中f a n g - y a nl u 等人大量研究了标准代数上的满射，我们试 匿也在闲子y o nn e u m a n n 代数的套子代数上研究露类问题在【2 3 l 中z h e n g - c h u l i n g 和f a n g - y a nl u 研究了套代数的标准子代数上的r j o r d a n 映射，证明了此 类映射是自动可加的，受其影响，我们讨论了因子v o n n e n m a n n 代数的套予代数 上的r - j o r d a n 映射，最后证明了此类映射也是自动可加的在【1 9 1 中p e n g - t o n g l i ，f a n g y a nl u 研究了从套代数的标准子代数到另一代数的i 1 一j o r d a n 基本映射 是自动可魏匏，焉我靛把就类映射定义到因子v o nn e u m a n n 代数豹套子代数上， 并将i 1 扩大列任意取定的非零实数，并且也得到此类映射自动可加这样我们不 仅丰富了因子v o nn e u m a n n 代数的套子代数上映射的类型，也使得自动可加性 在因子v o nn e u m a n n 代数的套子代数上得到了检验 在讨论了因子v o nn e u m a n n 代数的套子代数上的一些保持问题之后，我们 又回到复可分h i l b e r t 空间的套代数导子是算子代数上的一类重要的变换近 几十年来，关于寻找一个使映射成为导子的条件的研究引起了许多数学家的注 意，大量非常深刻的结论不断涌现，新的研究课题不断提出，双导子就是一例在 第四章的第二节我们首先证明了在给出空间的一个特征刻画时，双导子是内双导 子，并得到了一个推论，然后又举了一个特殊例子，且由此例证明了另一定理， 即双导子是内双导子当且仅当空间具有类似特征刻画，说明了空间特征刻画的重 要性在第三节中，我们主要证明了在一定的空间特征刻画下广义双导子是内广 义双导子，并得到了两个推论 2 第一章预备知识 1 1 引言 本章主要介绍了文章中用到的一些符号，定义以及证明过程中要用到的一些 重要定理第二节主要介绍了v o l ln e u m a n n 代数，因子y o nn e u m a n n 代数，套 代数等概念；第三节给出几个重要定理 下面介绍文章中用到的主要符号；设咒是复可分的h i l b e r t 空间；b ( n ) 表 示咒上的全体有界线性算子我们给出两种套及套代数的定义，实质上它们是一 样的，只是在证问题时各有优点，在本文中两种定义我们视定理证明的需要都会 用到，所以有必要一一介绍 第一种若w 是复可分h i l b e r t 空间，b ( u ) 是“上的全体有界线性算子 一个套就是一个包含 o ，咒) 且强算子拓扑闭的闭子空间的全序集对套中的 每一个闭子空间n ，令 i = 八 m 人厂：md )肌= m ：mc ) 和一个套有关的代数记为r 0 厂) ，即7 - 厂) = t b ( u ) ：t ncn ，v n 厂) 第二种m t 3 ( n ) 是w 上的v o r l n e u m a n n 代数；m 中的套卢是指m 中包 含 0 ， 且在强算子拓扑下连续的全序正交投影簇；m 中对应于套口的套子代数 记为a l g m 卢，其中a l g m f l = t m ：p t p = tp ，v p p ；由投影 p 】p 卢) 生成 的v o i in e u m a n n 代数称为卢的核，记为c ( 8 ) ；y o nn e u m a n n 代数( a l g m z ) n ( a l g m 卢) + 称为a l g m 卢的对角，记为口m ( p ) ；冗_ 】l 彳( p ) 表示由 p t p 上，p 卢，t m 生成的 范数闭的子代数 由于咒中的每一个闭子空间都唯一的和u ( n ) 中的一个正交投影一一对应， 所以这两种定义实际上是等价的 具体的，在文章的第四章会用到第一种定义，在第二，三章则会用到第二种 定义 1 2 基本概念 