浙江省杭州市严州中学高三数学下学期3月段考试卷 文（含解析）.doc

浙江省杭州市严 州中学2015届高三下学期3月段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集u=r，集合a=x|x2，b=x|0x5，则集合（ua）b=（）ax|0x2bx|0x2cx|0x2dx|0x22已知等差数列an满足：a3=13，a13=33，则数列an的公差为（）a1b2c3d43若0x，则xtanx1是xsinx1的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4设1，那么（）aaaabbabaabaabcabaabadabbaaa5已知、为锐角，则tan=（）ab3cd6已知平面向量=（1，），|=1则|的取值范围是（）a0，1b1，3c2，4d3，47已知定义在r上的奇函数f（x）=的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是（）aabcbcabcbacdacb8如图，已知双曲线c：=1（a0，b0）的右顶点为a，o为坐标原点，以a为圆心的圆与双曲线c的某渐近线交于两点p、q，若paq=60且=3，则双曲线c的离心率为（）abcd二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分9函数f（x）=log2（4x2）的定义域为，值域为，不等式f（x）1的解集为10一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为，表面积为11如果实数x，y满足：，则的取值范围是，z=+的最大值为12已知数列an满足：a1=2，（n+1）an=（n1）an1（n2，nn*），则=，数列an的通项公式为13已知点a（2，0），b（2，4），c（5，8），若线段ab和cd有相同的中垂线，则点d的坐标是14在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，cd是ab边上的高，且a2+c2b2，sin2a+sin2b=1，则sin（ab）=15如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是平行四边形，点e，f为pa，pd的中点，则面bcfe将四棱锥pabcd所分成的上下两部分的体积的比值为三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16在abc中，角a，b，c所对的边分别是a，b，c，且满足：a2=（bc）2+（2）bc，又sinasinb=（）求角a的大小；（）若a=2，求abc的面积s17如图所示，四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，且直线pa平面abcd，又棱pa=ab=2，e为cd的中点，abc=60（） 求证：直线ea平面pab；（） 求直线ae与平面pcd所成角的正切值18已知各项均为正数的数列an的前n项和为sn，且2sn=4an1在数列bn中，bn+1=bn2，b4+b8=16（）求an，bn；（）设cn=求数列cn的前项和tn19已知抛物线：y2=2px，准线与x轴的交点为p（2，0）（）求抛物线的方程；（）如图，q（1，0），过点p的直线l与抛物线交于不同的两点a，b，aq与bq分别与抛物线交于点c，d，设ab，dc的斜率分别为k1，k2，ad，bc的斜率分别为k3，k4，问：是否存在常数，使得k1k3k4=k2，若存在，求出的值，若不存在，说明理由20已知函数f（x）=ax2+bx（a0），g（x）=4x+，且y=f（x+）为偶函数设集合a=x|t1xt+1（）若t=，记f（x）在a上的最大值与最小值分别为m，n，求mn；（）若对任意的实数t，总存在x1，x2a，使得|f（x1）f（x2）|g（x）对x0，1恒成立，试求a的最小值浙江省杭州市严州中学2015届高三下学期3月段考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设全集u=r，集合a=x|x2，b=x|0x5，则集合（ua）b=（）ax|0x2bx|0x2cx|0x2dx|0x2考点：交、并、补集的混合运算 专题：计算题分析：根据全集u=r，集合a=x|x2，易知cua=x|x2再根据交集定义即可求解解答：解：全集u=r，集合a=x|x2cua=x|x2b=x|0x5（cua）b=x|0x2故选b点评：本题考查了补集、交集及其运算，属于基础题2已知等差数列an满足：a3=13，a13=33，则数列an的公差为（）a1b2c3d4考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：利用d=计算即得结论解答：解：依题意，公差d=2，故选：b点评：本题考查等差数列的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题3若0x，则xtanx1是xsinx1的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：0x，分别画出y=xtanx（红色曲线），和y=xsinx（绿色曲线），如图所示，由图象可知，tanxsinx0，xtanx1xsinx1，反之不成立，因此xtanx1是xsinx1的充分不必要条件故选：a点评：本题考查了三角函数的单调性、简易逻辑的判定，属于基础题4设1，那么（）aaaabbabaabaabcabaabadabbaaa考点：指数函数单调性的应用 专题：计算题分析：先由条件结合指数函数的单调性，得到0ab1，再由问题抽象出指数函数和幂函数利用其单调性求解解答：解：1且y=（）x在r上是减函数0ab1指数函数y=ax在r上是减函数abaa幂函数y=xa在r上是增函数aabaabaaba故选c点评：本题主要考查指数函数、幂函数的图象及其单调性5已知、为锐角，则tan=（）ab3cd考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系 专题：计算题；三角函数的求值分析：依题意，可求得tan=，再利用两角差的正切即可求得tan的值解答：解：锐角，cos=，sin=，tan=，又tan（）=，为锐角，tan=tan（）=3，故选：b点评：本题考查两角差的正切，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题6已知平面向量=（1，），|=1则|的取值范围是（）a0，1b1，3c2，4d3，4考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 