高考数学 玩转压轴题 专题3.9 曲线是否过定点可推可算可检验.doc

专题3.9 曲线是否过定点，可推可算可检验【题型综述】直线过定点问题在全国卷近几年高考中出现的频率较低，是圆锥曲线部分的小概率考点此种平民解法思维上比较接地气，但是实际操作上属于暴力美学范畴定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式，代入直线方程即可技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？【典例指引】例1、（“手电筒”模型）已知椭圆c：若直线与椭圆c相交于a，b两点（a，b不是左右顶点），且以ab为直径的圆过椭圆c的右顶点求证：直线过定点，并求出该定点的坐标方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点p做相互垂直的直线交圆锥曲线于ab，则ab必过定点（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”）模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定ap与bp条件（如定值，定值），直线ab依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）此模型解题步骤：step1：设ab直线，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；step2：由ap与bp关系（如），得一次函数；step3：将代入，得例2、（切点弦恒过定点）有如下结论：“圆上一点处的切线方程为”，类比也有结论：“椭圆处的切线方程为”，过椭圆c：的右准线l上任意一点m引椭圆c的两条切线，切点为 a、b（1）求证：直线ab恒过一定点；（2）当点m在的纵坐标为1时，求abm的面积方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程例3、（相交弦过定点）如图，已知直线l：的右焦点f，且交椭圆c于a、b两点，点a、b在直线上的射影依次为点d、e连接ae、bd，试探索当m变化时，直线ae、bd是否相交于一定点n？若交于定点n，请求出n点的坐标，并给予证明；否则说明理由法2：本题也可以直接得出ae和bd方程，令y=0，得与x轴交点m、n，然后两个坐标相减=0计算量也不大 方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法这一类题在答题过程中要注意步骤例4、已知椭圆c：，若直线与x轴交于点t，点p为直线上异于点t的任一点，直线pa1，pa2分别与椭圆交于m、n点，试问直线mn是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论方法1：【思路引导】点a1、a2的坐标都知道，可以设直线pa1、pa2的方程，直线pa1和椭圆交点是a1(-2，0)和m，通过韦达定理，可以求出点m的坐标，同理可以求出点n的坐标动点p在直线上，相当于知道了点p的横坐标了，由直线pa1、pa2的方程可以求出p点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的m、n点的坐标，求出直线mn的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t2，就可以了，否则就不存在方法总结：本题由点a1(-2，0)的横坐标2是方程的一个根，结合韦达定理，得到点m的横纵坐标：，；其实由消y整理得，得到，即，很快不过如果看到：将中的换下来，前的系数2用2换下来，就得点n的坐标，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量本题的关键是看到点p的双重身份：点p即在直线上也在直线a2n上，进而得到，由直线mn的方程得直线与x轴的交点，即横截距，将点m、n的坐标代入，化简易得，由解出，到此不要忘了考察是否满足方法总结：法2计算量相对较小，细心的同学会发现，这其实是上文“切点弦恒过定点”的一个特例而已因此，法2采用这类题的通法求解，就不至于思路混乱了相较法1，未知数更少，思路更明确方法点评：相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用，但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法例5、（动圆过定点）已知椭圆 是抛物线的一条切线（i）求椭圆的方程；（）过点的动直线l交椭圆c于a、b两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点t，使得以ab为直径的圆恒过点t？若存在，求出点t的坐标；若不存在，请说明理由解：（i）由因直线相切 ，故所求椭圆方程为（ii）当l与x轴平行时，以ab为直径的圆的方程：方法总结：圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再证明用直径所对圆周角为直角例6、如图，已知椭圆的离心率是，分别是椭圆的左、右两个顶点，点是椭圆的右焦点点是轴上位于右侧的一点，且满足（1）求椭圆的方程以及点的坐标；（2）过点作轴的垂线，再作直线与椭圆有且仅有一个公共点，直线交直线于点求证：以线段为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标解：（1），设，由有，又， 法2：本题又解：取极值，pq与ad平行，易得与x轴相交于f（1，0）接下来用相似证明pffq问题得证 方法总结：动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题，也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用【扩展链接】已知椭圆：，左右焦点分别为，左、右顶点分别为，上、下顶点为，过点的直线交椭圆于，两点，过点作斜率为的直线交椭圆于另一点，求证：直线过定点步骤 1（特殊化寻求定点坐标）：当直线垂直于 轴时，则重合于点，直线的方程为：；当直线经过原点时，则直线 的方程为：，代入椭圆可得：，直线的方程为：；代入椭圆可得：，则点，点与点重合，则直线的方程为：，联立两个特殊位置的直线方程可得：定点可能为步骤 2（一般化探求题意韦达定理化）：直线过定点 ，转化为交点坐标的韦达定理形式直线 的方程为：代入椭圆可得：，则点 的坐标为，则直线 的方程为：，直线的方程为：，则步骤 3（联立方程解方程组，韦达定理整体代入）：直线 的方程为： 代入椭圆方程可得：（完美！）