历年天津大学生数学竞赛试题.doc

442001-2007年天津市大学数学竞赛试题集（2009.3.10整理）2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。）1. 函数在（-，+）上连续，则a = 2 。2. 设函数y = y(x) 由方程所确定，则 。3. 由曲线与x轴所围成的图形的面积A = 。4. 设E为闭区间0，4上使被积函数有定义的所有点的集合，则 。5设L是顺时针方向的椭圆，其周长为l ，则 4l 。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1. 若且，则（ D ）（A） 存在； （B） （C） 不存在； （D） A、B、C均不正确。2. 设，则当时，（ A ）（A）与为同阶但非等价无穷小； （B）与为等价无穷小；（C）是比更高阶的无穷小； （D）是比更低阶的无穷小。3. 设函数对任意x都满足，且，其中a、b均为非零常数，则在x = 1处（ D ）（A）不可导； （B）可导，且；（C）可导，且； （D）可导，且。4. 设为连续函数，且不恒为零，I=，其中s 0，t 0，则I的值（ C ）（A）与s和t有关； （B）与s、t及x有关；（C）与s有关，与t无关； （D）与t有关，与s无关。5. 设u (x，y) 在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且满足及，则（ B ）。（A）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；（B）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；（C）u (x，y) 的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；（D）u (x，y) 的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上。以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。三、求极限 。（本题6分）解：；由此得到： 。四、计算。（本题6分）解：命：，于是五、设函数的所有二阶偏导数都连续，求。（本题6分）解：两边对x求导，得到代入，求得，两边对x求导，得到，两边对x求导，得到。以上两式与已知联立，又二阶导数连续，所以，故。六、在具有已知周长2p的三角形中，怎样的三角形的面积最大？（本题7分）解：设三角形的三条边长分别为x、y、z，由海伦公式知，三角形的面积S的平方为则本题即要求在条件x + y + z = 2p之下S达到的最大值。它等价于在相同的条件下S2达到最大值。设，问题转化成求在上的最大值。其中D中的第3个条件是这样得到的，由于三角形的任意两边之和大于第三边，故有x + y z，而由假设x + y + z = 2p，即 z = 2p（x + y），故有x + y z = 2p（x + y），所以有x + y p。由，求出在D内的唯一驻点。因在有界闭区域上连续，故在上有最大值。注意到在的边界上的值为0，而在D内的值大于0。故在D内取得它在上的最大值。由于在D内的偏导数存在且驻点唯一，因此最大值必在点M处取得。于是有，此时x = y = z =，即三角形为等边三角形。七、计算。（本题8分）解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到。八、计算曲面积分，其中为上半球面的上侧。（本题7分）解：记S为平面z = 0（ x2 + y2 a2 )的下侧，为与S所围的空间区域，九、已知a0，x10，定义求证：存在，并求其值。（本题8分）解：第一步：证明数列的极限存在：注意到：当n 2时，因此数列有下界。又，即xn+1xn ，所以单调递减，由极限存在准则知，数列有极限。第二步：求数列的极限设：，则有。由，有，解得（舍掉负根），即。十、证明不等式。（本题7分）证明：设，则。命，得到驻点 x = 0。由可知 x = 0 为极小值点，亦即最小值点，最小值为，于是对任意有，即所证不等式成立。十一、设函数在闭区间0，1上连续，在开区间（0，1）内可导，且，求证：在开区间（0，1）内至少存在一点，使得。