定义l 2 1 【4 】设m 是作用在复可分的h i l b e r t 空间“上的v o r ln e u m a n n 代 数，称m = s ：t s = s t ，v t m ) 为m 的一次换位子；类似称( m ) = m ” 为m 的二次换位子 定义1 2 2 1 4 咒中的v o nn e u m a n n 代数m 是b ( n ) 中满足m = m ”的+ 一 子代数 定义1 2 3 1 4 1 设m 是y o nn e u m a n n 代数，称mnm 为m 的中，5 - ，记为 z ( m ) 3 定义1 2 4 1 3 1 设m 是v o nn e u m a n n 代数，若m 的中心z ( m ) = c i ，则称 m 是因子的，其中c 表示复数域 1 3 预备定理 命题1 3 1 【l 】设m 是v o l ln e u m a n n 代数，p ( m ) 表示m 中的所有投影构 成的集合则m 是由p ( m ) 生成的y o nn e u m a n n 代数 命题1 3 2 【1 】设卢是b a n a c h 空间的爿上的套，a l 驴是相应的套代数，则 a l g z 是u ( x ) 的弱闭子代数 命题1 3 3 n 套代数的换位是平凡的，即套代数的换位由恒等算子的常数倍 组成 4 第二章因子v o l ln e u m a n n 代数中套子代数上的保反零 积线性映射 2 1 引言 设4 ，疗是两个代数，西：叶8 是一个线性映射如果a b 一0 当且仅当 西( b ) 币( 脚= 0 ，b 4 ) ，则称面是双向保反零积的矩阵代数和算子代数上的 线性缣持| 可题的讨论是近几十年来很活跃的研究课题之一倒如，傈谱泌，6 b 保 秩【7 】，保相似性【8 ，9 】及保数值域( 半径) 【l o 】等这些研究成果加深了人们对于线 性结构与代数结梅之阍关系的理解，同时也为算予代数的进一步砑究提供了谗多 新的技巧和方法( 见 3 ，1 1 1 2 ) 本章主要研究因予y o nn e u m a n n 代数中套子代数 上双向保反零积的线性映射，并得到因子v o nn e u m a n n 代数中非平凡套子代数 上煞簿一个双向保反零积及单位酶线性满射均是反商拷，丽一个弱连续的双向保 反零积但不保单位的线性满射则是一个反同构的非零常数倍 2 2 保反零积且保单位的线性映射 在这节串我们主要得蓟以下结果： 定理2 2 1 设卢，- y 是因子v o i ln e u m a n n 代数m 中的两个非平凡套，西： a l g 材p - a l g m 7 是一个线性满射并满足圣( d = i ，以及t s 一0 当鼠仅当 垂( s ) 西( 邛= 0 ( s t a l g m 卢) 则西是反同构，邵对任崽的a ，b a l g m p 郡 有圣( a b ) = 毋( 曰) 壬( a ) 为了证明定理2 2 1 ，我锕需簧一些弓l 理。首先，由定理1 中的条 睾。容易终 到以下的引理 引理2 2 1 ( a ) 垂怒一个单射，从丽垂是双射 ( b ) 对任意幂等元e 砒g f p 有圣( 明= 圣( 四) 2 ； ( c ) 设p 屈则对任意t a , l g m p 有( 尸) 毋( t ) 中( p 上) = 0 雩l 理2 2 2 设p 威尉零( 月p m p l ) = 圣( p 土) 掰圣( p ) 。 证明显然，对任意t a l g u p 有 从而 这说明 零f p ) 圣( p f p 上) = 蛋( p t p 上) 釜( p i ) = 0 垂( p t p 上) = ( 零( p ) + 圣( p 上) ) 垂( p ，p 上) ( 圣( p ) + 圣( p 土) ) = 圣( p 1 ) 西( p t p 上) 西( p ) 圣( p a 耋p 土) 冬釜( p 上) 万西( _ p ) 5 另一方面，由引理2 , 2 1 ( c ) 及垂的满性可得 ( i ) ( p ) a l g m t 垂( p 上) = 0 特别地，对任意q 7 我们有 中( p ) q m q l 圣( p 1 ) = 0 ( 2 ) 由于m 是因子，则由( 2 ) 式知垂( p ) q = 0 或者q 上西( p 上) = 0 从而 圣( p 1 ) m 西( p ) ca l g f 7 又中。