专题：平面向量及应用分析：由模长公式和圆的知识，可把问题转化为点（x，y）与原点的距离的取值范围，由距离公式和圆的知识易得答案解答：解：设=（x，y），则由题意可得=（1x，y），由|=1可得（x1）2+（y）2=1，即点（x，y）在以（1，）为圆心1为半径的圆上，而|=表示点（x，y）与原点的距离，又圆心（1，）与原点的距离d=2，最小值为21=1，最大值为2+1=3故选：b点评：本题考查平面向量的数量积，涉及圆的知识及数形结合思想，属中档题7已知定义在r上的奇函数f（x）=的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是（）aabcbcabcbacdacb考点：函数的图象；函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据函数的定义域为r，得到c0，根据函数过原点得到b=0，根据f（1）=1，判断a，c的关系解答：解：函数过原点，f（0）=0，b=0，由图象知函数的定义域为r，则c0，又f（1）=1，即f（1）=，则a=1+cc，acb，故选：d点评：本题主要考查函数图象的识别和应用，根据函数图象的特点转化为函数的性质是解决本题的关键8如图，已知双曲线c：=1（a0，b0）的右顶点为a，o为坐标原点，以a为圆心的圆与双曲线c的某渐近线交于两点p、q，若paq=60且=3，则双曲线c的离心率为（）abcd考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：确定qap为等边三角形，设aq=2r，则op=r，利用勾股定理，结合余弦定理，即可得出结论解答：解：因为paq=60且=3，所以qap为等边三角形，设aq=2r，则op=r，渐近线方程为y=x，a（a，0），取pq的中点m，则am=由勾股定理可得（2r）2r2=（）2，所以（ab）2=3r2（a2+b2）在oqa中，=，所以7r2=a2结合c2=a2+b2，可得=故选：b点评：本题考查双曲线的性质，考查余弦定理、勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题二、填空题：本大题共7小题，前4小题每题6分，后3小题每题4分，共36分9函数f（x）=log2（4x2）的定义域为（2，2），值域为（，2，不等式f（x）1的解集为考点：对数函数的图像与性质 专题：计算题分析：先利用对数的真数大于0求该函数的定义域，根据函数图象来求其值域；根据题意列出不等式，通过解不等式求f（x）1的解集解答：解：依题意得：4x20，解得2x2，所以该函数的定义域为：（2，2）4x20，（4x2）最大值=4，在（2，2）上，该函数的值域为：（，2由f（x）1得到：log2（4x2）1，则4x22，解得x故不等式f（x）1的解集为 故答案是：（2，2）；（，2；点评：本题考查了对数函数定义域的求法，考查了对数函数的值域，是基础的计算题10一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为，表面积为考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出底面面积，代入棱锥体积公式，可得几何体的体积，累加各个面的面积可得，几何体的表面积解答：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且几何体的后侧面sac与底面垂直，高so为，如图：其中oa=ob=oc=1，so平面abc，ab=bc=，sa=sb=sc=2，底面abc的面积为：，后侧面sac的面积为：，左右两个侧面sab和sbc的底面边长为，两腰长为2，故底边上的高为：=，故左右两个侧面sab和sbc的面积为：，故几何体的表面积：，几何体的体积v=，故答案为：，点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状11如果实数x，y满足：，则的取值范围是，2，z=+的最大值为考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：根据已知的约束条，画出满足约束条件的可行域，将式子进行变形，再分析目标函数的几何意义，结合图象即可给出目标函数的取值范围解答：解：约束条件对应的平面区域如下图示：设k=，则z表示可行域内的点（x，y）与点（0，0）连线的斜率，由图可知z的最大值为直线2xy=0的斜率2，最小值为直线oc的斜率，由，得，即c（3，1），则oc的斜率k=，故k=的取值范围是，2，又z=+=k+在，1上单调递减，在1，2上递增，则当t=1时，z=1+1=2，当t=时，z=+3=，2，z=+=k+在，2上的最大值为，故答案为：，点评：本题主要考查线性规划的应用，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案12已知数列an满足：a1=2，（n+1）an=（n1）an1（n2，nn*），则=，数列an的通项公式为考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：通过对（n+1）an=（n1）an1（n2，nn*）变形可知=（n2，nn*），累乘计算即得结论解答：解：（n+1）an=（n1）an1（n2，nn*），=（n2，nn*），=，=，=，同时累乘得：=，又a1=2，an=2=，故答案为：、点评：本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题13已知点a（2，0），b（2，4），c（5，8），若线段ab和cd有相同的中垂线，则点d的坐标是（6，7）考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系 