Z405圆的有关证明(一).doc

圆的有关证明1 M09Z405圆的有关证明（一）一、两弧相等的证明.【知识要点】 证明两弧相等，方法多样灵活，一般包括： （1）找出第三条弧，证明两条弧分别都与这条相等. （2）利用垂径定理及其推论. （3）利用平行弦所夹的弧相等来证明. （4）利用在同圆或等圆中，弧所对应的圆心角、圆周角、弦、弦心距相等来证明.【典型例题】FBDCEAO例1如图，已知BC为O的直径，ADBC，垂足为D，BF交AD于E，且AE=BE，求证：AB=AF.例2如图,已知AB是半圆的直径,过点B作BN垂直弦EF的延长线于N,BN交半圆于点C.求证:AE=FC.CAFOBEN【针对练习】ABCQOP 1已知:如图,ABC为O的内接三角形，P、Q是BC上的点，且BP=QC，BAP=CAQ.求证：AB=AC. 2如图，已知O的两条弦AB，CD相交于P，1=2，求证：AD=BC.CBD1PAO2二、弧的倍分问题.【知识要点】 证明弧的倍分问题的方法大致有两种：一是证明长弧所对的圆心角（或圆周角）是短弧所对的圆心角（或圆周角）的几倍.另一种是证明若分成等份后，其中的一份与短弧相等.【典型例题】DCOEAB例1如图，AB是O的直径，C是O上一点，D是BA延长线上一点，CO=CD，DC的延长线交O于E，求证：EB=3CA.ACOBDE例2已知：如图，AB是O的直径，C是半径AO上的一点，以C为圆心，OC为半径的C交O于D，连结DC并延长交O于点E.求证：AD=BE.三、圆中线段相等的证法.【知识要点】 除了利用三角形、四边形等的有关性质外，证明圆中两条线段相等的方法和定理还有： （1）圆中等弧所对的弦相等； （2）圆中等弦心距的弦相等，等弦的弦心距相等； （3）垂径定理； （4）切线长定理； （5）相交两圆的连心线平分公共弦.【典型例题】APQCONMMB例1如图，在O中，过圆周上一点A作弦AB和AC，且AB=AC，M和N分别为AB及AC的中点，连结MN延长交O于P、Q两点，求证：PM=NQ.BAPFGDHOM例2已知：如图，在ABC中，AD平分BAC交ABC的外接圆O于D点，交BC于M点，PG是经过点M的弦，且AMC=AMG，直径AF交GH于P，求证：GP=PH.C【针对训练】 1如图，AB、CD是O的弦，M、N分别为AB、CD的中点，且AMN=CNM，求证：AB=CD.ACDB OMN 2ACBFOEMD如图，AB、CD是两条互相垂直的直径，又两弦AE、CF垂直相交于点M.求证：CF=AE. 四、圆中角相等的证明【知识要点】 根据圆的有关性质定理证明角相等的方法有： （1）等弧所对的圆心角相等； （2）同弧或等弧所对的圆周角相等； （3）弦切角等于所夹的弧所对的圆周角； （4）圆内两弦的夹角等于其所截相对两弧所对圆周角的和； （5）圆的两割线（或切线）所成的角等于其所截相对两弧所对圆周角的差； （6）圆内接四边形的外角等于内对角； （7）圆外一点与圆心的连线平分过这点所引圆的切线的夹角.例1如图，设AB为O的直径，CD为切线，切点为C，ADCD，求证：BAC=CAD.ABCDOABDOPC例2如图，四边形ABCD内接于O，DP交BC延长线于点P，且AB:CD=AD:CP.求证：CDP=ACD.ADOPCBFE例3如图，PA为O的切线，A为切点，从PA的中点B作割线BCD，交圆于C、D，连结PC、PD分别交圆于E、F，求证：APD=EFD.【针对训练】ABDOEC 1如图，ABC内接于O，BE与O相切于点B，D是O上的一点，AD的延长线交BE于E，AB BE=AE DC.求证：BD是CBE的平分线.ABDOCE 2如图，AD是O的切线，D是切点，ABC是O的割线，DEAO于E，求证：AEB=ACO. 【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 DABQOPCMN1如图，AB是O的直径，P、Q是AB上两点，且AP=BQ.C、D是O上两点，且AC=BD，分别延长CP、DQ交O于M、N，求证：AM=BN.2已知：AB是O的直径，M是OA上的点，弦PQ经过点M，并且PM=MO，求证：3AP=BQ.ABDCE3已知：如图，四边形ABCD内接于O，且BD=DC.求证：AD是ABC外角CAE的平分线.AGBHDECFO4如图，ABC内接于O，BH是O的切线，O的割线