仍然是一个保反零积的线性满射，于是 西_ 1 ( 西( 尸上) t 圣( 尸) ) p = p j 。中- 1 ( 圣( p 上) t 圣( p ) ) = 0 从而 圣一1 ( 圣( 尸上) 丁圣( p ) ) = 尸垂_ 1 ( 圣( p 上) 丁西( p ) ) p 上 即， 西一1 ( 圣( p 上) 且4 雪( p ) ) p m p 上 这说明 中( p 上) m 西( _ p ) 西( 尸m p 上) ( 3 ) 由( 1 ) 和( 3 ) 式，则西( p m p 上) = 西( 尸上) m 西( p ) 证毕 引理2 2 3 设e ，f a l g m 卢是幂等元，则对任意a a l g m 卢有西( e a f ) = 由( f ) 西( a ) 垂( e ) 证明显然，西( e a ) 西( e 1 ) = 垂( e 上a ) 币( e ) = 圣( f 上) 圣( a f ) = 圣( f ) 西( a f 上) = 0 由此可得 垂( e a ) = 圣( j 4 ) ( e ) ，西( a f ) = 圣( f ) 西( a ) 因此西( e a f ) = 西( a f ) 圣( e ) = 垂( f ) 垂( a ) 西( e ) 证毕 由于圣( j ) = j ，从而由引理2 2 3 可得下面的推论 推论2 2 1 设e ，f a l g m p 是幂等元，则圣( e f ) = 圣( f ) 圣旧) 由推论2 2 1 及引理2 2 3 的证明可以得到以下推论 推论2 2 2 设4 是一个含单位元的b a n a c h 代数且其幂等元的线性张在a 中是范数稠的，那么由4 到自身的范数连续的保单位元和双向保反零积的线性 满射是反自同构特别地，由v o nn e u m a n n 代数到自身的上范数连续的保单位元 和双向保反零积的线性满射是反自同构 6 定理2 2 1 的证明取定p 是p 中的一个非平凡的投影，则对任意t m 都 有p + p t p 上是a l g m 3 中的幂等元在引理2 2 3 中，取e = i ，f = p 十p t p 上， 则 圣( p + p t p 上) 壬( a ) = 垂( a ( 尸+ p t p 上) ) = d h ( a p ) + a 2 ( a p t p 上) = 垂( p ) 圣( a ) + 西( a p t p 上) 从而对任意a a l g m 卢和t m 有 西( a p t p 上) = 垂( p t p 上) 圣( a ) ( 4 ) 再由引理2 2 3 ，我们类似可得：对任意a a l g m 卢和t m 有 圣( p r p 上a ) = 圣( a ) 中( p t p 上) ( 5 ) 对任意的a ，b a l g m f l 和t m ，由( 4 ) 式，我们有 a 2 ( a b p t p l ) = d ! p ( p t p l ) 垂( a b ) ( 6 ) 另一方面，再由( 4 ) 式可得 ( d ( a b p t p 上) = ( ( a p b p t p l ) = 面, ( p b p t p 上) 圣( a ) = 圣( b p t p 上) 西( a ) = 圣( p t p 上) 圣( b ) 垂( a ) 由此和( 6 ) 式，则对任意的a ，b a l g m f l 和t m 都有 垂( p t p l ) p ( a b ) 一中( b ) 中( a ) 】= 0 从而由引理2 2 2 可知圣( p 上) m 中( p ) 睁( a b ) 一m ( b ) 西( a ) 】= 0 v o l ln e u m a n n 代数，于是对任意的a ，b a l g m 有 西( 尸) f 西( a b ) 一西( b ) 圣( a ) 】= 0 由( 5 ) 式，我们类似可得：对任意a ，b a l g 。