（本题7分）证明：由积分中值定理知，存在，使得又函数在区间上连续，内可导，由罗尔定理知，至少存在一点，使得。十二、设在区间上具有二阶导数，且，。证明。（本题8分）证明：对任意的，及任意的h 0，使x + h (a，+)，于是有，其中。即故，（，h 0）命，试求其最小值。命，得到，所以，在处得极小值，亦即最小值，。故，（）。2002年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1。2设摆线方程为则此曲线在处的法线方程为。3。4设在点(1,1)处沿方向的方向导数。5设为曲面介于0ZR的部分，则。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1. 曲线的渐近线有（ B ）（A） 1条； （B） 2条；（C） 3条； （D） 4条。2. 若，则当n2时（ A ）（A）； （B）； （C）； （D）。3. 已知函数f (x)在（，+）内有定义，且x0是函数f (x)的极大值点，则（ C ）（A）x0是f (x)驻点； （B）在（，+）内恒有f (x)f (x0)；（C）x0是f (x)的极小值点； （D）x0是f (x)的极小值点。4. 设，则z = z (x,y)在点（0，0）（ D ）（A）连续且偏导数存在； （B）连续但不可微；（C）不连续且偏导数不存在； （D）不连续但偏导数存在。5. 设，其中：x2+y2+z21，z0则（ D ）（A）； （B）；（C）； （D）。三、已知极限，试确定常数n和C的值。（本题6分）解：，故。四、已知函数f (x) 连续，求。（本题6分）解：命u = t x，则当 t = 0 时，u = x；t = x 时，u = 0，于是五、设方程， 当常数a ，b满足何种关系时，方程有唯一实根？ 当常数a ，b满足何种关系时，方程无实根。（本题7分）解：设，x+，求导得命得唯一驻点，又，故当时，y有最小值。且最小值为又当x 时，y ；x 时，y ，因此， 当且仅当时，方程有唯一实根。 当时，方程无实根。六、在曲线y = x2（x 0）上某点A作一切线，使之与曲线及x轴所围图形的面积为，试求： A点的坐标； 过切点A的切线方程； 该图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。（本题8分）解：设A点坐标为 (x0，y0)，则y0 = x02，于是可知切线方程y x02 = 2x0（x x0）即。由题设，有故有。 切线方程为。 在上述切线方程中令y = 0，得到，故所求旋转体的体积七、计算。（本题7分）解：解法1命，则有，于是有。同理，所以有。解法2命，则八、设，其中具有连续的一阶偏导数，且。（本题7分）解：将y = sinx代入，得到，显然方程确定了 z 是x 的隐含数 z = z (x) ，所以又由 ，得到 。九、求上的最大值与最小值。（本题7分）解：解法1在S上有，代入，得到因此 命，得到，由于，又，所以；。解法2构造，解方程组联合求解(3)、(4)，得到6个可能的极值点，因为，所以，。十、计算，其中区域D为：。（本题7分）解：如图，用直线将区域D分为D1和D2两个区域，则十一、证明：当 0 x 1时，。（本题7分）证明：本题即证当 0 x 0时，因而在区间(0,1)内单调减少，即，于是有，即。十二、设C是取正向的圆周，f (x)是正的连续函数，证明：（本题8分）证明：由格林公式有，其中D是由 ( x 1 )2 + ( y 1 )2 = 1所围成的区域。而，即 ，所以。2003年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1设对一切实数x和y,恒有，且知，则 。2设 在x = 0处连续，则a = 。3设，其中是由方程所确定的隐函数，则 。4 。5曲线在点M (1,1,1)处的切线方程为 （或）。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1 当时，下列无穷小量 ； ； ； ，从低阶到高阶的排列顺序为（ D ）（A） ； （B） ；（C） ； （D） 。2 设，在x = 0处存在最高阶导数的阶数为（ B ）（A） 1阶； （B） 2阶； （C） 3阶； （D）4阶。3 设函数在 x = 1处有连续的导函数，又，则x = 1是（ B ）（A）曲线拐点的横坐标； （B）函数的极小值点；（C）函数的极大值点； （D）以上答案均不正确。