专题：直线与圆分析：设d（x，y），由题意可得cd的中点在ab的垂直平分线且cdab，可得x和y的方程组，解方程组可得解答：解：设d（x，y），a（2，0），b（2，4），ab点e（0，2），ab的斜率k=1，ab的垂直平分线的斜率为1，ab的垂直平分线的方程为y=x+2，cd的中点f（，）在y=x+2上，+2=0，又cd的斜率=1，联立解得，即d（6，7），故答案为：（6，7）点评：本题考查线段的中点公式、两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属基础题14在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，cd是ab边上的高，且a2+c2b2，sin2a+sin2b=1，则sin（ab）=1考点：余弦定理 专题：三角函数的求值；解三角形分析：根据余弦定理可得b是钝角，a和c是锐角，由：sin2a+sin2b=1，且sin2a+cos2a=1，可得cosa=sinb0，sina=cosb0，利用两角差的正弦函数公式即可得解解答：解：根据余弦定理：cosb=0，所以：b是钝角，abc是钝角三角形，所以：a和c是锐角，因为：sin2a+sin2b=1，因为：sin2a+cos2a=1，所以：cosa=sinb0，所以：sina=cosb0，所以：sin（ab）=sinacosbcosasinb=cos2bsin2b=1故答案为：1点评：本题主要考查了余弦定理，同角三角函数关系式，两角差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查15如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是平行四边形，点e，f为pa，pd的中点，则面bcfe将四棱锥pabcd所分成的上下两部分的体积的比值为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：综合题；空间位置关系与距离分析：不妨设abcd是正方形，pd平面abcd，ad=2a，求出上下两部分的体积，即可得出结论解答：解：不妨设abcd是正方形，pd平面abcd，ad=2a，则vpabcd=a3，连接fa，fb，则vefabcd=+=a3，vpefbc=a3，四棱锥pabcd所分成的上下两部分的体积的比值为故答案为：点评：本题考查体积的计算，考查学生的计算能力，正确计算体积是关键三、解答题：本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16在abc中，角a，b，c所对的边分别是a，b，c，且满足：a2=（bc）2+（2）bc，又sinasinb=（）求角a的大小；（）若a=2，求abc的面积s考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：（1）由已知整理可得，利用余弦定理可求cosa，即可解得a的值（2）利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得cos（ab）=1，可得a，b，c的值，利用三角形面积公式即可得解解答：解：（1），又，（2），2sinasinb=1+cosc=1cos（a+b），cosacosb+sinasinb=1即cos（ab）=1，又，点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查17如图所示，四棱锥pabcd中，底面abcd为菱形，且直线pa平面abcd，又棱pa=ab=2，e为cd的中点，abc=60（） 求证：直线ea平面pab；（） 求直线ae与平面pcd所成角的正切值考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定 专题：证明题；立体几何分析：（1）只需证明直线eaab，且eapa即可；（2）先证明ah平面pcd，得出aep为直线ae与平面pcd所成角，在rtpae中计算tanaep的值解答：解：（1）证明：ade=abc=60，ed=1，ad=2，aed是以aed为直角的rt；又abcd，eaab；又pa平面abcd，eapa；且abpa=a，ea平面pab；（2）如图所示，连结pe，过a点作ahpe于h点，cdea，cdpa，且paea=a，cd平面pae；又ah平面pae，ahcd；又ahpe，且cdae=e，ah平面pcd，aep为直线ae与平面pcd所成角；在rtpae中，pa=2，ae=，tanaep=点评：本题考查了空间中的垂直关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力，是基础题目18已知各项均为正数的数列an的前n项和为sn，且2sn=4an1在数列bn中，bn+1=bn2，b4+b8=16（）求an，bn；（）设cn=求数列cn的前项和tn考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（）通过2sn=4an1可知2an=sn+，易知，当n2时利用an=snsn1可知=2，进而可得数列an的通项公式，利用b4+b8=2b6计算可得数列bn的通项公式；（）通过an=2n2、bn=42n可知cn=，利用错位相减法计算即得结论解答：解：（）2sn=4an1，2an=sn+，当n=1时，；当n2时，an=snsn1=2an2an1，整理得：=2，数列an是以为首项，2为公比的等比数列，an=a1qn1=2n2；bn+1=bn2，d=bn+1bn=2，又b4+b8=2b6=16，b6=8，b1=b65d=85（2）=2，bn=b1+（n1）d=22（n1）=42n；（）an=2n2，bn=42n，cn=，tn=8+0+（8）+（248n）+（168n），tn=8+0+（248n）+（168n），两式相减得：tn=48（+）（168n）=48（168n）=44（1）=，tn=点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题19已知抛物线：y2=2px，准线与x轴的交点为p（2，0）（）求抛物线的方程；（）如图，q（1，0），过点p的直线l与抛物线交于不同的两点a，b，aq与bq分别与抛物线交于点c，d，设ab，dc的斜率分别为k1，k2，ad，bc的斜率分别为k3，k4，问：是否存在常数，使得k1k3k4=k2，若存在，求出的值，若不存在，说明理由考点：抛物线的简单性质 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）利用抛物线的性质，求出p，即可求抛物线的方程；（）假设存在实数，设ab的直线方程为x=my2，与抛物线方程联立，由化简可得y1y3=8，同理可得y2y4=8，利用k1k3k4=k2，求出的值解答：