高考数学 7.4垂直关系配套课件 文 北师大版.ppt

第四节垂直关系 三年20考高考指数 1 以立体几何的定义 公理和定理为出发点 认识和理解空间中线 面垂直的有关性质与判定定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 1 垂直关系的判断多出现在选择题或填空题中 主要考查对概念 公理 定理 性质 结论的理解及运用 往往与命题及平行关系综合在一起考查 难度较小 2 线面垂直 面面垂直的证明及运算常以解答题的形式出现 且常与平行关系综合命题 难度中等 1 直线与平面垂直 1 定义 如果一条直线和一个平面内的 一条直线都垂直 那么称这条直线和这个平面垂直 任何 2 定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么该直线与此平面垂直 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 那么这两条直线平行 a b a l a b a b 即时应用 1 思考 能否将直线与平面垂直的定义中的 任意一条直线 改为 无数条直线 提示 不可以 当这无数条直线平行时 直线l有可能在平面 内 或者l与平面 相交但不垂直 2 直线a 平面 b 则a与b的位置关系是 解析 由b 可得b平行于 内的一条直线 设为b 因为a 所以a b 从而a b 但a与b可能相交 也可能异面 答案 垂直 3 判断下列命题的真假 在括号内填 真 假 如果直线l与平面 内的一条直线垂直 则l 如果直线l不垂直于 则 内没有与l垂直的直线 如果直线l不垂直于 则 内也可以有无数条直线与l垂直 解析 当l与 内的一条直线垂直时 不能保证l与 垂直 故 不对 当l与 不垂直时 l可能与 内的无数条直线垂直 故 不对 正确 答案 假 假 真 2 二面角 二面角的定义 二面角的度量 二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点 在两个半平面内分别作 棱的两条射线 这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 从一条直线出发的 所组成的图形叫作二面角 这条直线叫作二面角的 这两个半平面叫作二面角的 两个半平面 棱 面 垂直于 平面角是 的二面角叫作直二面角 直角 即时应用 思考 二面角的平面角的大小与在二面角的棱上选的点的位置有关吗 提示 如图 用两个垂直于棱的平面 1 2去截一个二面角 a 由等角定理知 所截得的两个角 1和 2相等 这说明二面角的平面角与在二面角的棱上选的点的位置无关 3 平面与平面垂直 1 定义 两个平面相交 如果所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 直二面角 2 定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条 那么这两个平面互相垂直 垂线 a b 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于它们 的直线垂直于另一个平面 交线 b a ab m n 即时应用 1 思考 垂直于同一平面的两平面是否平行 提示 不一定 两平面可能平行 也可能相交 2 已知 表示两个不同的平面 m为平面 内的一条直线 则 是 m 的 条件 填 充分不必要 必要不充分 充要 解析 由条件知 当m 时 一定有 但反之不一定成立 故填必要不充分 答案 必要不充分 3 将正方形abcd沿ac折成直二面角后 dab 解析 如图 取ac的中点o 连接do bo 则do ac bo ac 故 dob为二面角的平面角 从而 dob 90 设正方形边长为1 则所以db 1 故 adb为等边三角形 所以 dab 60 答案 60 直线与平面垂直的判定和性质 方法点睛 1 证明线面垂直的常用方法 2 线面垂直性质的应用当直线和平面垂直时 则直线与平面内的所有直线都垂直 体现了 线线垂直 与 线面垂直 的相互转化 提醒 解题时一定要严格按照定理成立的条件规范书写过程 如用判定定理证明线面垂直时 一定要体现出 平面中的两条相交直线 这一条件 例1 1 2012 北京模拟 已知如图 六棱锥p abcdef的底面是正六边形 pa 平面abc 则下列结论不正确的是 a cd 平面paf b df 平面paf c cf 平面pab d cf 平面pad 2 2012 南昌模拟 如图 三棱锥p abc中 pa 底面abc ab bc de垂直平分线段pc 且分别交ac pc于d e两点 又pb bc pa ab 求证 pc 平面bde 若点q是线段pa上任一点 判断bd dq的位置关系 并证明你的结论 若ab 2 求三棱锥b ced的体积 c p e q a b d 解题指南 1 根据线面平行 垂直的判定定理来判断 2 利用线面垂直的判定定理证明 证明bd 平面pac即可 根据vb ced vc bde 转化为求s bde及ce的长度 规范解答 1 选d 由正六边形的性质得cd