4 设函数f，g在区间a，b上连续，且（m为常数），则曲线和x = b所围平面图形绕直线y = m旋转而成的旋转体体积为（ A ）(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。5 设，为在第一卦限中的部分，则有（ C ）（A）； （B）；（C）； （D）。三、a，b，c为何值时，下式成立。（本题6分）解：注意到左边的极限中，无论a为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有b= 0，当b= 0时使用诺必达法则得到，由上式可知：当时，若，则此极限存在，且其值为0；若a = 1，则。综上所述，得到如下结论：，b = 0，c = 0；或a = 1，b = 0，c = 2。四、设函数，其中具有连续二阶导函数，且。 确定a的值，使在点x = 0处可导，并求。 讨论在点x = 0处的连续性。（本题8分）解： 欲使在点x = 0处可导，在点x = 0处必须连续，于是有即当时，在点x = 0处连续。当时，；当x = 0时，故：。 因为所以，在点x = 0处连续。五、设正值函数在上连续，求函数的最小值点。（本题6分）解：注意到：在上，因此，当x 1时，。命：，得，解此方程得到唯一驻点 x = 2。又，当时，；当x 2时，所以在点x = 2处取得极小值，又因为x = 2是唯一的极值点，所以x = 2是的最小值点，最小值为。六、设，且，求。（本题6分）解： 七、设变换，把方程化为，试确定a 。（本题7分）解： 计算一、二阶偏导数代入方程，得到，于是有，所以。八、设函数在x O y平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意的t恒有，求。（本题7分）解：由曲线积分与路径无关知，所以，其中为待定函数。又；。根据题设，有，上式两边对t求导，得到，于是知，即，故。九、设函数f (x)具有二阶连续导函数，且。在曲线y = f (x)上任意取一点作曲线的切线，此切线在x轴上的截距记作，求。（本题8分）解： 过点的曲线y = f (x)的切线方程为：，注意到：由于，所以当时，。因此，此直线在x轴上的截距为。且。利用泰勒公式将在点处展开，得到。类似可得：。代入得十、设函数f (x)在闭区间上连续，在开区间 (0,1) 内可导，且f ( 0 ) = 0，f ( 1 ) = 1 。试证明：对于任意给定的正数a和b ，在开区间 (0,1) 内存在不同的和，使得。（本题7分）证明：取数，由连续函数介值定理知，存在，使得。在区间0,C与C,1上分别应用拉格朗日中值定理，有 显然。由于，所以，即。从而，注意到：若取，则，并且，代入得。十一、设，试证明在区间上有且仅有两个实根。（本题7分）证明： 由于是偶函数，所以是奇函数，是偶函数，于是知为偶函数。又注意到：，（当x 0时）。因此，函数在闭区间0,1上有且仅有唯一一个实根；又为偶函数，所以在闭区间上同样有且仅有唯一一个实根。于是知函数在闭区间上有且仅有两个实根。十二、设函数在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零。证明：其中：D为圆域。（本题8分）证明：取极坐标系，由，得到，将上式两端同乘r，得到。于是有由积分中值定理，有，其中。故。2004年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1设函数，则函数的定义域为 。2设要使函数在区间上连续，则 。3设函数由参数方程所确定，其中f可导，且，则 3 。4由方程所确定的函数在点处的全微分dz = 。5设，其中 f 、具有二阶连续导数，则 。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）6 已知，则( A )（A） 12； （B）3； （C） 1； （D）0。7 设函数在的一个邻域内有定义，则在点处存在连续函数使是在点处可导的（ C ）（A）充分而非必要条件； （B）必要而非充分条件；（C）充分必要条件； （D）既非充分，也非必要条件。8 设，则F(x)=（ D ）(A) ; (B) ;(C) ; (D) 。9 函数，在点处（ B ）（A）可微； （B）偏导数存在，但不可微；（C）连续，但偏导数不存在； （D）不连续且偏导数不存在。