高考数学 8.9直线与圆锥曲线的位置关系配套课件 理 新人教A版.ppt

第九节直线与圆锥曲线的位置关系 三年7考高考指数 1 能解决直线与椭圆 抛物线的位置关系等问题 2 理解数形结合的思想 3 了解圆锥曲线的简单应用 1 直线与椭圆 抛物线的位置关系是高考的重点 常常与平面向量 三角函数 函数的性质 不等式等知识交汇命题 2 直线与圆锥曲线相交 求其弦长 中点 定点 定值 最值 面积 对称 存在性问题等是高考的热点 3 以解答题的形式出现 多属于中 高档题目 重点考查学生分析问题 解决问题的能力 1 直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法判断直线与圆锥曲线的位置关系 通常是将直线方程与圆锥曲线方程联立 消去一个变量得到关于x 或y 的一元方程 ax2 bx c 0 或ay2 by c 0 1 当a 0 可考虑一元二次方程的判别式 有 0 直线与圆锥曲线 0 直线与圆锥曲线 0 直线与圆锥曲线 相交 相切 相离 2 当a 0 b 0时 即得到一个一元一次方程 则直线l与圆锥曲线e相交 且只有一个交点 若e为双曲线 则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是 若e为抛物线 则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 平行 平行或重合 即时应用 1 思考 直线与圆锥曲线有一个公共点是直线与圆锥曲线相切的什么条件 提示 必要不充分条件 因为当直线与圆锥曲线相切时 直线与圆锥曲线有一个公共点 当直线与圆锥曲线有一个公共点时 直线与圆锥曲线不一定相切 如与抛物线对称轴平行 或重合 的直线与抛物线只有一个公共点 此时直线与抛物线相交 与双曲线渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点 此时直线与双曲线相交 2 直线y mx 1与椭圆x2 4y2 1有且只有一个交点 则m2 解析 直线y mx 1与椭圆x2 4y2 1联立 消去y得 1 4m2 x2 8mx 3 0 又因为其 8m 2 12 1 4m2 16m2 12 0 解得 m2 答案 2 圆锥曲线的弦长设斜率为k k 0 的直线l与圆锥曲线c相交于a b两点 a x1 y1 b x2 y2 则 ab 即时应用 1 抛物线y2 4x被直线y 2x k截得的弦长为3 则k值为 2 过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线被椭圆所截得的弦长为 解析 1 直线方程与抛物线方程联立 消去y得 4x2 4 1 k x k2 0 所以x1 x2 1 k x1x2 依题意得 3 x1 x2 即9 x1 x2 2 4x1x2 1 k 2 k2 解得 k 4 2 设直线与椭圆的交点分别为a x1 y1 b x2 y2 由椭圆方程得 a 3 b 1 所以c 2 因此 直线方程为 y x 2 与椭圆联立 消去y得 4x2 12x 15 0 则x1 x2 3 x1x2 所以答案 1 4 2 2 直线与圆锥曲线的位置关系的确定及应用 方法点睛 1 直线与圆锥曲线位置关系的判断方法用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数 可以研究直线与圆锥曲线的位置关系 即用代数法研究几何问题 这是解析几何的重要思想方法 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点问题 实际上是研究方程组解的个数问题 2 直线与圆锥曲线相交的两个问题及求解方法 1 与弦的中点有关的问题 常利用 点差法 求解 2 与抛物线焦点弦长有关的问题 要注意应用抛物线的定义 提醒 在研究方程组是否有实数解或实数解的个数问题时 要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法 例1 1 已知直线y kx 1与椭圆相切 则k a之间的关系式为 2 2012 丽水模拟 双曲线的右顶点为a 右焦点为f 过点f平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点b 