af cf ab 故a c正确 因为pa 平面abc 所以pa df 又df af pa af a 故df 平面paf 即b正确 故选d 2 由等腰三角形pbc 得be pc de垂直平分pc de pc 又be de e pc 平面bde 由 得 pc bd pa 底面abc pa bd 又pc pa p bd 平面pac 当点q是线段pa上任一点时都有bd dq pa ab 2 pb bc ab bc pc 4 ce 2 且 cde cpa 由 知 bd de 互动探究 本例 2 若改为 设q是线段pa上任意一点 求证 平面bdq 平面pac 则如何求解 证明 由 2 的解法可知bd 平面pac 又bd 平面bdq 平面bdq 平面pac 反思 感悟 1 在证明垂直关系时 要注意线面垂直与面面垂直间的相互转化 同时要注意通过作辅助线进行这种转化 2 解答与垂直有关的问题时要重视对图形的观察与分析 从中找到线线垂直往往是解题的关键 因为所有的垂直问题都可转化为线线垂直来处理 变式备选 1 2012 延安模拟 已知 abc中 acb 90 sa 平面abc ad sc 求证 ad 平面sbc 证明 acb 90 bc ac 又sa 平面abc sa bc sa ac a bc 平面sac bc ad 又sc ad sc bc c ad 平面sbc 2 如图所示 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 1 aa1 2 e是侧棱bb1的中点 1 求证 a1e 平面ade 2 求三棱锥a1 ade的体积 解析 1 由勾股定理得 a1a2 a1e2 ae2 aea1 90 a1e ae ad 平面aa1b1b a1e 平面aa1b1b a1e ad 又ad ae a a1e 平面ade 2 由题意得 平面与平面垂直的判定和性质 方法点睛 1 证明面面垂直的方法面面垂直的证明综合性强 可通过转化使问题得以解决 线线垂直 线面垂直 面面垂直 间的关系如下图 线线垂直 线面垂直 面面垂直 判定 性质 判定 性质 判定 性质 其中线线垂直是基础 线面垂直是核心 解决这类问题时要善于挖掘题目中隐含着的线线垂直 线面垂直的条件 2 面面垂直性质的应用 1 两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据 运用时要注意 平面内的直线 2 两个相交平面同时垂直于第三个平面 它们的交线也垂直于第三个平面 例2 如图 在 bcd中 bcd 90 bc cd 1 ab 平面bcd adb 60 e f分别是ac ad上的动点 且 1 判断ef与平面abc的位置关系并给予证明 2 是否存在 使得平面bef 平面acd 如果存在 求出 的值 如果不存在 说明理由 解题指南 1 结合图形猜测ef与平面abc垂直 由知ef cd 由 bcd 90 及ab 平面bcd可证得结论成立 2 由cd 平面abc得出be cd 可知 要想平面bef 平面acd 只需be ac 即寻求此时满足条件的 的值是否存在 规范解答 1 ef 平面abc 证明 ab 平面bcd ab cd 在 bcd中 bcd 90 bc cd 又ab bc b cd 平面abc 在 acd中 0 1 ef cd ef 平面abc 2 cd 平面abc be 平面abc be cd 故要使平面bef 平面acd 只需证be ac 在rt abd中 adb 60 ab bdtan60 则当be ac时 则时 be ac 又be cd ac cd c be 平面acd be 平面bef 平面bef 平面acd 所以存在时 平面bef 平面acd 反思 感悟 证明面面垂直时一般先证线面垂直 确定这条直线时可从图中现有的直线中去寻找 若图中不存在这样的直线 则应通过添加辅助线来构造 变式训练 2012 海口模拟 正方形abcd的边长为1 分别取边bc cd的中点e f 连接ae ef af 以ae ef af为折痕 折叠这个正方形 使点b c d重合于一点p 得到一个四面体 如图所示 1 求证 ap ef 2 求证 平面ape 平面apf 证明 1 由abcd是正方形 所以在原图中ab be ad df 折叠后有ap pe ap pf pe pf p 所以ap 平面pef ef 平面pef 所以ap ef 2 由原图可知 折叠后ep ap ep pf ap pf p 所以ep 平面apf 又ep 平面ape 所以平面ape 平面apf 变式备选 如图 四棱锥p abcd中 底面abcd是 dab 60 的菱形 侧面pad为正三角形 其所在平面垂直于底面abcd 1 求证 ad pb 2 若e为bc边的中点 能否在棱pc上找到一点f 使平面def 平面abcd 并证明你的结论 解析 1 如图 取ad的中点g 连接pg bg bd pad为等边三角形 pg ad 又 平面pad 平面abcd pg 平面abcd 在 abd中 dab 60 ad ab abd为等边三角形 bg ad 且bg pg g ad 平面pbg ad pb 2 连接cg