10 设为区间上的正值连续函数，与为任意常数，区域，则（ D ）（A）； （B）； （C）； （D）。三、设函数在点的某邻域内具有二阶导数，且。求：，及。（本题6分）解：因为 ，所以 。由无穷小比较，可知 ，以及 。从而 ，其中，即 。由此可得 ，。并有 。四、计算。（本题6分）解： 五、求函数在点处的100阶导数值。（本题6分）解：方法一：利用莱布尼兹公式，又由归纳法可得。故。所以。方法二：利用泰勒公式，故，。六、设为定义在上，以T 0为周期的连续函数，且。求。（本题7分）解：对于充分大的x 0，必存在正整数n，使得。又 ，故有 ，及 。注意到： ，且当时，。由夹逼定理可知。七、在椭球面上求一点，使函数在该点沿方向的方向导数最大。（本题8分）解： 函数的方向导数的表达式为。其中：为方向的方向余弦。因此。于是，按照题意，即求函数在条件下的最大值。设，则由得以及，即得驻点为与。因最大值必存在，故只需比较，的大小。由此可知为所求。八、设正整数，证明方程至少有两个实根。（本题6分）证明：设，则其在区间上连续，且，。因而，当时，必存在，使得。由连续函数的介值定理可知，至少有一点，使得。同理，当时，必存在，使得。由连续函数的介值定理可知，至少有一点，使得。综上可知，方程至少有两个实根。九、设。证明存在，并求之。（本题8分）证明： 证明存在：注意到：对于一切的n恒有，因此知数列有界。又，于是可知与同号，故当时，数列单调递增；当时，数列单调递减。也就是说，数列为单调有界数列，而单调有界数列必有极限。求：设，则，解之得，即。十、计算曲面积分，其中是曲线绕z轴旋转而成的旋转面，其法线向量与z轴正向的夹角为锐角。（本题7分）解： 旋转曲面的方程为。补充曲面其法线向量与z轴正向相反；和其法线向量与z轴正向相同。设由曲面所围空间区域为，则十一、设具有连续的偏导数，且对以任意点为圆心，以任意正数r为半径的上半圆L：，恒有。证明：（本题8分）证明：记上半圆周L的直径为AB，取AB+L为逆时针方向；又命D为AB+L所包围的区域。由格林公式有其中：为某一点。另一方面。于是有，即。命，两边取极限，得到，由的任意性知；且，即。类似。十二、设函数在0，1上连续，且，试证：，使得；，使得。（本题8分）证明： 使用反证法，即假设当时，恒有成立，于是有。因此有 ，。从而有 。于是有，即，这显然与矛盾，故，使得为真。 仍然使用反证法。只需证，使得即可。这是显然的，因为若不然，则由在0，1上的连续性知，必有或成立，这与矛盾，再由的连续性及的结果，利用介值定理即可证得，使得。2005年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1 1 。2曲线，在点处的法线方程为 2xy1=0 。3设为连续函数，且，则 。4函数在点处，沿点A指向点方向的方向导数为 。5设(ab)c = 2，则(a+b)(b+c)(c+a)= 4 。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）11 设函数与在开区间(a,b)内可导，考虑如下的两个命题， 若，则； 若，则。则（ B ）（A）两个命题均正确； （B）两个命题均不正确；（C）命题正确，命题不正确； （D）命题不正确，命题正确。12 设函数连续，F(x)是的原函数，则（ A ）(A) 当为奇函数时，F(x)必为偶函数；(B) 当为偶函数时，F(x)必为奇函数；(C) 当为周期函数时，F(x)必为周期函数；(D) 当为单调递增函数时，F(x)必为单调递增函数。13 设平面位于平面：与平面：之间，且将此两平面的距离分为1:3，则平面的一个方程为（ D ）（A）； （B）；（C）； （D）。14 设为非零的连续函数，则当t0时（ C ）（A）与t为同阶无穷小； （B）与t2为同阶无穷小；（C）与t3为同阶无穷小； （D）是比t3高阶的无穷小。15 设函数满足等式，且，则在点处（ A ）。（A）取得极小值； （B）取得极大值；（C）在点的一个邻域内单调增加； （D）在点的一个邻域内单调减少。三、求函数的值域。（本题6分）解：要求的值域，只需求出函数的最大值与最小值即可。注意到：函数为偶函数，故只需考虑x0的情况。为计算方便，命t=x2，得到，显然，与有相同的值域。求的驻点：。