福建省福州八中高二数学下学期期末试卷 文（含解析）.doc

2014-2015学年福建省福州八中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合a=y|y=x2+2x3，则有（）aabbbaca=bdab=2给出下列两个结论：若命题p：x0r，x02+x0+10，则p：xr，x2+x+10；命题“若m0，则方程x2+xm=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+xm=0没有实数根，则m0”；则判断正确的是（）a对错b错对c都对d都错3设全集u是实数集r，m=x|x2或x2，n=x|x24x+30则图中阴影部分所表示的集合是（）ax|2x1bx|2x2cx|1x2dx|x24已知f（x）在r上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2015）=（）a2b2c8d85过抛物线y2=4x的焦点f的直线交抛物线于a，b两点，点o是原点，若|af|=3，则aof的面积为（）abcd26设、是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若平面，l，m，则lm；命题q：l，ml，m，则，则下列命题为真命题的是（）ap或qbp且qcp或qdp且q7如图，在正四棱锥sabcd中，e，m，n分别是bc，cd，sc的中点，动点p在线段mn上运动时，下列四个结论：epbd；epac；ep面sac；ep面sbd中恒成立的为（）abcd8已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）a1bcd9函数f（x）=ax2+bx与f（x）=logx（ab0，|a|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（）abcd10已知命题p：x（0，+），log2xlog3x命题q：xr，x3=1x2则下列命题中为真命题的是（）apqbpqcpqdpq11一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于p，直线pf1（f1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）abcd12已知函数f（x）=1+x+，则下列结论正确的是（）af（x）在（0，1）上恰有一个零点bf（x）在（1，0）上恰有一个零点cf（x）在（0，1）上恰有两个零点df（x）在（1，0）上恰有两个零点二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13如图所示，在三棱锥cabd中，e、f分别是ac和bd的中点，若cd=2ab=4，efab，则ef与cd所成的角是14已知命题p：实数m满足m2+12a27am（a0），命题q：实数m满足方程+=1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为15曲线在点（3，3）处的切线与轴x的交点的坐标为16已知函数f（x）是定义在r上的单调函数，且满足对任意的实数x都有ff（x）2x=6，则f（x）+f（x）的最小值等于三、解答题：本大题共6小题，共76分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知集合p=x|2x23x+10，q=x|（xa）（xa1）0（1）若a=1，求pq；（2）若xp是xq的充分条件，求实数a的取值范围18已知函数y=f（x）的图象与g（x）=logax（a0，且a1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过（4，2）点（）求函数f（x）的解析式；（）若f（x1）f（5x），求x的取值范围19已知双曲线c：与点p（1，2）（1）求过点p（1，2）且与曲线c只有一个交点的直线方程；（2）是否存在过点p的弦ab，使ab的中点为p，若存在，求出弦ab所在的直线方程，若不存在，请说明理由20如图，直三棱柱abca1b1c1中，d、e分别是ab、bb1的中点，ab=2，（1）证明：bc1平面a1cd；（2）求异面直线bc1和a1d所成角的大小；（3）求三棱锥a1dec的体积21设函数f（x）=kx2+2x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）=af（x）1（a0且a1）（）求k的值；（）求g（x）在1，2上的最大值；（）当时，g（x）t22mt+1对所有的x1，1及m1，1恒成立，求实数t的取值范围22已知函数f（x）=（ax2+x1）ex，其中e是自然对数的底数，ar（）若a=0，求曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若，求f（x）的单调区间；（）若a