de 且cg与de相交于h点 在 pgc中作hf pg 交pc于f点 连接df fh 平面abcd 平面def 平面abcd 菱形abcd中 g e分别为ad bc的中点 即得知h是cg的中点 f是pc的中点 在pc上存在一点f 即为pc的中点 使得平面def 平面abcd 垂直关系的综合问题 方法点睛 垂直关系综合题的解题思路 1 对于三种垂直的综合问题 要注意通过作辅助线进行线线 线面 面面垂直间的转化 2 对于垂直与平行结合的问题 应注意平行 垂直的性质及判定的综合应用 3 对于垂直与体积结合的问题 在求棱锥的体积时 可根据线面垂直得到表示棱锥高的线段 进而求得体积 例3 2012 唐山模拟 如图 已知三棱锥a bpc中 ap pc ac bc m为ab的中点 d为pb的中点 且 pmb为正三角形 1 求证 dm 平面apc 2 求证 平面abc 平面apc 3 若bc 4 ab 20 求三棱锥d bcm的体积 解题指南 1 要证dm 平面apc 只需证明dm ap 2 证bc 平面apc 3 通过vd bcm vm bcd求体积 规范解答 1 m为ab中点 d为pb中点 dm ap 又dm平面apc ap平面apc dm 平面apc 2 pmb为正三角形 且d为pb中点 md pb 又由 1 知md ap ap pb又ap pc pb pc p ap 平面pbc ap bc 又 ac bc ap ac a bc 平面apc 又bc 平面abc 平面abc 平面apc 3 ab 20 mp 10 pb 10又bc 4 pc 又 vd bcm vm bcd 反思 感悟 1 本题体现了 转化 思想在立体几何中的应用 解题中要注意利用 平行 垂直 间的转化 2 解答题中要注重关键步骤的叙述与体现 以做到规范解题 变式训练 1 如图 在正四面体p abc中 d e f分别是ab bc ca的中点 下面四个结论不成立的是 a bc 平面pdf b df 平面pae c 平面pdf 平面pae d 平面pde 平面abc 解析 选d 因bc df 所以bc 平面pdf a成立 易证bc 平面pae bc df 所以结论b c均成立 点p在底面abc内的射影为 abc的中心 不在中位线de上 故结论d不成立 2 2012 宜春模拟 如图甲 直角梯形abcd中 ab ad ad bc f为ad的中点 e在bc上 且ef ab 已知ab ad ce 2 现沿ef把四边形cdfe折起如图乙 使平面cdfe 平面abef 1 求证 ad 平面bce 2 求证 ab 平面bce 3 求三棱锥c ade的体积 解析 1 由题意知af be af 平面bce 同理 df ce df 平面bce af df f af 平面adf df 平面adf 平面adf 平面bce ad 平面adf ad 平面bce 2 在图甲中 ef ab ab ad ef ad 在图乙中ce ef 平面cdfe 平面abef 平面cdfe 平面abef ef ce 平面abef ce ab 又ab be ab 平面bce 3 平面cdfe 平面abef af ef af 平面cdfe af为三棱锥a cde的高 且af 1 又ab ce 2 满分指导 垂直关系综合问题的规范解答 典例 12分 2011 辽宁高考 如图 四边形abcd为正方形 qa 平面abcd pd qa 1 证明 pq 平面dcq 2 求棱锥q abcd的体积与棱锥p dcq的体积的比值 解题指南 1 证明pq dc pq qd 进而可得pq 平面dcq 2 设出正方形的边长为a 分别计算两个棱锥的体积 再求体积的比值 规范解答 1 由条件知pdaq为直角梯形 因为qa 平面abcd qa 平面pdaq 所以平面pdaq 平面abcd 交线为ad 又四边形abcd为正方形 dc ad 所以dc 平面pdaq 2分又pq 平面pdaq 所以pq dc 在直角梯形pdaq中可得 则pq qd 5分又dc qd d 所以pq 平面dcq 6分 2 设ab a 由题设知aq为棱锥q abcd的高 所以棱锥q abcd的体积 8分由 1 知pq为棱锥p dcq的高 而pq dcq的面积为所以棱锥p dcq的体积 11分故棱锥q abcd的体积与棱锥p dcq的体积的比值为1 12分 阅卷人点拨 通过高考中的阅卷数据分析与总结 我们可以得到以下失分警示和备考建议 1 2012 泉州模拟 已知两条不同的直线m n 两个不同的平面 则下列命题中的真命题是 a 若m n 则m n b 若m n 则m n c 若m n 则m n d 若m n 则m n 解析 选a 由m 可得m 或m 又n 故m n 即a正确 如图 1 m n 但m n 故c错 如图 2 知b错 如图 3 正方体中 m n 但m n相交 故d错 2 2012 沈阳模拟 已知直线l m 平面 且l m 则 是 l m 的 a 充要条件 b 充分不必要条件 c 必要不充分条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选b 当 l 时 有l 又m 故l m 反