则 afb的面积为 a b c d 3 已知抛物线的方程为y2 4x 直线l过定点p 2 1 斜率为k k为何值时 直线l与抛物线y2 4x只有一个公共点 有两个公共点 没有公共点 解题指南 1 直线与椭圆相切 实际上是直线方程与椭圆方程组成的方程组有唯一解 即判别式等于零 2 先求出直线fb的方程 然后与双曲线方程联立求出点b的纵坐标 利用面积公式求解 3 直线与抛物线公共点的个数问题 即为直线方程与抛物线方程组成的方程组解的个数问题 可将两方程联立求解 规范解答 1 直线y kx 1与椭圆联立 消去y得 a 4k2 x2 8kx 4 4a 0 其判别式 8k 2 4 a 4k2 4 4a 16a a 4k2 1 0 又因为a 0 所以a 4k2 1 0 答案 a 4k2 1 0 2 选a 双曲线右顶点为a 3 0 右焦点为f 5 0 双曲线一条渐近线的斜率是 直线fb的方程是y x 5 与双曲线方程联立解得点b的纵坐标为 同理 存在另一种情况b的纵坐标为 故 afb的面积为 af yb 2 3 由题意 得直线l的方程为y 1 k x 2 由得ky2 4y 4 2k 1 0 当k 0时 由方程 得y 1 方程组有一个解 此时 直线与抛物线只有一个公共点 当k 0时 方程 的判别式为 16 2k2 k 1 由 0 即2k2 k 1 0 解得k 1或k 当k 1或k 时 方程组有一个解 此时 直线与抛物线只有一个公共点 由 0 得2k2 k 1 0 解得 1 k 当 1 k 且k 0时 方程组有两个解 此时 直线与抛物线有两个公共点 由 0 得2k2 k 1 0 解得k 1或k 当k 1或k 时 方程组无解 此时直线与抛物线没有公共点 综上 当k 1或k 0或k 时 直线与抛物线只有一个公共点 当 1 k 且k 0时 直线与抛物线有两个公共点 当k 1或k 时 直线与抛物线没有公共点 互动探究 本例 3 的条件不变 求k为何值时直线与抛物线相交 相切 相离 解析 直线与抛物线相交 即直线与抛物线有两个公共点或直线与抛物线的对称轴平行 或重合 此时直线与抛物线有一个公共点 即由直线方程与抛物线方程联立所得方程二次项系数不为0且 0或二次项系数为0 由本例解法知 1 k 直线与抛物线相切 即直线与抛物线有一个公共点 且直线与抛物线的对称轴不平行 或不重合 即由直线方程与抛物线方程联立所得方程二次项系数不为0且 0 由本例解法知k 1或k 直线与抛物线相离 即直线与抛物线没有公共点 由本例解法知k 1或k 综上可知 当 1 k 时 直线与抛物线相交 当k 1或k 时 直线与抛物线相切 当k 1或k 时 直线与抛物线相离 反思 感悟 1 直线与圆锥曲线公共点有零个 一个 两个和直线与圆锥曲线的相离 相切 相交不是等价关系 2 在直线与圆锥曲线所组成的方程组消元后 要注意所得方程的二次项系数是否含有参数 若含参数 需按二次项系数是否为零进行讨论 只有二次项的系数不为零时 方程才是一元二次方程 后面才可以利用判别式的符号来判断方程解的个数 进而说明直线与圆锥曲线的位置关系 变式备选 已知中心在原点 一个焦点为f 0 的椭圆截直线y 3x 2所得弦的中点的横坐标为 求椭圆的方程 解析 因为椭圆中心在原点 一个焦点为f 0 所以可设椭圆的标准方程为 其中a b 0 且有a2 b2 50 把直线方程代入椭圆方程 消去y得 9b2 a2 x2 12b2x 4b2 a2b2 0 设弦的两个端点a x1 y1 b x2 y2 则由根与系数之间的关系有 x1 x2 又ab的中点的横坐标为 所以 解得a2 3b2 与a2 b2 50联立得 a2 75 b2 25 所以椭圆方程为 圆锥曲线中的存在性问题 方法点睛 存在性问题的解题步骤 1 先假设存在 引入参变量 根据题目条件列出关于参数的方程或不等式 组 2 解此方程或不等式 组 若有解即存在 若无解则不存在 例2 已知 向量 0 o为坐标原点 动点m满足 1 求动点m的轨迹c的方程 2 已知直线l1 l2都过点b 0 1 且l1 l2 l1 l2与轨迹c分别交于点d e 试探究是否存在这样的直线使得 bde是等腰直角三角形 若存在 指出这样的直线共有几组 无需求出直线的方程 若不存在 请说明理由 解题指南 1 由椭圆的定义可知 点m的轨迹为椭圆 只需再确定a c即可 