=1，函数f（x）的图象与函数的图象仅有1个公共点，求实数m的取值范围2014-2015学年福建省福州八中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合a=y|y=x2+2x3，则有（）aabbbaca=bdab=【考点】集合的表示法【专题】集合【分析】利用二次函数最值的求法得到集合a，利用基本不等式的解法求得集合b，然后来求集合a、b的关系【解答】解：y=x2+2x3=（x+1）24，y4则a=y|y4x0，x+2=2（当x=，即x=1时取“=”），b=y|y2，ba故选：b【点评】本题考查子集与真子集，求解本题，关键是将两个集合进行化简，由子集的定义得出两个集合之间的关系，再对比选项得出正确选项2给出下列两个结论：若命题p：x0r，x02+x0+10，则p：xr，x2+x+10；命题“若m0，则方程x2+xm=0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2+xm=0没有实数根，则m0”；则判断正确的是（）a对错b错对c都对d都错【考点】四种命题；命题的否定【专题】简易逻辑【分析】根据特称命题的否定是全称命题，可判断正确，根据逆否命题的定义可知正确所以选c【解答】解：命题p是一个特称命题，它的否定是全称命题，p是全称命题，所以正确根据逆否命题的定义可知正确故选c【点评】考查特称命题，全称命题，和逆否命题的概念3设全集u是实数集r，m=x|x2或x2，n=x|x24x+30则图中阴影部分所表示的集合是（）ax|2x1bx|2x2cx|1x2dx|x2【考点】venn图表达集合的关系及运算【专题】计算题【分析】根据venn图，得到集合关系为n（um），然后根据集合的基本运算求解即可【解答】解：由venn图，得到阴影部分对应的集合为n（um），m=x|x2或x2，（um）=x|2x2，n=x|x24x+30=x|x3或x1，n（um）=x|x3或x1x|2x2=x|2x1，故选：a【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用venn图确定集合关系是解决本题的关键，比较基础4已知f（x）在r上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2015）=（）a2b2c8d8【考点】函数解析式的求解及常用方法【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】由题意知函数的周期为4，故f（2015）=f（1），又由奇函数可求f（1）=f（1）=2【解答】解：f（x+4）=f（x），f（2015）=f（50441）=f（1），又f（x）在r上是奇函数，f（1）=f（1）=2故选b【点评】本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题5过抛物线y2=4x的焦点f的直线交抛物线于a，b两点，点o是原点，若|af|=3，则aof的面积为（）abcd2【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用抛物线的定义，求出a的坐标，再计算aof的面积【解答】解：抛物线y2=4x的准线l：x=1|af|=3，点a到准线l：x=1的距离为31+xa=3xa=2，ya=2，aof的面积为=故选：b【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形的面积的计算，确定a的坐标是解题的关键6设、是两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，命题p：若平面，l，m，则lm；命题q：l，ml，m，则，则下列命题为真命题的是（）ap或qbp且qcp或qdp且q【考点】平面与平面之间的位置关系【专题】探究型；数形结合【分析】对于命题p，q，只要把相应的平面和直线放入长方体中，找到反例即可【解答】解：在长方体abcda1b1c1d1中命题p：平面ac为平面，平面a1c1为平面，直线a1d1，和直线ab分别是直线m，l，显然满足，l，m，而m与l异面，故命题p不正确；p正确；命题q：平面ac为平面，平面a1c1为平面，直线a1d1，和直线ab分别是直线m，l，显然满足l，ml，m，而，故命题q不正确；q正确；故选c【点评】此题是个基础题考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力7如图，在正四棱锥sabcd中，e，m，n分别是bc，cd，sc的中点，动点p在线段mn上运动时，下列四个结论：epbd；epac；ep面sac；ep面sbd中恒成立的为（）abcd【考点】直线与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】在中：由异面直线的定义可知：ep与bd是异面直线；在中：由已知得soac