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圆中有关分类讨论题类析天津市静海县沿庄镇中学（301605） 刘家良解答相对位置关系或概念外延不明确的题时，需要树立分类讨论意识，确立分类标准，做到考虑问题周全、缜密，不重不漏。现将圆中有关分类讨论题归类如下：1、点和圆的位置关系 圆，将平面分成三部分，即圆外、圆上和圆内三部分，故此，点和圆的位置关系有三种：点有可能在圆外或圆上或圆内。例1 已知O的半径为5，AB是弦，P是直线AB上的一点，PB=3，AB=8，则OP长为（ ）。分析与解：点P有可能在线段AB上，也有可能在线段AB的延长线上。如图1、2，作OMAB于点M，则AM=BM=AB=4，PM=1（或7）。在RtAOM中，由勾股定理得OM=3，在RtPOM中，由勾股定理得OP=。2、圆内接三角形和圆心的位置关系有三种情形：圆心有可能在圆内接三角形的内部（锐角三角形），也有可能在圆内接三角形的外部（钝角三角形），也有可能在圆内接三角形的一边上（直角三角形）。例2 O内接ABC，若BOC=110，求A=？分析与解：ABC有可能为锐角三角形，也有可能为钝角三角形，如图3，A1=BOC=55，A2=180-A1=125。即A=55或125。3、圆周角和圆心的位置关系 求圆周角时，圆心有可能在圆周角的内部，也有可能在圆周角的外部，也有可能在圆周角的一边上。例3 在O中，弦AB和AC构成BAC=48，M、N分别是AB和AC的中点，求MON。分析与解：如图4、5，M、N分别是AB和AC的中点，OMAB，ONAC。MON=180-BAC=132或MON=BAC=48。即MON=132或48。 4、两条平行弦之间的位置关系 有两种情形：这两条平行弦有可能在圆心的异侧，还有可能在圆心的同侧。 例4 在O中，弦AB=6，弦CD=8，且ABCD，若O的半径为5，求AB与CD之间的距离。分析与解：如图6、7，作OMAB于点M，OM（或MO延长线）交CD于点N，连结OB、OC，则AM=BM=AB=3，ABCD，ONCD，CN=DN=CD=4，由勾股定理得OM=4，ON=3，MN=1或7。5、弦和圆周角的位置关系 一条弦所对的弧既有优弧又有劣弧，因此，求一条弦所对的圆周角应考虑到两种情形：优弧和劣弧所对的圆周角，并且这两类圆周角互补。例5 在半径为5cm的圆内有一条长为5cm的弦，则此弦所对的圆周角等于（ ）。分析与解：如图8，作OMAB于点M，连结OA、OB，则AM=BM=AB=。在RtAOM中，由勾股定理得OM=，OAM=30，AOM=60。ACB=AOB，AOM=AOB，ACB=AOM =60，ACB+ADB=180，ADB=120。此弦所对的圆周角等于60或120。6、两点弧上所含的圆周角 圆周角的顶点有可能在优弧上还有可能在在劣弧上。例6 若PA、PB分别切O于点A、B，C为O上不同于A、B的一点，P=70，求ACB。分析与解：如图9，连结OA、OB，则PAO=PBO=90，AOB=110，AC1B=AOB =55，AC2B=180-AC1B=125。即ACB=55或125。7、两圆相切 有外切和内切两种情形。例7 若两个同心圆的半径分别为6cm和2cm，则与这两圆都相切的圆的半径为 cm。分析与解：第三个圆与这个两圆都相切，分两种情形，其一，与大圆、小圆都内切，如图10；其二，与大圆内切，与小圆外切，如图11。设与这两圆都相切的圆的半径为xcm，得6-x= x-2或6-x=2+x，解得x=4或x=2。即与这两圆都相切的圆的半径为4cm或2cm。例8（2009年重庆市江津区）如图11，在106的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)。A半径为2，B半径为1，需使A与静止的B相切，那么A由图示的位置向左平移 个单位长.分析：A从右向左运动，与静止的B相切，依次是外切、内切、内切和外切。 解：A由图示的位置