显然直线 垂直于y 轴时，直线 也经过定点【同步训练】1、设a、b是轨迹：上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标 ，所以直线的斜率存在，否则，oa，ob直线的倾斜角之和为从而设ab方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知由，得1=将式代入上式整理化简可得：，所以，此时，直线的方程可表示为即所以直线恒过定点 2、已知动圆过定点a(4，0)， 且在y轴上截得的弦mn的长为8 ()求动圆圆心的轨迹c的方程; ()已知点b(-1，0)， 设不垂直于x轴的直线与轨迹c交于不同的两点p， q， 若x轴是的角平分线， 证明直线过定点 解：() a(4，0)，设圆心c () 点b(-1，0)， 直线pq方程为: 所以直线pq过定点(1，0)3、已知点是平面上一动点，且满足（1）求点的轨迹对应的方程；（2）已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，判断：直线是否过定点？试证明你的结论解：（1）设 （5分） ）第22题4、已知点a（1，0），b（1，1）和抛物线，o为坐标原点，过点a的动直线l交抛物线c于m、p，直线mb交抛物线c于另一点q，如图（i）证明: 为定值;（ii）若pom的面积为，求向量与的夹角；（）证明直线pq恒过一个定点 即 即 由（*）式，代入上式，得由此可知直线pq过定点e（1，4） 5、已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线:的距离为设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点() 求抛物线的方程;() 当点为直线上的定点时，求直线的方程;() 当点在直线上移动时，求的最小值联立方程，消去整理得 由一元二次方程根与系数的关系可得， 所以 又点在直线上，所以， 所以 所以当时， 取得最小值，且最小值为 6、已知椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、三点过椭圆的右焦点f任做一与坐标轴不平行的直线与椭圆交于、两点，与所在的直线交于点q（1）求椭圆的方程：（2）是否存在这样直线，使得点q恒在直线上移动？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由直线的方程为：由直线的方程为：，即由直线与直线的方程消去，得直线与直线的交点在直线上 故这样的直线存在 7、已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，圆的圆心是抛物线上的动点，圆与轴交于两点，且（1）求椭圆的方程；（2）证明:无论点运动到何处，圆恒经过椭圆上一定点解法2：抛物线的焦点坐标为，点的坐标为 抛物线的准线方程为设点的坐标为，由抛物线的定义可知，解得由，且得点的坐标为在椭圆:中，由解得椭圆的方程为（2）证法1: 设点的坐标为，圆的半径为， 圆与轴交于两点，且， 圆的方程为 点是抛物线上的动点， ()把代入 消去整理得: 方程对任意实数恒成立， 解得点在椭圆:上，无论点运动到何处，圆恒经过椭圆上一定点 8已知椭圆： 过点，且离心率e=12（）求椭圆的方程；（）椭圆长轴两端点分别为，点p为椭圆上异于的动点，直线：与直线分别交于m,n两点，又点，过e,m,n三点的圆是否过轴上不同于点的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请说明理由【答案】（）x24+y23=1 ；（） 存在，定点为r(1,0)【思路引导】（1）运用椭圆的离心率公式和点代入椭圆方程，由a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（2）设a(2,0),b(2,0),p(x0,y0)，由椭圆方程和直线的斜率公式，以及两直线垂直的条件，计算即可得证试题解析：（）由，解得a=2,b=3，故椭圆的方程为 （）设点，直线pa,pb的斜率分别为k1,k2，则又：y=k1(x+2)，令x=4得，pb：，令得n(4,2k2)，则kemken=(6k13)(2k23)=1，过e,m,n三点的圆的直径为mn，设圆过定点r(m,0)，则，解得或（舍）故过e,m,n三点的圆是以为直径的圆过轴上不同于点e的定点【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率公式的运用，同时考查直线的斜率公式的运用，圆的直径所对的圆周角为直角，属于中档题涉及定点定直线等问题时，一般先假设存在，然后根据条件推导，注意直线过定点的直线系形式9已知抛物线的焦点f(1,0)，为坐标原点，a,b是抛物线c上异于o的两点，若直线oa,ob的斜率之积为，求证：直线ab过轴上一定点【答案】(8,0)试题解析：抛物线方程为y2=4x，当直线ab斜率不存在时，设a(y024,y0) ，由斜率之积为得，此时直线ab方程为当直线ab斜率存在，设方程为y=kx+m，与y2=4x联立得ky2-4y+4m=0，又解得即，综上所述，直线ab过定点10已知椭圆的右焦点为f(1,0),左顶点为（1）求椭圆e的方程；（2）过点a作两条相互垂直的直线分别与椭圆e交于（不同于点的）m,n两点试判断直线与轴的交点是否为定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由【答案】（1）椭圆的方程为 ；（2）直线与轴的交点是定点，坐标为(27,0)【思路引导】（1）由已知得c=1,a=2 b2=a2-c2=3 椭圆e的方程为（2）当直线mn与轴垂直时 am的方程为联立直线mn与轴的交点为(-27,0).当直线mn不垂直于轴时设直线mn的方程为y=kx+m.联立y=kx+m3x2+4y2=12(4k2+3)x