，ac平面sbd，从而平面emn平面sbd，由此得到acep；在中：由已知得em平面sac，从而得到ep与平面sac不垂直在中：由平面emn平面sbd，从而得到ep平面sbd；【解答】解：如图所示，连接ac、bd相交于点o，连接em，en在中：由异面直线的定义可知：ep与bd是异面直线，不可能epbd，因此不正确；在中：由正四棱锥sabcd，可得so底面abcd，acbd，soacsobd=o，ac平面sbd，e，m，n分别是bc，cd，sc的中点，embd，mnsd，而emmn=m，平面emn平面sbd，ac平面emn，acep故正确在中：由同理可得：em平面sac，若ep平面sac，则epem，与epem=e相矛盾，因此当p与m不重合时，ep与平面sac不垂直即不正确在中：由可知平面emn平面sbd，ep平面sbd，因此正确故选：a【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养8已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）a1bcd【考点】简单空间图形的三视图【专题】计算题；压轴题【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为因此可知：a，b，d皆有可能，而1，故c不可能故选c【点评】正确求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为是解题的关键9函数f（x）=ax2+bx与f（x）=logx（ab0，|a|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（）abcd【考点】对数函数的图象与性质【专题】函数的性质及应用【分析】分别根据二次函数的图象和对数函数的图象特征注意验证各个答案项即可【解答】解：a、由图得f（x）=ax2+bx的对称轴x=0，则，不符合对数的底数范围，a不正确；b、由图得f（x）=ax2+bx的对称轴x=0，则，不符合对数的底数范围，b不正确；c、由f（x）=ax2+bx=0得：x=0或x=，由图得，则，所以f（x）=logx在定义域上是增函数，c不正确；d、由f（x）=ax2+bx=0得：x=0或x=，由图得，则，所以f（x）=logx在定义域上是减函数，d正确【点评】本题考查二次函数的图象和对数函数的图象，考查试图能力10已知命题p：x（0，+），log2xlog3x命题q：xr，x3=1x2则下列命题中为真命题的是（）apqbpqcpqdpq【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】利用对数函数的单调性判断出p是假命题利用函数零点存在定理即可判断出命题q是真命题，再利用复合命题的判定方法即可判断出【解答】解：命题p：取x1，+），log2xlog3x，因此p是假命题命题q：令f（x）=x3（1x2），则f（0）=10，f（1）=10，f（0）f（1）0，x0（0，1），使得f（x0）=0，即xr，x3=1x2因此q是真命题可得pq是真命题故选：b【点评】本题考查了对数函数的单调性、函数零点存在定理、复合命题的判定方法，考查了推理能力，属于基础题11一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于p，直线pf1（f1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（）abcd【考点】圆与圆锥曲线的综合【专题】计算题【分析】根据题意思可得：点p是切点，所以pf2=c并且pf1pf2所以pf1f2=30，所以根据椭圆的定义可得|pf1|+|pf2|=2a，所以|pf2|=2ac进而得到答案【解答】解：设f2为椭圆的右焦点由题意可得：圆与椭圆交于p，并且直线pf1（f1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，所以点p是切点，所以pf2=c并且pf1pf2又因为f1f2=2c，所以pf1f2=30，所以根据椭圆的定义可得|pf1|+|pf2|=2a，所以|pf2|=2ac所以2ac=，所以e=故选d【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义12已知函数f（x）=1+x+，则下列结论正确的是（）af（x）在（0，1）上恰有一个零点bf（x）在（1，0）上恰有一个零点cf（x）在（0，1）上恰有两个零点df（x）在（1，0）上恰有两个零点【考点】函数零点的判定定理【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】由题意求导f（x）=1x+x2x3+x2014=（1x）（1+x2+x2012）+x2014；从而确定函数的单调性，再由函数零点的判定定理求解【解答】解：f（x）=1x+x2x3+x2014=（1x）