1 9 有 又m 是一个因子 ( 7 ) o d ( a b ) 一m ( b ) 垂( a ) 】垂( p 上) = 0 ( 8 ) 由引理2 2 1 ( b ) ，引理2 2 3 及( 4 ) ，( 5 ) 两式，则对任意的a ，b a l g f 卢有 壬( p 1 ) 垂( a b ) 西( p ) = 垂( p a b p 上) = 垂( p a p b p l ) + # ( p a p 上b p l ) = 垂( p b p 上) 圣( 尸a ) + 圣( 口p j 。) 西( p a p ) = 圣( 尸上) 中( b ) 垂( p ) 圣( a ) 西( p ) + 西( p 1 ) 西( 日) 西( p 1 ) 圣( a ) 垂( p ) = 西( 尸1 ) 垂( b ) 垂( a ) 壬( p ) 由( 7 ) 和( 8 ) 式，因此任意的a ，b a l g 吖p 有圣( a b ) = 圣( b ) 圣( a ) ，证毕 推论2 2 3 设卢，y 是b ( n ) 中的两个非平凡的套，中：a l g ( 卢) _ a l g ( 7 ) 是一 个线性满射并满足圣( ，) = i 以及t s = 0 当且仅当西( s ) 圣( t ) = o 慨t a l g ( f 1 ) 那么存在一个可逆算子t b ( 咒) ，及一个咒上的共轭的线性对合t ，使得对任意 a a l g ，有垂) = t j a + j t 7 2 3 保反零积但不保单位的线性映射 在本节我们主要得到以下结果： 定理2 3 1 设卢是因子v o nn e u m a n n 代数m 中的一个非平凡套，中：m g 肘f l _ a l g m 卢是一个弱连续的线性满射并满足t s = 0 当且仅当垂( s ) 中( t ) = 0 ( s ，t a l g m p ) 则西是反自同构的非零常数倍，即存在非零常数a c ，使得对任意的 a ，b a l g u f l 都有中( a b ) = a 圣( b ) 垂( a ) 为了证明定理2 3 1 ，我们需要一些引理 引理2 3 1 圣( j r ) = a i ，a c ，a o 证明对任意幂等元e a l g m f l ，容易得到 圣( ) 西( e ) = 圣( e ) 圣( d = 垂( e ) 2 由于口m ( 卢) 是v o l ln e u m a n n 代数及西的弱连续性，这样对任意的d d m ( 卢) 就有 西( ，) 圣( d ) = 西( d ) 西( ，) 任取投影p 卢及t m ，均可得到a l g m p 中的一个幂等元p + p t p l ，带入上式 我们有 4 2 ( i ) a 2 ( p t p l ) = f f , ( p t p l ) 西( ，) 由于线性空间 p t p 上，p 卢，t m ) 在r c m ( f 1 ) 中是范数稠的，故对任意的 r 冗_ ! l f ( 卢) ) 就有 西( j ) 圣( r ) = 圣( 冗) 垂( ，) 因为冗吖( p ) + d m ( 卢) 在a l g m 卢中是弱稠的以及圣是弱连续的这样对任意的 a a l g 吖p 有下式成立 西( ，) 西( a ) = 圣( a ) 西( ，) ， 又因为西是满射，所以西( j ) ( a l g m 卢) = c j ，故一定存在入c ，使得圣( j ) = a i ，a c ，且a o ( 否则容易推出矛盾) 由于a 0 及垂是线性的，自然地我们令垂( j ) = i ，易证垂是单射，这样 由q 也存在，并且西_ 1 也是双向保反零积的 引理2 3 2 有下列结论成立 ( 1 ) 对任意的幂等元e a l g m 卢，均有圣( e ) = 圣( e ) 2 成立； ( 2 ) 若p 是卢中的任意投影，任意t a l g m f l ，则有圣( p ) 西( t ) 垂( p 上) = 0 成 立； ( 3 ) 西b 是保序的； 证明( 1 ) ，( 2 ) 均容易得到，这里只证明( 3 ) 成立 8 ( 3 ) 若只q 均为p 中投影，且有psq ，即q p = p q = p 成立，则易证 q p 为a l g 。