2 可先假设存在 由题意知两条直线的斜率存在且不为零 可分别设为k 由等腰直角三角形满足的条件求出其值 或经计算得知其值不存在 从而得出结论 规范解答 1 方法一 设a 0 则 动点m的轨迹为以a a 为焦点 长轴长为4的椭圆 由c 2a 4 得a 2 b 1 动点m的轨迹c的方程为 方法二 设点m x y 则 x y x y 4 点m的轨迹c是以 0 0 为焦点 长轴长为4的椭圆 a 2 c b 1 动点m的轨迹c的方程为 2 轨迹c是椭圆 点b 0 1 是它的上顶点 设满足条件的直线l1 l2存在 由题意知两直线斜率存在且不为零 不妨设直线l1的方程为y kx 1 k 0 则直线l2的方程为y x 1 将 代入椭圆方程并整理得 1 4k2 x2 8kx 0 可得xd 则yd 将 代入椭圆方程并整理得 4 k2 x2 8kx 0 可得xe 则ye 由 bde是等腰直角三角形得 bd be k 1或k2 3k 1 0 方程 的判别式 5 0 即方程 有两个不相等的实根 且不为1 方程 有三个互不相等的实根 即满足条件的直线l1 l2存在 共有3组 反思 感悟 1 本题第 1 问是利用定义法求轨迹方程 解决本题的关键是对 4的转化与理解 2 第 2 问探索存在性问题 此类问题一般是先假设存在 依据题设条件及假设结论进行逻辑推理 论证 若得出矛盾 则说明不存在 否则就存在 变式训练 2012 郑州模拟 设b 0 椭圆方程为 抛物线方程为x2 8 y b 如图所示 过点f 0 b 2 作x轴的平行线 与抛物线在第一象限的交点为g 已知抛物线在点g的切线经过椭圆的右焦点f1 1 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程 2 设a b分别是椭圆长轴的左 右端点 试探究在抛物线上是否存在点p 使得 abp为直角三角形 若存在 请指出共有几个这样的点 并说明理由 不必具体求出这些点的坐标 解析 1 由x2 8 y b 得y x2 b 当y b 2时得x 4 g点的坐标为 4 b 2 y x y x 4 1 过点g的切线方程为y b 2 x 4即y x b 2 令y 0得x 2 b f1点的坐标为 2 b 0 由椭圆方程得f1点的坐标为 b 0 2 b b即b 1 即椭圆和抛物线的方程分别为和x2 8 y 1 2 过a作x轴的垂线与抛物线只有一个交点p 以 pab为直角的rt abp只有一个 同理 以 pba为直角的rt abp只有一个 若以 apb为直角 设p点坐标为 x x2 1 a b两点的坐标分别为 0 和 0 关于x2的二次方程有一个大于零的解 x有两解 即以 apb为直角的rt abp有两个 所以抛物线上存在四个点使得 abp为直角三角形 变式备选 已知椭圆 a b 0 的右焦点为f2 1 0 点n 1 在椭圆上 1 求椭圆方程 2 点m x0 y0 在圆o x2 y2 b2上 且在第一象限 过m作圆x2 y2 b2的切线交椭圆于p q两点 问 f2p f2q pq 是否为定值 如果是 求出定值 如果不是 说明理由 解析 1 右焦点为f2 1 0 c 1 左焦点为f1 1 0 又 点n 1 在椭圆上 2a nf1 nf2 a 2 b 所以椭圆方程为 2 设p x1 y1 q x2 y2 则 x1 2 pf2 2 x1 1 2 x1 1 2 3 1 x1 4 2 pf2 4 x1 2 x1 连接om op 由相切条件知 pm 2 op 2 om 2 3 3 1 3 pm x1 pf2 pm 2 x1 x1 2 同理可求 qf2 qm 2 2 所以 f2p f2q pq 2 2 4为定值 圆锥曲线中的最值问题 方法点睛 圆锥曲线中常见最值问题及解题方法 1 圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类 涉及距离 面积的最值以及与之相关的一些问题 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题 2 求最值常见的解法有两种 几何法 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义 则考虑利用图形性质来解决 代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系 