（1+x2+x2012）+x2014；f（x）0在（1，0）上恒成立；故f（x）在（1，0）上是增函数；又f（0）=1，f（1）=110；故f（x）在（1，0）上恰有一个零点；故选b【点评】本题考查了导数的综合应用及函数零点的个数的判断，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13如图所示，在三棱锥cabd中，e、f分别是ac和bd的中点，若cd=2ab=4，efab，则ef与cd所成的角是30【考点】异面直线及其所成的角【专题】计算题【分析】利用e、f分别是ac和bd的中点联想到取ad的中点，然后利用中位线定理找到ef与ac所成的角，最后利用特殊三角形或余弦定理求解【解答】解：取ad的中点g，连接eg，gf则egdc=2，gfab=1，故gef即为ef与cd所成的角又feabfegf在rtefg中eg=2，gf=1故gef=30故答案为：30【点评】此题的关键是作出ad的中点然后利用题中的条件在特殊三角形中求解，如果一味的想利用余弦定理求解就出力不讨好了14已知命题p：实数m满足m2+12a27am（a0），命题q：实数m满足方程+=1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为，【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】简易逻辑【分析】根据命题p、q分别求出m的范围，再根据p是q的充分不必要条件列出关于m的不等式组，解不等式组即可【解答】解：由m27am+12a20（a0），则3am4a即命题p：3am4a，实数m满足方程+=1表示的焦点在y轴上的椭圆，则，解得1m2，若p是q的充分不必要条件，则，解得，故答案为，【点评】本题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，根据不等式的性质和椭圆的性质求出p，q的等价条件是解决本题的关键15曲线在点（3，3）处的切线与轴x的交点的坐标为（，0）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的概念及应用【分析】通过求导得到切线的方程，从而求出切线和x轴的交点坐标【解答】解：y=，斜率k=y|x=3=2，切线方程是：y3=2（x3），整理得：y=2x+9，令y=0，解得：x=，故答案为：【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查导数的应用，是一道基础题16已知函数f（x）是定义在r上的单调函数，且满足对任意的实数x都有ff（x）2x=6，则f（x）+f（x）的最小值等于6【考点】函数的最值及其几何意义【专题】函数的性质及应用【分析】易知f（x）2x是一个固定的数记为a，进而f（x）=a+2x，利用基本不等式计算即得结论【解答】解：根据题意可知：f（x）2x是一个固定的数，记为a，则f（a）=6，f（x）2x=a，即f（x）=a+2x，当x=a时，又a+2a=6，a=2，f（x）=2+2x，f（x）+f（x）=2+2x+2+2x=2x+2x+42+4=6，当且仅当x=0时成立，f（x）+f（x）的最小值等于6，故答案为：6【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共76分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知集合p=x|2x23x+10，q=x|（xa）（xa1）0（1）若a=1，求pq；（2）若xp是xq的充分条件，求实数a的取值范围【考点】交、并、补集的混合运算；充分条件【专题】计算题【分析】（1）先解不等式求出集合p和集合q，再根据交集的定义求出pq；（2）先将集合q进行化简，根据xp是xq的充分条件，得到pq，根据集合p是集合q的子集建立不等关系，解之即可【解答】解：（1）当a=1时，q=x|（x1）（x2）0=x|1x2则pq=1（2）aa+1，q=x|（xa）（xa1）0=x|axa+1xp是xq的充分条件，pq，即实数a的取值范围是【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，以及充分条件的运用，也是高考常会考的题型18已知函数y=f（x）的图象与g（x）=logax（a0，且a1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过（4，2）点（）求函数f（x）的解析式；（）若f（x1）f（5x），求x的取值范围【考点】对数函数的图象与性质【专题】函数的性质及应用【分析】（）把点（4，2）代入g（x）的解析式求出a，再根据条件求出f（x）的解析式；（）根据（）和对数函数的单调性、真数大于零列出不等式组，求出解集即可【解答】解：（）g（x）=logax（a0，且a1）的图象过点（4，2），loga4=2，a=2，则g（x）=