《微分几何》模拟试题参考答案.doc

长江师范学院课程考核参考答案及评分标准 微分几何 课程考核参考答案及评分标准考试课程：微分几何 学年学期：2012-2013-2试卷类型：A 考试时间： 120分钟适用专业：10级数学与应用数学 层次：本科一、选择题（每小题2分共20分）1 (B)；2 (D)；3 (A)；4 (A)；5 (C) ；6 (D) ；7 (B) ；8 (C) ；9 (D) ；10 (B)。二、填空题（每小题2分共20分）1、已知r=(cosx,sinx,x),0x1,其弧长总长= 2 ；2、：r=(acost, asint, t)的单位切向量是 (-asint, acost, 1)/(a2+1) ；3、：r=(cost, sint, t)的主法向量= (cost, sint,0) ；4、曲面上切向du:dv是渐进方向的条件,用第二基本量表示为 Ldu2+2Mdudv+Ndv2=0 ；5、r=(u+v,uv,uv)的第一基本量G= 2+u2 ；6、曲面上满足LN-M20 的点称为 椭圆 点；7、：r=(t, 2t, 3t)的曲率是 0 ；8、：r=( cos,sin,1)的挠率是 0 ；9、曲面的Gauss曲率可以只用第 1 基本量计算；10、球面上的测地线是球面上的 大圆 。三、判断题（每小题2分共20分）1 ()；2 ()；3 ()；4 ()；5 ()；6 ()；7 ()；8 ()；9 ()；10 ()。四、计算题（每小题5分共30分，最后2小题任选1题）1、求曲线：x=cost,y=sint, z=t 的法平面方程；解：切向r=(sint,cost,1)， 法平面方程为(r( cost, sint, t)(sint,cost,1)，(3分) 即sintx+ costy+z=t ； (2分)2、求曲线：r=(acost, asint, et)过(a,0,1)的切线方程；解：r(0)=(asint, acost, et)|t=0 =(0, a, 1)| , (2分) 故切线方程为r=(a,0,1)+t(0,a,1), 即r=(a,at,t)；(3分)3、求曲面r=(ucosv,usinv,v)的过(0,1,/2)的切平面方程；解：ru=(cosv,sinv,0), rv=( usinv,ucosv,1), n= ru rv =(sinv, cosv,u), (3分) 故切平面方程为： (x,y,z) ( 0,1,/2)(1,0,1)=0, 即 x+z/2=0；(2分)4、已知曲面的第一基本形式为I=v(du2+dv2), v0，求u-线的坐标曲线的测地曲率；（提示：利用公式kgu=(lnE)v/2G）解：kgu=(lnE)v/2G=(lnv)v/2v = 1/2v3/2；5、求曲面族 ： (y) (x)2 /2=0的包络面方程。解：的包络面方程为 (y) (x)2 /2=0，且1+(x)=0，(3分) 即yx+1/2=0。(2分)6、在第一基本形式为I=du2+sinh2udv2的曲面上，求方程为u=v的曲线的弧长。 解：s=shu. 0uvv=0u=11u=av1/aD7、在第一基本形式为I=du2+(u2+a2)dv2的曲面上，求由三条曲线u=v, v=0, u=1 相交所成的三角形面积。 解：S= = =, = = =即 S=.五、证明题（每小题2分共10分）1、证明曲率=0的曲线是直线；证明：k=0, d/ds=0, r=0, r=r0 , r=r0s+ r1 , 故曲率=0的曲线是直线；2、证明曲面S：r=(t)cos, (t)sin, (t)的参数网是正交网；证明：rt=(t)cos, (t)sin, (t), r=(t)sin, (t)cos, 0) , F=0, 故命题成立；3、证明曲线：r=(1+3t+2t2, 2 2t+5t2, 1 t2)为平面曲线；证明：r=(3+4t, 2+10t, 2t), r=(4, 10, 2), r=(0, 0, 0), (r, r, r)=0, 故为平面曲线；4、证明曲面S：r=(v+cosu,v+sinu,au)可展。证明：r=(cosu,sinu,au)+ (1,1,0)v, a(u)= (cosu,sinu,au), b(u)= (1,1,0), (2分) (a,b,b)=0, 故S可展。(3分)5、证明球面上II/I为常数. 证明：取球面的参数方程 r=R(cosucosv,cosusinv,sinu), 则 ru= R(-sinucosv, -sinusinv, cosu), E=R2,rv= R(-cosusinv, cosucosv, 0), F=0, G= R2 cos2u. g= R2 cos2u. n=(cosucosv,cosusinv,sinu), ruu= R(-cosucosv, -cosusinv, -sinu), L= -R, rvu= R(sinusinv, -sinucosv, 0), M=0. rvv= R(-cosucosv, -cosusinv, 0), N=-Rcos2u. I= R2du