命，得到驻点，其对应的函数值为，显然，当k=2m(m=0,1,2,)时，其中最大值为；当k=2m+1 (m=0,1,2,)时，其中最小值为。于是得到函数的值域，亦即函数的值域为：。四、设，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数。求。（本题6分）解：，五、设二元函数在有界闭区域D上可微，在D的边界曲线上，并满足，求的表达式。（本题6分）解：显然满足题目条件。下面证明只有满足题目条件。事实上，若不恒等于0，则至少存在一点，使得，不妨假设，同时，也必在D内至少存在一点，使为在D上的最大值。因为在D上可微，所以必有，于是得到。然而，由题设知，因此应有，这与的假设矛盾；同理可证：的情况。因此可知在D上。六、设二元函数具有一阶连续偏导数，且，求。（本题7分）解：注意到：被积函数，由于此积分与路径无关，所以必有，即有，从而有，代入原积分式，得到，即 ，。将上式两端对t求导，得到： ，即 ，从而得到 。七、设曲线与交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线围成一平面图形，试问： 当a为何值时，该图形绕x轴一周所得的旋转体体积最大？ 最大体积为多少？（本题7分）解：当x0时，由，解得A点的坐标为，故直线OA的方程为。于是，平面图形绕x轴一周所得的旋转体体积为：。上式两边对a求导：。命，得到a=4。由于a=4是当时的唯一驻点，且由问题的实际意义可知存在最大体积，故在a=4时取最大值。其最大体积为：。八、设S为椭球面的上半部分，点，为S在点P处的切平面，为点到平面的距离，求。（本题7分）解：设为上任意一点，则的方程为，从而知。由，有，于是 。所以 。九、证明。（本题8分）证明：方法一（利用积分估值定理）命，对上式右端的第二个积分，取变换，则，于是注意到：被积函数的两个因子在区间上异号（，），由积分估值定理得知必有I0，即知原不等式成立。方法二（利用积分中值定理）命，由积分中值定理，并在区间上取变换，同时注意到：，得十、设正值函数在闭区间a,b上连续，证明：。（本题8分）证明：化为二重积分证明。记，则原式十一、设函数在闭区间a,b上具有连续的二阶导数，证明：存在(a,b)，使得。（本题7分）证明：将函数在点处作泰勒展开，并分别取x=a和b，得到；。两式相加得到。由于连续，由介值定理知，存在使得，从而得，即 。十二、设函数在闭区间-2,2上具有二阶导数，且，证明：存在一点(-2,2)，使得。（本题8分）证明：在区间-2,0和0,2上分别对函数应用拉格朗日中值定理；。注意到：，因此，。命：，则在区间-2,2上可导，且；。故在闭区间上的最大值，且。由弗马定理知。而 ，故 。由于，所以，从而。2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1若是上的连续函数，则a = 1 。2函数在区间上的最大值为 。3 。4由曲线绕y轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为 。5设函数由方程所确定，则 。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）16 设函数f (x)可导，并且，则当时，该函数在点处微分dy是的（ A ）（A）等价无穷小； （B）同阶但不等价的无穷小；（C）高阶无穷小； （D）低阶无穷小。17 设函数f (x)在点x = a处可导，则在点x = a处不可导的充要条件是（ C ）（A）f (a) = 0，且； （B）f (a)0，但；（C）f (a) = 0，且； （D）f (a)0，且。18 曲线（ B ）（A）没有渐近线； （B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（C）有一条铅直渐近线； （D）有两条水平渐近线。19 设均为可微函数，且。已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项中的正确者为（ D ）（A）若，则； （B）若，则；（C）若，则； （D）若，则。20 设曲面的上侧，则下述曲面积分不为零的是（ B ）（A）； （B）；（C）； （D）。三、设函数f (x)具有连续的二阶导数，且，求。（本题6分）解：由题设可推知f (0) = 0，于是有。故 。四、设函数由参数方程所确定，求。（本