log2x函数y=f（x）的图象与g（x）的图象关于x轴对称，（）f（x1）f（5x），即，解得1x3，所以x的取值范围为（1，3）【点评】本题考查对数函数的性质的应用，注意真数大于零，属于基础题19已知双曲线c：与点p（1，2）（1）求过点p（1，2）且与曲线c只有一个交点的直线方程；（2）是否存在过点p的弦ab，使ab的中点为p，若存在，求出弦ab所在的直线方程，若不存在，请说明理由【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】（1）通过直线的斜率不存在和存在2中情况，存在时，将直线代入曲线c，讨论二次项系数结合根的判别式从而得到答案；（2）假设存在，整理得到ab的斜率为，从而得到直线ab的方程，进而得到结论【解答】解：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，与曲线c有一个交点当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2=k（x1），代入c的方程，并整理得（2k2）x2+2（k22k）xk2+4k6=0 （*）（）当2k2=0，即k=时，方程（*）有一个根，l与c有一个交点所以l的方程为（）当2k20，即k时=2（k22k）24（2k2）（k2+4k6）=16（32k），当=0，即32k=0，k=时，方程（*）有一个实根，l与c有一个交点所以l的方程为3x2y+1=0综上知：l的方程为x=1或或3x2y+1=0（2）假设以p为中点的弦存在，设为ab，且a（x1，y1），b（x2，y2），则2x12y12=2，2x22y22=2，两式相减得2（x1x2）（x1+x2）=（y1y2）（y1+y2）又x1+x2=2，y1+y2=4，2（x1x2）=4（y1y2）即kab=，直线ab的方程为y2=（x1），代入双曲线方程2x2y2=2，可得，15y248y+34=0，由于判别式为482415340，则该直线ab存在 【点评】本题考查了直线和曲线的交点问题，考查直线方程问题，考查分类讨论思想，是一道中档题20如图，直三棱柱abca1b1c1中，d、e分别是ab、bb1的中点，ab=2，（1）证明：bc1平面a1cd；（2）求异面直线bc1和a1d所成角的大小；（3）求三棱锥a1dec的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定【专题】综合题；空间位置关系与距离；空间角【分析】（1）根据线面平行的判定定理，需在平面a1de内找一条与bc1平行的直线因为acc1a1是矩形，故对角线互相平分，所以连结ac1，与a1c交于点o因为d是ab的中点，连结od，则od是abc1的中位线，所以bc1od，从而可证得bc1平面a1cd（2）由（1）可得a1df或其补角为异面直线bc1和a1d所成角，在a1df中，由余弦定理可得异面直线bc1和a1d所成角的大小；（3）先求出cd平面abb1a1，cd=1，利用体积公式求出三棱锥a1cde的体积【解答】（1）证明：连接ac1与a1c相交于点f，连接df，由矩形acc1a1可得点f是ac1的中点，又d是ab的中点，dfbc1，bc1平面a1cd，df平面a1cd，bc1平面a1cd； （2）解：由（1）可得a1df或其补角为异面直线bc1和a1d所成角df=bc1=1，a1d=，a1f=a1c=1在a1df中，由余弦定理可得：cosa1df=，a1df（0，），a1df=，异面直线bc1和a1d所成角的大小；（3）解：ac=bc，d为ab的中点，cdab，平面abb1a1平面abc=ab，cd平面abb1a1，cd=1=sbde=三棱锥ca1de的体积v=【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线bc1和a1d所成角，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系及性质的合理运用21设函数f（x）=kx2+2x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）=af（x）1（a0且a1）（）求k的值；（）求g（x）在1，2上的最大值；（）当时，g（x）t22mt+1对所有的x1，1及m1，1恒成立，求实数t的取值范围【考点】二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质【专题】函数的性质及应用【分析】（）利用函数是奇函数，建立方程，即可求k的值；（）对a分类讨论，确定函数的单调性，即可求g（x）在1，2上的最大值；（）当时，g（x）t22mt+1对所有的x1，1及m1，1恒成立，等价于1t22mt+1在1，1上恒成立，构建新函数，即可求实数t的取值范围【解答】解：（）由f（x）=f（x）得 kx22x=kx22x，k=0（）g（x）=af（x）1=a2x1=（a2）x1当a21，即a1