卢中的一个幂等元，由结论( 1 ) 有 壬( q ) 一中( p ) = ( 圣( q ) 一中( p ) ) 2 整理后即为 2 q s ( p ) = 垂( p ) 西( q ) + 圣( q ) 垂( p ) 针对上式分别左乘，右乘，左右均乘西( p ) ，经过整理就得到 西( q ) 垂( 尸) = 圣( p ) 中( q ) = 圣( p ) 这样就证得西( p ) 曼西( q ) ，即垂b 是保序的 引理2 3 3 对任意的pep ，均有 由( p m p 上) = 圣( p 上) m 西( 尸) 证明证明同上节中引理2 2 2 引理2 3 4 对任意的c c ( f 1 ) ，d 口m ( 卢) ，均有 一b ( c d ) = 西( g ) 圣( d ) = 圣( d ) 圣( e ) 证明由于c ( p ) ，口m ( p ) 均为y o nn e u m a n n 代数且垂是弱连续的，故只需考 虑c ( 卢) ，口m ( 卢) 中的投影即可，若e 是c ( 卢) 中投影，f 是d m ( 卢) 中投影，且 e f = f e ，利用圣的性质，容易计算得到下面两式成立 圣( f ) 圣( e )= 西( f ) ( 圣( e f ) + 圣( e f 上) ) = 由( f ) 圣( e f ) = ( 西( f ) + 圣( f 1 ) ) 圣( e f ) = 圣( e f ) ， 西( e ) 垂( f ) = e h ( e ) ( g g ( f e ) + 由( f e 上) ) = 垂( e ) 西( f e ) = ( 西( e ) + 中( e 1 ) ) 币( f e ) = 西( f f ) 综合两式我们就证得了引理2 3 4 引理2 3 5 对任意的d 口m ( p ) ，a 冗m ( 卢) ，均有下面两式成立 西( d a ) = 西( a ) 圣( d ) ，圣( a d ) = 垂( d ) 西( a ) 证明由于口m ( 卢) 为v o nn e u m a n n 代数，线性空间 p t p 上，p 卢，t m 在冗m ( 卢) 中是范数稠的，且西是弱连续的，故只需考虑d m ( 卢) 中的投影及p t p 上 9 形式的元即可，若q 是d m ( p ) 中投影，p 为卢中任意投影，任取t m ，利用 西的性质，容易计算得到下面两式成立 , 垂( q p t p l ) = 西( q p t p j 。) ( 西( q ) + 西( q 1 ) ) = , d ( q p t p l ) 中( q ) = ( o ( q p t p l ) - b 中( q 上p t p 上) ) 西( q ) = 西( p t p 上) 垂( q ) ， 西( p t p l q ) = ( 中( q ) + 垂( q 上) ) o ( p t p 上q ) = 垂( q ) o ( p t p l q ) = o ( q ) ( o ( p t p 上q ) + o ( p t p l q 上) ) = o ( q ) 垂( p t p 上) 综合两式我们就证得了引理2 3 5 引理2 3 6 对任意的g ，d z ) m ( f 1 ) ，均有 垂( g d ) = 垂( d ) 垂( g ) 证明由引理2 3 5 知若p 为p 中任意非平凡投影，任取t m ，则 ( p ( c d p t p 上) = 西( p t p l ) 圣( c d ) 同时 圣( c d p t p 上) = 西( d p t p 上) 中( g ) = 中( p t p l ) 中( d ) 面( c ) 由上面两式得到 o ( p t p 上) ( 圣( g d ) 一西( d ) 西( g ) ) = 0 再由引理2 3 3 ，就有 o ( p 上) m o ( p ) ( o ( c d ) 一圣( d ) 垂( c ) ) = 0 因为m 是因子的，故 同理也有 o ( p ) ( o ( c d ) 一西( d ) 西( c ) ) = 0 ( o ( c d ) 一西( d ) 中( e ) ) 西( p 上) = o 另外，由引理2 3 4 可得 圣( p 上) ( 中( g d ) 一圣( d ) 圣( e ) ) 圣( p ) =垂( 尸1 c d ) o ( p ) 一o ( p 1 d ) o ( c p ) o 综上所述，故 圣( e d ) 一西( d ) 垂( e ) = ( 西( p 1 ) + 西( p ) ) ( 西( g d ) 一面( d ) 西( g ) ) ( 壬( 尸上) + 垂( p ) ) = 0 引理2 3 7 对任意的a ，b 亿m ( p ) ，均有 西( a b ) = 中( 日) 圣( a ) ， 证明由于线性空间 p t p l ，p 卢，t m ) 在亿m ( p ) 中是范数稠的，且垂 是弱连续的，故只需考虑对任意两投影p q 卢，x ，y m ，是否有下面等式成立 西( p x p 上q y q 上) = o ( q y q 上) 圣( p x p 上) 如果p q ，则q 上p 1 ，这样p 1 q = 0 ，显然 ( p x p l q y q l ) = 垂( q y q l ) 圣( p x p 上) = o 如果p p 1 于是 q 上 p 上，这样就得到q p 上 只于是 q 1 p 1 ，这样就得到q p 上 1 ，令n = 0 + ，则p ( n ) b ( n ) cr ) ，所以由( 1 ) 式 对任意的x ，v u v t ( ) ，z b ( n ) 有下式 8 ( n p ( n ) z i x ，y 】= v p ( n ) z o ( x ，y ) ( 2 ) 将( 2 ) 式右乘p ( ) 得到 口( 以v ) p ( n ) z x ，y 】p ( ) = 以v p ( n ) z o ( x ，y ) p ( ) ( 3 ) 定义映射h ，：r 厂) r 厂) 口( 咒) 分别为 h ( x ，y ) = 【x ，y p ( ) ，f ( x ，y ) = o ( x ，y ) p ( ) 这样( 3 ) 式就可写为对任意的x ，y u v 7 ( ) ，z b ) 我们有 ，( uv ) z h ( x ，y ) = ( 以v ) z f ( x ，y ) ( 4 ) 由于n a f 并且d i m n 1 ，所以一定存在，丁( ) ，使得，p ( ) 0 ，也就是，0 综合( 4 ) 式及引理4 2 3 ，一定存在a c ，使得 ( 以v ) = a ，( 以v ) ( v u ，v r ( 厂) ) ，即日( uv ) p ( ) = a 【u ，v i p ( n )( v u , v 丁0 厂) ) ，将此 式带入( 2 ) 中得到 u ，v i p ( n ) b ( t t ) ( a x ，y 1 一o ( x ，y ) ) = 0 ( 5 ) 另外取( 5 ) 式中u = u o ，v ：k ，这样由【u o ，k 1 p ( ) 0 及e ( n ) 是因子的就证 明了o ( x ，y ) = a 【x ，y 】( v x ，y r ( r ) 情况二如果d i m o + = 0 ，那么0 + = 0 ，这样就存在一列递减的闭子空间 。 o ，饨) ，使得p n = p ( 小k ) 强收敛到0 由于r 8 ( 咒) 黠c7 _ 厂) ( v n 2 ) ， 将此式带入( 1 ) 式，这样对任意的x ，k 以v 7 _ ( ) ，z b ( n ) 目( 矾y ) p n z 醋i x ，l ，