则可先建立起目标函数 再求这个函数的最值 提醒 求最值问题时 一定要注意特殊情况的讨论 如直线斜率不存在的情况 二次三项式最高次项的系数的讨论等 例3 2011 新课标全国卷 在平面直角坐标系xoy中 已知点a 0 1 b点在直线y 3上 m点满足 m点的轨迹为曲线c 1 求c的方程 2 p为c上的动点 l为c在p点处的切线 求o点到l的距离的最小值 解题指南 1 可设点m的坐标为 x y 依已知等式即可得出曲线c的方程 2 可先设点p的坐标 求出切线 然后利用点到直线的距离公式求出距离的解析式 求其最值即可 规范解答 1 设m x y 由已知得b x 3 a 0 1 所以 x 1 y 0 3 y x 2 再由 可知 即 x 4 2y x 2 0 所以曲线c的方程为y x2 2 2 设p x0 y0 为曲线c y x2 2上一点 因为y x 所以l的斜率为x0 因此直线l的方程为y y0 x0 x x0 即x0 x 2y 2y0 0 则o点到l的距离又y0 2 所以当且仅当x0 0时取等号 所以o点到l的距离的最小值为2 反思 感悟 1 本题第 1 问是求轨迹方程 采用的是直接法求轨迹方程 依据题设中的等式求解即可 2 第 2 问是求点到直线的距离的最值 解决此类问题一般是依据题设条件得出函数解析式 利用函数的单调性或求导数或利用基本不等式求得最值 变式训练 已知椭圆m a b 0 的离心率为 且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6 4 1 求椭圆m的方程 2 设直线l与椭圆m交于a b两点 且以ab为直径的圆过椭圆的右顶点c 求 abc面积的最大值 解析 1 因为椭圆m上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6 4 所以2a 2c 6 4 又椭圆的离心率为 即 所以c a 所以a 3 c 2 所以b 1 椭圆m的方程为 2 方法一 不妨设bc的方程为y n x 3 n 0 则ac的方程为y x 3 由得 n2 x2 6n2x 9n2 1 0 设a x1 y1 b x2 y2 因为3x2 所以同理可得所以 s abc bc ac 设t n 2 则s abc 当且仅当t 时取等号 所以 abc面积的最大值为 方法二 由题意 不妨设直线ab的方程为x ky m 由消去x得 k2 9 y2 2kmy m2 9 0 设a x1 y1 b x2 y2 则有因为以ab为直径的圆过点c 所以 0 由 x1 3 y1 x2 3 y2 得 x1 3 x2 3 y1y2 0 将x1 ky1 m x2 ky2 m代入 得 k2 1 y1y2 k m 3 y1 y2 m 3 2 0 将 代入 解得m 或m 3 舍 所以m 此时直线ab经过定点d 0 与椭圆有两个交点 所以s abc dc y1 y2 设则s abc 所以当t 0 时 s abc取得最大值 满分指导 直线与圆锥曲线综合问题的规范解答 典例 14分 2011 湖南高考 已知平面内一动点p到点f 1 0 的距离与点p到y轴的距离的差等于1 1 求动点p的轨迹c的方程 2 过点f作两条斜率存在且互相垂直的直线l1 l2 设l1与轨迹c相交于点a b l2与轨迹c相交于点d e 求的最小值 解题指南 1 依题设可知 利用直接法求轨迹方程 2 先设直线l1的斜率为k 依题设条件可求出关于k的解析式 利用基本不等式求最值 规范解答 1 设动点p的坐标为 x y 由题意得 2分化简得y2 2x 2 x 当x 0时 y2 4x 4分当x 0时 y 0 所以动点p的轨迹c的方程为y2 4x x 0 和y 0 x 0 6分 2 由题意知 直线l1的斜率存在且不为0 设为k 则l1的方程为y k x 1 由得k2x2 2k2 4 x k2 0 8分设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2是上述方程的两个实根 于是x1 x2 2 x1x2 1 因为l1 l2 所以l2的斜率为设d x3 y3 e x4 y4 则同理可得x3 x4 2 4k2 x3x4 1 10分 12分 x1 1 x2 1 x3 1 x4 1 x1x2 x1